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⑧ 如图，斜面AC的坡度为1：2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A点有一条彩带相连，已知CD=3米，AB=10米，则旗杆BC的高度为
5
米。答案
5
解析
【分析】
解题时首先要明确坡度的定义，坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值，本题中斜面AC坡度为1:2，即垂直高度CD与水平宽度AD的比为1:2，已知CD长度可先求出AD的长；其次观察图形可知△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边AD的长度，可利用勾股定理求出BD的长度；最后BD是旗杆BC与坡顶垂直高度CD的和，用BD减去CD即可得到旗杆BC的高度。
【解析】
解：
∵ 斜面AC的坡度为1:2
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$
已知CD=3米，代入得：$AD=2CD=2×3=6$米
由题意可知∠D=90°，在Rt△ABD中，AB=10米，AD=6米
根据勾股定理：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$米
又
∵ BD=BC+CD
∴ BC=BD - CD=8 - 3=5米
【答案】
5
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题核心是准确理解坡度的含义，合理构造直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长度，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确坡度的定义，坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比值，本题中斜面AC坡度为1:2，即垂直高度CD与水平宽度AD的比为1:2，已知CD长度可先求出AD的长；其次观察图形可知△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边AD的长度，可利用勾股定理求出BD的长度；最后BD是旗杆BC与坡顶垂直高度CD的和，用BD减去CD即可得到旗杆BC的高度。
【解析】
解：
∵ 斜面AC的坡度为1:2
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$
已知CD=3米，代入得：$AD=2CD=2×3=6$米
由题意可知∠D=90°，在Rt△ABD中，AB=10米，AD=6米
根据勾股定理：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$米
又
∵ BD=BC+CD
∴ BC=BD - CD=8 - 3=5米
【答案】
5
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题核心是准确理解坡度的含义，合理构造直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长度，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
9 如图，水库堤坝的横断面是四边形ABCD，且BC // AD，测得BC长为30 m，CD长为$20\sqrt{5}$ m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为
130
m。答案
130
解析
【分析】
遇到堤坝横断面这类梯形类的坡度问题，首先通过作两条高将梯形分割为矩形和两个直角三角形，利用矩形性质得到中间段坝底长度等于顶宽，再结合坡比的定义（垂直高度与水平宽度的比值）和勾股定理，分别求出两个斜坡对应的水平宽度，最后将三段长度相加即可得到坝底总宽。
解题步骤：①作辅助线构造直角三角形和矩形；②利用斜坡CD的坡比和CD长度，求出坝高和CD对应的水平宽度；③利用坝高相等和斜坡AB的坡比，求出AB对应的水平宽度；④三段相加得到AD的长度。
【解析】
解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=30m，BE=CF。
∵斜坡CD的坡比为1:2，即$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2}$，
设CF=x m，则FD=2x m，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：
$CD^2=CF^2+FD^2$，
代入$CD=20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，得：
$(20\sqrt{5})^2=x^2+(2x)^2$，
$2000=5x^2$，
解得$x=20$（长度为正，舍去负根），
∴CF=20m，FD=2×20=40m，
∴BE=CF=20m。
∵斜坡AB的坡比为1:3，即$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，
∴AE=3BE=3×20=60m，
∴AD=AE+EF+FD=60+30+40=130m。
【答案】
130
【知识点】
坡度的定义；勾股定理；解直角三角形的应用
【点评】
本题是坡度应用的常见题型，核心思路是通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，解题关键是准确理解坡比的含义，结合勾股定理计算各线段长度，整体解题思路固定，难度适中。
【难度系数】
0.7
遇到堤坝横断面这类梯形类的坡度问题，首先通过作两条高将梯形分割为矩形和两个直角三角形，利用矩形性质得到中间段坝底长度等于顶宽，再结合坡比的定义（垂直高度与水平宽度的比值）和勾股定理，分别求出两个斜坡对应的水平宽度，最后将三段长度相加即可得到坝底总宽。
解题步骤：①作辅助线构造直角三角形和矩形；②利用斜坡CD的坡比和CD长度，求出坝高和CD对应的水平宽度；③利用坝高相等和斜坡AB的坡比，求出AB对应的水平宽度；④三段相加得到AD的长度。
【解析】
解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F。
∵BC//AD，BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC是矩形，
∴EF=BC=30m，BE=CF。
∵斜坡CD的坡比为1:2，即$\frac{CF}{FD}=\frac{1}{2}$，
设CF=x m，则FD=2x m，
在Rt△CFD中，由勾股定理得：
$CD^2=CF^2+FD^2$，
代入$CD=20\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，得：
$(20\sqrt{5})^2=x^2+(2x)^2$，
$2000=5x^2$，
解得$x=20$（长度为正，舍去负根），
∴CF=20m，FD=2×20=40m，
∴BE=CF=20m。
∵斜坡AB的坡比为1:3，即$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，
∴AE=3BE=3×20=60m，
∴AD=AE+EF+FD=60+30+40=130m。
【答案】
130
【知识点】
坡度的定义；勾股定理；解直角三角形的应用
【点评】
本题是坡度应用的常见题型，核心思路是通过作高将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形，解题关键是准确理解坡比的含义，结合勾股定理计算各线段长度，整体解题思路固定，难度适中。
【难度系数】
0.7
10 如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是$45°$，沿斜坡AF走$2\sqrt{5}$米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为$30°$，且斜坡AF的坡比为$1:2$，则大树BC的高度为
$5+3\sqrt{3}$
米。（结果保留根号）答案
$5+3\sqrt{3}$ ［提示:由题意可得$DH=2$米,$AH=4$米,$∠ G=30°$,所以$GD=2DH=4$米,$GH=\sqrt{3}DH=2\sqrt{3}$米。设$BC=x$米,则$AC=x$米。因为$DH// BC$,所以$\frac{DH}{BC}=\frac{GH}{GC}$,所以$\frac{2}{x}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+4+x}$,解得$x=5+3\sqrt{3}$,即$BC=5+3\sqrt{3}$(米)。］
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 遇到斜坡坡比，先过斜坡上的点D作DH⊥AC于H，构造直角三角形，利用坡比和AD的长度，通过勾股定理算出DH和AH的长度；2. 点A处仰角为45°，可知△ABC是等腰直角三角形，即BC=AC，可设BC的高度为x，用x表示出AC的长度；3. 过D作DE⊥BC于E，得到矩形DHCE，用含x的式子表示出Rt△BDE的两条直角边BE、DE的长度，结合∠BDE=30°的正切值列方程，求解即可得到BC的高度。
【解析】
过点D作$DH⊥ AC$于H，$DE⊥ BC$于E，
∵ 四边形DHCE是矩形，
∴ $EC=DH$，$DE=HC$。
已知斜坡AF的坡比为$1:2$，即$\frac{DH}{AH}=\frac{1}{2}$，设$DH=k$，则$AH=2k$，
在$Rt△ ADH$中，$AD=2\sqrt{5}$米，由勾股定理得：
$DH^2+AH^2=AD^2$，即$k^2+(2k)^2=(2\sqrt{5})^2$，
解得$k=2$（长度为正，舍去负解），
∴ $DH=2$米，$AH=4$米。
设$BC=x$米，
∵ 在点A测得B的仰角为$45°$，$∠ C=90°$，
∴ $AC=BC=x$米，
∴ $DE=HC=AH+AC=(4+x)$米，$BE=BC-EC=BC-DH=(x-2)$米，
在$Rt△ BDE$中，$∠ BDE=30°$，$\tan30°=\frac{BE}{DE}$，
即$\frac{x-2}{x+4}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
交叉相乘得：$3(x-2)=\sqrt{3}(x+4)$，
整理得：$3x-6=\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$，
移项得：$x(3-\sqrt{3})=6+4\sqrt{3}$，
解得：$x=\frac{6+4\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{(6+4\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{30+18\sqrt{3}}{6}=5+3\sqrt{3}$。
【答案】
$5+3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角俯角，坡度坡比
【点评】
本题是解直角三角形应用的典型题型，将坡度、仰角知识点相结合，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知条件转化到直角三角形中，利用三角函数关系列方程求解，同时也考查了分母有理化的计算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：1. 遇到斜坡坡比，先过斜坡上的点D作DH⊥AC于H，构造直角三角形，利用坡比和AD的长度，通过勾股定理算出DH和AH的长度；2. 点A处仰角为45°，可知△ABC是等腰直角三角形，即BC=AC，可设BC的高度为x，用x表示出AC的长度；3. 过D作DE⊥BC于E，得到矩形DHCE，用含x的式子表示出Rt△BDE的两条直角边BE、DE的长度，结合∠BDE=30°的正切值列方程，求解即可得到BC的高度。
【解析】
过点D作$DH⊥ AC$于H，$DE⊥ BC$于E，
∵ 四边形DHCE是矩形，
∴ $EC=DH$，$DE=HC$。
已知斜坡AF的坡比为$1:2$，即$\frac{DH}{AH}=\frac{1}{2}$，设$DH=k$，则$AH=2k$，
在$Rt△ ADH$中，$AD=2\sqrt{5}$米，由勾股定理得：
$DH^2+AH^2=AD^2$，即$k^2+(2k)^2=(2\sqrt{5})^2$，
解得$k=2$（长度为正，舍去负解），
∴ $DH=2$米，$AH=4$米。
设$BC=x$米，
∵ 在点A测得B的仰角为$45°$，$∠ C=90°$，
∴ $AC=BC=x$米，
∴ $DE=HC=AH+AC=(4+x)$米，$BE=BC-EC=BC-DH=(x-2)$米，
在$Rt△ BDE$中，$∠ BDE=30°$，$\tan30°=\frac{BE}{DE}$，
即$\frac{x-2}{x+4}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
交叉相乘得：$3(x-2)=\sqrt{3}(x+4)$，
整理得：$3x-6=\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$，
移项得：$x(3-\sqrt{3})=6+4\sqrt{3}$，
解得：$x=\frac{6+4\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{(6+4\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{30+18\sqrt{3}}{6}=5+3\sqrt{3}$。
【答案】
$5+3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，仰角俯角，坡度坡比
【点评】
本题是解直角三角形应用的典型题型，将坡度、仰角知识点相结合，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知条件转化到直角三角形中，利用三角函数关系列方程求解，同时也考查了分母有理化的计算能力。
【难度系数】
0.6
11 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD。测得BC=9 m，CD=6 m，斜坡CD的坡度i=1:√3，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，求电线杆AB的高度。（结果保留根号）
答案
$(6+3\sqrt{3})\mathrm{m}$
解析
【分析】
解决本题的核心是通过作辅助线将实际问题转化为解直角三角形问题。首先过D分别作BC延长线的垂线和AB的垂线，构造出矩形和两个直角三角形；先利用斜坡CD的坡度求出DF、CF的长度，再结合仰角30°求出AG的长度，最后利用矩形对边相等的性质，将AG与BG（等于DF）相加即可得到AB的高度。
【解析】
解：过点D作$DF⊥ BC$，交BC的延长线于点F，过点D作$DG⊥ AB$于点G，
则四边形DFBG为矩形，$\therefore BG=DF$，$DG=BF$。
∵斜坡CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ DCF=\frac{DF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ DCF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$CD=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore DF=CD·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3\ \mathrm{m}$，
$CF=CD·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=BC+CF=9+3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$DG=9+3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$∠ ADG=30°$，
$\therefore AG=DG·\tan30°=(9+3\sqrt{3})×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}+3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AG+BG=AG+DF=(3\sqrt{3}+3)+3=6+3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(6+3\sqrt{3})\mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形，灵活运用特殊角的三角函数值计算是解题的核心，这类题目也是三角函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是通过作辅助线将实际问题转化为解直角三角形问题。首先过D分别作BC延长线的垂线和AB的垂线，构造出矩形和两个直角三角形；先利用斜坡CD的坡度求出DF、CF的长度，再结合仰角30°求出AG的长度，最后利用矩形对边相等的性质，将AG与BG（等于DF）相加即可得到AB的高度。
【解析】
解：过点D作$DF⊥ BC$，交BC的延长线于点F，过点D作$DG⊥ AB$于点G，
则四边形DFBG为矩形，$\therefore BG=DF$，$DG=BF$。
∵斜坡CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ DCF=\frac{DF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ DCF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$CD=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore DF=CD·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3\ \mathrm{m}$，
$CF=CD·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=BC+CF=9+3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$DG=9+3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$∠ ADG=30°$，
$\therefore AG=DG·\tan30°=(9+3\sqrt{3})×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}+3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AG+BG=AG+DF=(3\sqrt{3}+3)+3=6+3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(6+3\sqrt{3})\mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，正确作出辅助线构造直角三角形，灵活运用特殊角的三角函数值计算是解题的核心，这类题目也是三角函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.65
12 如图,小岛 B 正好在深水港口 A 的东南方向,一艘集装箱货船从港口 A 出发,沿正东方向以每小时 30 千米的速度行驶,40 分钟后在 C 处测得小岛 B 在它的南偏东 15°方向,求小岛 B 离深水港口 A 的距离(精确到 0.1 千米)。(参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{6} \approx 2.45$, $\sin15° \approx 0.26$, $\cos15° \approx 0.97$, $\tan15° \approx 0.27$)
答案
38.6千米 ［提示:作$CH⊥ AB$于点$H$,可得$∠ ACH=45°$,$∠ HCB=60°$。］
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的方位角应用题，解题思路如下：首先根据路程公式计算AC的长度；其次结合方位角信息确定△ABC的内角度数：由B在A的东南方向得∠CAB=45°，由C处测得B在南偏东15°得∠ACB=105°，进一步算出∠B=30°；最后作辅助线CH⊥AB，将△ABC拆分为两个直角三角形，分别在两个直角三角形中求出AH、HB的长度，相加即可得到AB的距离。
【解析】
解：先计算AC的长度：
40分钟=$\frac{2}{3}$小时，$AC=30×\frac{2}{3}=20$千米。
过点C作$CH⊥ AB$于点H。
∵小岛B在A的东南方向，
∴$∠ CAB=45°$，
在$Rt△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ CAH=45°$，$AC=20\mathrm{km}$，
∴$CH=AH=AC·\sin45°=20×\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
∵在C处测得B在南偏东15°方向，
∴$∠ ACB=90°+15°=105°$，
∴$∠ B=180°-∠ CAB-∠ ACB=180°-45°-105°=30°$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ BHC=90°$，$∠ B=30°$，$CH=10\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，
∴$HB=CH·\cot30°=10\sqrt{2}×\sqrt{3}=10\sqrt{6}\ \mathrm{km}$。
∴$AB=AH+HB=10\sqrt{2}+10\sqrt{6}\approx10×1.41+10×2.45=38.6\ \mathrm{km}$。
【答案】
38.6千米
【知识点】
解直角三角形的应用、方位角识别、特殊角的三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题的关键是正确理解方位角的含义，通过作高构造直角三角形，结合三角形内角和确定特殊角度，再利用特殊角的三角函数值计算边长即可。
【难度系数】
0.65
这是一道解直角三角形的方位角应用题，解题思路如下：首先根据路程公式计算AC的长度；其次结合方位角信息确定△ABC的内角度数：由B在A的东南方向得∠CAB=45°，由C处测得B在南偏东15°得∠ACB=105°，进一步算出∠B=30°；最后作辅助线CH⊥AB，将△ABC拆分为两个直角三角形，分别在两个直角三角形中求出AH、HB的长度，相加即可得到AB的距离。
【解析】
解：先计算AC的长度：
40分钟=$\frac{2}{3}$小时，$AC=30×\frac{2}{3}=20$千米。
过点C作$CH⊥ AB$于点H。
∵小岛B在A的东南方向，
∴$∠ CAB=45°$，
在$Rt△ ACH$中，$∠ AHC=90°$，$∠ CAH=45°$，$AC=20\mathrm{km}$，
∴$CH=AH=AC·\sin45°=20×\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
∵在C处测得B在南偏东15°方向，
∴$∠ ACB=90°+15°=105°$，
∴$∠ B=180°-∠ CAB-∠ ACB=180°-45°-105°=30°$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ BHC=90°$，$∠ B=30°$，$CH=10\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，
∴$HB=CH·\cot30°=10\sqrt{2}×\sqrt{3}=10\sqrt{6}\ \mathrm{km}$。
∴$AB=AH+HB=10\sqrt{2}+10\sqrt{6}\approx10×1.41+10×2.45=38.6\ \mathrm{km}$。
【答案】
38.6千米
【知识点】
解直角三角形的应用、方位角识别、特殊角的三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题的关键是正确理解方位角的含义，通过作高构造直角三角形，结合三角形内角和确定特殊角度，再利用特殊角的三角函数值计算边长即可。
【难度系数】
0.65
