13 某仓储中心有一个坡度 $ i = 1:2 $ 的斜坡 $ AB $，顶部 $ A $ 处的高 $ AC $ 为4米，$ B、C $ 在同一水平地面上，其横截面如图。
（1）求该斜坡的坡面 $ AB $ 的长度。
（2）现有一个侧面图为矩形 $ DEFG $ 的长方体货柜，其中长 $ DE = 2.5 $ 米，高 $ EF = 2 $ 米，该货柜沿斜坡向下时，点 $ D $ 离 $ BC $ 所在水平面的高度不断变化。求当 $ BF = 3.5 $ 米时，点 $ D $ 离 $ BC $ 所在水平面的高度 $ DH $。

(1) $AB=4\sqrt{5}$米。
(2) 由$∠ DGM=∠ MHB=90°$,$∠ GMD=∠ HMB$,可得$∠ B=∠ GDM$。在$\mathrm{Rt}△ DGM$中,$∠ DGM=90°$,$\tan∠ GDM=\tan B=\frac{GM}{DG}=\frac{1}{2}$,所以$GM=1$米,$DM=\sqrt{5}$米。所以$MF=GF-GM=1.5$米,$BM=MF+BF=5$米。因为$MH// AC$,所以$\frac{MH}{AC}=\frac{BM}{AB}$,所以$\frac{MH}{4}=\frac{5}{4\sqrt{5}}$,所以$MH=\sqrt{5}$米,所以$DH=DM+MH=2\sqrt{5}$米。

【分析】
（1）解第一问时，先依据坡度的定义：坡度是铅直高度与水平宽度的比，即$i=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，结合已知AC的长度先求出BC的长，再利用勾股定理计算坡面AB的长度。
（2）解第二问时，首先根据矩形的性质得到DG、GF的长度，再通过“等角的余角相等”证明$∠GDM=∠B$，结合坡度对应的$\tan B=\frac{1}{2}$，在$Rt△DGM$中求出GM、DM的长度；接着计算BM的长度，利用MH与AC平行证明$△BMH∽△BAC$，通过相似三角形对应边成比例求出MH的长度，最终DH的长度为DM与MH的和。
【解析】
（1）
∵斜坡AB的坡度$i=1:2$，即$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，
已知$AC=4$米，
∴$BC=2AC=8$米，
在$Rt△ACB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$（米）。
（2）
∵四边形DEFG是矩形，
∴$DG=EF=2$米，$GF=DE=2.5$米，
∵$∠DGM=∠MHB=90°$，$∠GMD=∠HMB$，
∴$∠GDM=∠B$，
∴$\tan∠GDM=\tan B=\frac{1}{2}=\frac{GM}{DG}$，
代入$DG=2$米，得$GM=1$米，
在$Rt△DGM$中，$DM=\sqrt{DG^2+GM^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$（米），
∴$MF=GF-GM=2.5-1=1.5$（米），
$BM=BF+MF=3.5+1.5=5$（米），
∵$DH⊥BC$，$AC⊥BC$，
∴$MH// AC$，
∴$△BMH∽△BAC$，
∴$\frac{MH}{AC}=\frac{BM}{AB}$，
代入数值：$\frac{MH}{4}=\frac{5}{4\sqrt{5}}$，解得$MH=\sqrt{5}$米，
∴$DH=DM+MH=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$（米）。
【答案】
（1）$4\sqrt{5}$米
（2）$2\sqrt{5}$米
【知识点】
坡度的定义、勾股定理、相似三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，将坡度、矩形性质、相似三角形等知识结合，考查了学生将实际问题转化为几何模型求解的能力，解题的核心是利用坡度得到对应角的三角函数值，再结合几何图形的线段关系逐步求解。
【难度系数】
0.65

14 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题：
平地秋千未起，踏板一尺离地。
送行二步与人齐，五尺人高曾记。
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺。（假设秋千的绳索始终处于拉直状态）
（1）如图①，请你根据词意计算秋千绳索 OA 的长度。
（2）某公园有一秋千如图②所示，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方 OA''，两次位置的高度差 PQ = h。当α = 46°，β = 28°，h = 0.8米时，求该秋千绳索 OA 的长度。（参考数据：$\sin46° \approx 0.72$，$\cos46° \approx 0.69$，$\tan46° \approx 1.04$，$\sin28° \approx 0.47$，$\cos28° \approx 0.88$，$\tan28° \approx 0.53$，结果精确到0.1米）

(1) 过点$A'$作$A'H⊥ OA$于点$H$。设$OA=OA'=x$尺。由题意得$A'H=10$尺,$OH=OA+1-5=(x-4)$尺。在$\mathrm{Rt}△ A'HO$中,$∠ A'HO=90°$,所以$OA'^2=A'H^2+OH^2$,即$x^2=10^2+(x-4)^2$,解得$x=14.5$,所以$OA=14.5$尺。
(2) 设$OA=OA'=x$米。在$\mathrm{Rt}△ OPA'$中,$∠ OPA'=90°$,所以$\cos∠ A'OP=\frac{OP}{OA'}$,所以$OP=x\cosα$。同理,$OQ=x\cosβ$,所以$PQ=OQ-OP=x(\cosβ-\cosα)$,所以$x=\frac{0.8}{\cos28°-\cos46°}\approx4.2$,所以$OA\approx4.2$米。

【分析】
（1）第一问抓住秋千绳索长度不变的特点，利用勾股定理列方程求解：先作辅助线构造直角三角形，设绳索OA长为x尺，可得OA'=x尺，再根据题意表示出直角三角形两条直角边的长度，代入勾股定理公式列方程计算即可。
（2）第二问利用余弦的定义表示线段长度建立方程求解：设绳索长为x米，分别在两个直角三角形中用含x的式子表示OP、OQ的长度，根据PQ=OQ-OP=h的等量关系列方程，代入已知的三角函数值计算即可得到绳索长度。
【解析】
(1) 过点$A'$作$A'H⊥ OA$于点$H$。设$OA=OA'=x$尺。
由题意得$A'H=10$尺，$OH=OA+1-5=(x-4)$尺。
在$\mathrm{Rt}△ A'HO$中，$∠ A'HO=90°$，根据勾股定理有：
$OA'^2=A'H^2+OH^2$
代入边长可得：$x^2=10^2+(x-4)^2$
展开化简得：$8x=116$，解得$x=14.5$。
(2) 设$OA=OA'=OA''=x$米。
在$\mathrm{Rt}△ OPA'$中，$∠ OPA'=90°$，根据余弦定义$\cos∠ A'OP=\frac{OP}{OA'}$，得$OP=x\cosα$。
同理可得$OQ=x\cosβ$。
由$PQ=OQ-OP=h$，得$x(\cosβ-\cosα)=h$。
代入$α=46°$，$β=28°$，$h=0.8$，$\cos46°\approx0.69$，$\cos28°\approx0.88$得：
$x=\frac{0.8}{0.88-0.69}=\frac{0.8}{0.19}\approx4.2$。
【答案】
(1) 秋千绳索OA的长度为14.5尺；
(2) 秋千绳索OA的长度约为4.2米。
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数应用，方程思想
【点评】
本题结合古代数学问题与生活实际，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，既巩固了勾股定理、锐角三角函数的基础知识点，也能让学生体会数学在生活中的应用价值，整体解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7