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1 如图,要测量小河两岸相对的两点P、A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得$PC=50$米,$∠ PCA=44°$,则小河宽PA为(
A.$50\sin 44°$米
B.$50\cos 44°$米
C.$50\tan 44°$米
D.$50\tan 46°$米
C
)。A.$50\sin 44°$米
B.$50\cos 44°$米
C.$50\tan 44°$米
D.$50\tan 46°$米
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察图形可知PA垂直于PB，因此△APC是直角三角形，直角为∠APC。已知PC的长度和∠PCA的度数，要求PA的长度，我们可以根据锐角三角函数中正切的定义，找到角对应的对边和邻边的关系，代入已知数值即可求出PA的表达式。
【解析】
解：
∵ PA⊥PB，
∴ ∠APC=90°，△APC为直角三角形。
在Rt△APC中，∠PCA=44°，PC=50米，
根据正切函数的定义：$\tan∠ PCA=\frac{\mathrm{∠PCA的对边}}{\mathrm{∠PCA的邻边}}=\frac{PA}{PC}$，
变形可得：$PA=PC·\tan∠ PCA=50\tan44°$米。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正切函数的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题是测量距离的实际应用题，解题的核心是结合图形确定直角三角形中边和角的对应关系，正确选择合适的锐角三角函数列式计算，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知PA垂直于PB，因此△APC是直角三角形，直角为∠APC。已知PC的长度和∠PCA的度数，要求PA的长度，我们可以根据锐角三角函数中正切的定义，找到角对应的对边和邻边的关系，代入已知数值即可求出PA的表达式。
【解析】
解：
∵ PA⊥PB，
∴ ∠APC=90°，△APC为直角三角形。
在Rt△APC中，∠PCA=44°，PC=50米，
根据正切函数的定义：$\tan∠ PCA=\frac{\mathrm{∠PCA的对边}}{\mathrm{∠PCA的邻边}}=\frac{PA}{PC}$，
变形可得：$PA=PC·\tan∠ PCA=50\tan44°$米。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正切函数的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题是测量距离的实际应用题，解题的核心是结合图形确定直角三角形中边和角的对应关系，正确选择合适的锐角三角函数列式计算，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
2 如图，小慧的眼睛B处离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰为$60°$。若小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度为（
A.6.6m
B.11.6m
C.$(1.6+\frac{5\sqrt{3}}{3})$m
D.$(1.6+5\sqrt{3})$m
D
）。A.6.6m
B.11.6m
C.$(1.6+\frac{5\sqrt{3}}{3})$m
D.$(1.6+5\sqrt{3})$m
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为直角三角形问题：首先明确Rt△ABC中已知水平距离BC=5m，仰角∠ABC=60°，可利用锐角三角函数求出旗杆高出小慧视线的高度AC，再加上小慧眼睛离地面的高度（即CD的长度），即可得到旗杆总高度AD。
【解析】
解：由题意可知，BC⊥AC，CD=BE=1.6m，BC=5m，∠ABC=60°，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}$，
代入数据得：$AC=BC·\tan60°=5×\sqrt{3}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴旗杆高度$AD=AC+CD=(1.6+5\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数定义
【点评】
本题是仰角测量的实际应用题，解题核心是将实际场景转化为直角三角形模型，结合三角函数和线段和差关系求解，难度不大，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为直角三角形问题：首先明确Rt△ABC中已知水平距离BC=5m，仰角∠ABC=60°，可利用锐角三角函数求出旗杆高出小慧视线的高度AC，再加上小慧眼睛离地面的高度（即CD的长度），即可得到旗杆总高度AD。
【解析】
解：由题意可知，BC⊥AC，CD=BE=1.6m，BC=5m，∠ABC=60°，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}$，
代入数据得：$AC=BC·\tan60°=5×\sqrt{3}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴旗杆高度$AD=AC+CD=(1.6+5\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数定义
【点评】
本题是仰角测量的实际应用题，解题核心是将实际场景转化为直角三角形模型，结合三角函数和线段和差关系求解，难度不大，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
3 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$D$为$AB$上一点，且$AD:DB=1:3$，$DE ⊥ AC$于点$E$，连接$BE$，则$\tan∠ CBE$的值等于（
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$
C
）。A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
D.$\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$
答案
3.C
解析
【分析】
要求$\tan∠ CBE$的值，观察到$∠ C=90°$，$∠ CBE$是$\mathrm{Rt}△ CBE$的内角，因此$\tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}$，只需计算$CE$与$BC$的比值即可。首先由$DE⊥ AC$、$∠ C=90°$可得$DE// BC$，推出$△ ADE∽△ ABC$，结合$AD:DB=1:3$得到线段比例关系，再结合含$30°$角的直角三角形的性质，设参数表示出$BC$和$CE$的长度，代入计算比值即可。
【解析】
解：设$AD=a$，则$DB=3a$，因此$AB=AD+DB=4a$。
$\because ∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=2a$，$AC=AB·\cos30°=4a×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$。
$\because DE⊥ AC$，$∠ C=90°$，
$\therefore DE// BC$，根据平行线分线段成比例可得$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，即$EC=\frac{3}{4}AC$。
代入$AC$的长度得：$EC=\frac{3}{4}×2\sqrt{3}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a$。
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$∠ C=90°$，
$\therefore \tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a}{2a}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查了相似三角形、平行线分线段成比例以及锐角三角函数的计算，解题关键是将所求角的正切值转化为直角三角形对应边的比值，通过设参数可简化计算过程。
【难度系数】
0.65
要求$\tan∠ CBE$的值，观察到$∠ C=90°$，$∠ CBE$是$\mathrm{Rt}△ CBE$的内角，因此$\tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}$，只需计算$CE$与$BC$的比值即可。首先由$DE⊥ AC$、$∠ C=90°$可得$DE// BC$，推出$△ ADE∽△ ABC$，结合$AD:DB=1:3$得到线段比例关系，再结合含$30°$角的直角三角形的性质，设参数表示出$BC$和$CE$的长度，代入计算比值即可。
【解析】
解：设$AD=a$，则$DB=3a$，因此$AB=AD+DB=4a$。
$\because ∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=2a$，$AC=AB·\cos30°=4a×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a$。
$\because DE⊥ AC$，$∠ C=90°$，
$\therefore DE// BC$，根据平行线分线段成比例可得$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，即$EC=\frac{3}{4}AC$。
代入$AC$的长度得：$EC=\frac{3}{4}×2\sqrt{3}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a$。
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$∠ C=90°$，
$\therefore \tan∠ CBE=\frac{CE}{BC}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}a}{2a}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例
【点评】
本题综合考查了相似三角形、平行线分线段成比例以及锐角三角函数的计算，解题关键是将所求角的正切值转化为直角三角形对应边的比值，通过设参数可简化计算过程。
【难度系数】
0.65
④ 在$△ ABC$中，如果$AB=AC=3$，$BC=2$，那么底角的正弦值为
⑤ 一个斜坡的坡度$i=1:3$，斜坡高为6米，则斜坡长为
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
。⑤ 一个斜坡的坡度$i=1:3$，斜坡高为6米，则斜坡长为
$6\sqrt{10}$
米。答案
4.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 5.$6\sqrt{10}$
解析
【分析】
第④题：题目给出等腰△ABC的三边长，要求底角的正弦值，首先回忆等腰三角形三线合一的性质，可过顶点作底边的高，将底角放在直角三角形中，再利用勾股定理求出高的长度，最后根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）计算即可。
第⑤题：已知斜坡的坡度和高度，要求斜坡长，首先明确坡度的定义是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，先根据坡度求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜坡的长度即可。
【解析】
④ 解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=3，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×2=1$（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴底角∠B的正弦值$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
⑤ 解：设斜坡的水平宽度为x米，
∵坡度i=垂直高度:水平宽度=1:3，斜坡高为6米，
∴$6:x=1:3$，解得$x=18$，
由勾股定理得斜坡长为$\sqrt{6^2 + 18^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$（米）。
【答案】
4.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；5.$6\sqrt{10}$
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰三角形性质，坡度的概念
【点评】
这两道题是解直角三角形的常见基础题型，解题关键是合理构造直角三角形，熟练掌握相关概念和勾股定理的应用，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
第④题：题目给出等腰△ABC的三边长，要求底角的正弦值，首先回忆等腰三角形三线合一的性质，可过顶点作底边的高，将底角放在直角三角形中，再利用勾股定理求出高的长度，最后根据锐角正弦的定义（对边与斜边的比值）计算即可。
第⑤题：已知斜坡的坡度和高度，要求斜坡长，首先明确坡度的定义是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，先根据坡度求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜坡的长度即可。
【解析】
④ 解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=3，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×2=1$（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴底角∠B的正弦值$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
⑤ 解：设斜坡的水平宽度为x米，
∵坡度i=垂直高度:水平宽度=1:3，斜坡高为6米，
∴$6:x=1:3$，解得$x=18$，
由勾股定理得斜坡长为$\sqrt{6^2 + 18^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$（米）。
【答案】
4.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；5.$6\sqrt{10}$
【知识点】
锐角三角函数定义，等腰三角形性质，坡度的概念
【点评】
这两道题是解直角三角形的常见基础题型，解题关键是合理构造直角三角形，熟练掌握相关概念和勾股定理的应用，整体计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
6 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$是$∠ B$的平分线，并交$AC$于点$D$，将$△ BCD$沿着直线$BD$折叠，点$C$落在点$C_1$处，如果$AB=5$，$AC=4$，那么$\sin∠ ADC_1$的值是
$\frac{4}{5}$
。答案
6.$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角三角形入手，先用勾股定理求出BC的长度；再结合折叠的性质和角平分线的特点，判断出折叠后点C₁落在AB边上，得到对应边、对应角的等量关系；最后求∠ADC₁的正弦值时，可以通过同角的余角相等推导∠ADC₁与∠ABC相等，直接利用∠ABC的正弦值求解，也可以通过角平分线定理求出相关线段长度，在Rt△AC₁D中直接计算正弦值，两种方法均符合初中知识要求。
【解析】
1. 计算BC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
2. 分析折叠后的等量关系：
将$△ BCD$沿$BD$折叠，点$C$落在$C_1$处，根据折叠的性质得：$BC_1=BC=3$，$∠ BC_1D=∠ C=90°$。
又因为$BD$是$∠ ABC$的平分线，所以点$C_1$落在$AB$边上，因此$AC_1=AB-BC_1=5-3=2$。
3. 计算$\sin∠ ADC_1$的值：
因为$∠ AC_1D=180°-∠ BC_1D=90°$，所以在$\mathrm{Rt}△AC_1D$中，$∠ A+∠ ADC_1=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A+∠ ABC=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ ADC_1=∠ ABC$。
因此$\sin∠ ADC_1=\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、轴对称变换的特点和锐角三角函数的计算，解题的核心是利用折叠和角平分线的性质确定点$C_1$的位置，再通过角的等量关系简化计算，解题方法灵活，能很好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先从已知的直角三角形入手，先用勾股定理求出BC的长度；再结合折叠的性质和角平分线的特点，判断出折叠后点C₁落在AB边上，得到对应边、对应角的等量关系；最后求∠ADC₁的正弦值时，可以通过同角的余角相等推导∠ADC₁与∠ABC相等，直接利用∠ABC的正弦值求解，也可以通过角平分线定理求出相关线段长度，在Rt△AC₁D中直接计算正弦值，两种方法均符合初中知识要求。
【解析】
1. 计算BC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
2. 分析折叠后的等量关系：
将$△ BCD$沿$BD$折叠，点$C$落在$C_1$处，根据折叠的性质得：$BC_1=BC=3$，$∠ BC_1D=∠ C=90°$。
又因为$BD$是$∠ ABC$的平分线，所以点$C_1$落在$AB$边上，因此$AC_1=AB-BC_1=5-3=2$。
3. 计算$\sin∠ ADC_1$的值：
因为$∠ AC_1D=180°-∠ BC_1D=90°$，所以在$\mathrm{Rt}△AC_1D$中，$∠ A+∠ ADC_1=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A+∠ ABC=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ ADC_1=∠ ABC$。
因此$\sin∠ ADC_1=\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、轴对称变换的特点和锐角三角函数的计算，解题的核心是利用折叠和角平分线的性质确定点$C_1$的位置，再通过角的等量关系简化计算，解题方法灵活，能很好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65
7 如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$∠ BAD＝45°$，$∠ DAC＝90°$，则$\cos C＝$
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
。答案
7.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
已知AD是△ABC的中线，可采用倍长中线的辅助线方法构造全等三角形，将已知的∠DAC=90°转移到新的直角三角形中，结合∠BAD=45°的特殊角性质得到边的数量关系，最后在Rt△ADC中根据余弦的定义计算cosC的值。
【解析】
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD。
在△BDE和△CDA中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠ BDE=∠ CDA \\ DE=AD \end{array} $
∴ △BDE≌△CDA（SAS），
∴ BE=AC，$∠ E=∠ DAC=90°$。
又
∵ $∠ BAD=45°$，
∴ Rt△ABE为等腰直角三角形，
∴ AE=BE。
∵ AE=AD+DE=2AD，
∴ BE=2AD，即AC=2AD。
在Rt△ADC中，$∠ DAC=90°$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{AD^2+(2AD)^2}=\sqrt{5}AD$，
根据余弦的定义：$\cos C=\frac{AC}{DC}=\frac{2AD}{\sqrt{5}AD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是三角形与三角函数结合的典型题型，解题的关键是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过全等实现边和角的转移，再结合特殊直角三角形的性质和三角函数定义即可求解。
【难度系数】
0.6
已知AD是△ABC的中线，可采用倍长中线的辅助线方法构造全等三角形，将已知的∠DAC=90°转移到新的直角三角形中，结合∠BAD=45°的特殊角性质得到边的数量关系，最后在Rt△ADC中根据余弦的定义计算cosC的值。
【解析】
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵ AD是BC边上的中线，
∴ BD=CD。
在△BDE和△CDA中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠ BDE=∠ CDA \\ DE=AD \end{array} $
∴ △BDE≌△CDA（SAS），
∴ BE=AC，$∠ E=∠ DAC=90°$。
又
∵ $∠ BAD=45°$，
∴ Rt△ABE为等腰直角三角形，
∴ AE=BE。
∵ AE=AD+DE=2AD，
∴ BE=2AD，即AC=2AD。
在Rt△ADC中，$∠ DAC=90°$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{AD^2+(2AD)^2}=\sqrt{5}AD$，
根据余弦的定义：$\cos C=\frac{AC}{DC}=\frac{2AD}{\sqrt{5}AD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是三角形与三角函数结合的典型题型，解题的关键是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过全等实现边和角的转移，再结合特殊直角三角形的性质和三角函数定义即可求解。
【难度系数】
0.6
8 如图，计划为坡度为$i=1:3$的楼梯铺设地毯，若线段AB的长为$3\sqrt{10}$米，则共需铺设地毯
12
米。答案
8.12
解析
【分析】
要计算地毯的总长度，首先可通过平移的思路分析：楼梯所有水平台阶的长度之和等于直角边AC的长度，所有竖直台阶的高度之和等于直角边BC的长度，因此地毯总长度为AC+BC。接下来根据坡度的定义，坡度i是铅直高度与水平宽度的比值，即BC:AC=1:3，因此可设未知量，结合直角三角形的勾股定理求解BC和AC的长度，相加即可得到结果。
【解析】
解：设BC的长度为x米，
∵ 坡度i=1:3，即铅直高度与水平宽度的比为1:3，
∴ AC=3x米，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AB=3\sqrt{10}$米，得：
$(3\sqrt{10})^2=(3x)^2+x^2$
化简得：$90=10x^2$
解得$x=3$（长度为正数，舍去负根），
∴ BC=3米，AC=3×3=9米，
地毯总长度=AC+BC=9+3=12米。
【答案】
12
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，平移的性质
【点评】
本题的核心是将地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，结合坡度定义和勾股定理即可求解，解题时要注意理解坡度的含义，避免混淆比的前后项。
【难度系数】
0.7
要计算地毯的总长度，首先可通过平移的思路分析：楼梯所有水平台阶的长度之和等于直角边AC的长度，所有竖直台阶的高度之和等于直角边BC的长度，因此地毯总长度为AC+BC。接下来根据坡度的定义，坡度i是铅直高度与水平宽度的比值，即BC:AC=1:3，因此可设未知量，结合直角三角形的勾股定理求解BC和AC的长度，相加即可得到结果。
【解析】
解：设BC的长度为x米，
∵ 坡度i=1:3，即铅直高度与水平宽度的比为1:3，
∴ AC=3x米，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AB=3\sqrt{10}$米，得：
$(3\sqrt{10})^2=(3x)^2+x^2$
化简得：$90=10x^2$
解得$x=3$（长度为正数，舍去负根），
∴ BC=3米，AC=3×3=9米，
地毯总长度=AC+BC=9+3=12米。
【答案】
12
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，平移的性质
【点评】
本题的核心是将地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，结合坡度定义和勾股定理即可求解，解题时要注意理解坡度的含义，避免混淆比的前后项。
【难度系数】
0.7
