登录
1. $2\frac{7}{9}$的平方根是（
A.$\pm\frac{5}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$-\frac{5}{3}$
D.$\frac{625}{81}$
A
）A.$\pm\frac{5}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$-\frac{5}{3}$
D.$\frac{625}{81}$
答案
1.A
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确平方根的核心定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，那么$x$就叫做$a$的平方根，且正数有两个互为相反数的平方根。解题时首先需要把题干中的带分数转化为假分数，再计算该假分数的平方根，最后匹配选项得到答案即可。
【解析】
第一步：将带分数转化为假分数
$2\frac{7}{9}=\frac{2×9+7}{9}=\frac{25}{9}$
第二步：根据平方根定义计算平方根
因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，所以$\frac{25}{9}$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$，即$2\frac{7}{9}$的平方根为$\pm\frac{5}{3}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
带分数化假分数；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见易错点有两处：一是带分数转假分数时计算错误，二是混淆平方根和算术平方根的概念，遗漏负的平方根。解题时要牢记正数的平方根有两个，二者互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先要明确平方根的核心定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，那么$x$就叫做$a$的平方根，且正数有两个互为相反数的平方根。解题时首先需要把题干中的带分数转化为假分数，再计算该假分数的平方根，最后匹配选项得到答案即可。
【解析】
第一步：将带分数转化为假分数
$2\frac{7}{9}=\frac{2×9+7}{9}=\frac{25}{9}$
第二步：根据平方根定义计算平方根
因为$(\pm\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$，所以$\frac{25}{9}$的平方根是$\pm\frac{5}{3}$，即$2\frac{7}{9}$的平方根为$\pm\frac{5}{3}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
带分数化假分数；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见易错点有两处：一是带分数转假分数时计算错误，二是混淆平方根和算术平方根的概念，遗漏负的平方根。解题时要牢记正数的平方根有两个，二者互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 下列关于平方根的说法：
①正数的平方根是正数；
②$−1$的平方根是$−1$；
③$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$；
④非负数$a$的平方根是非负数；
⑤$−m$是$m^2$的一个平方根；
⑥$n^2$的平方根是$n$.
其中正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①正数的平方根是正数；
②$−1$的平方根是$−1$；
③$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$；
④非负数$a$的平方根是非负数；
⑤$−m$是$m^2$的一个平方根；
⑥$n^2$的平方根是$n$.
其中正确的有 （
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查平方根的相关概念与性质，解题思路如下：首先回忆平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；其次注意遇到带根号的数时，要先化简再求它的平方根；最后逐一判断6个说法的正误，统计正确说法的数量，匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个判断各说法的正确性：
①正数的平方根是正数：错误，正数有两个平方根，一正一负，互为相反数，并非全是正数。
②$-1$的平方根是$-1$：错误，负数没有平方根，$-1$是负数，不存在平方根。
③$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$：错误，先化简得$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$。
④非负数$a$的平方根是非负数：错误，正数的平方根有一个是负数，只有算术平方根是非负数，平方根包含正负两个结果。
⑤$-m$是$m^2$的一个平方根：正确，因为$(-m)^2=m^2$，符合平方根的定义，无论$m$取何值该结论都成立。
⑥$n^2$的平方根是$n$：错误，$n^2$的平方根是$\pm n$，包含正负两个结果，不只有$n$。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；算术平方根化简
【点评】
本题是平方根模块的基础易错题，常见易错点为混淆平方根与算术平方根的概念、未先化简带根号的数就直接求平方根，解题时需紧扣定义逐一排查即可。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根的相关概念与性质，解题思路如下：首先回忆平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；其次注意遇到带根号的数时，要先化简再求它的平方根；最后逐一判断6个说法的正误，统计正确说法的数量，匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个判断各说法的正确性：
①正数的平方根是正数：错误，正数有两个平方根，一正一负，互为相反数，并非全是正数。
②$-1$的平方根是$-1$：错误，负数没有平方根，$-1$是负数，不存在平方根。
③$\sqrt{16}$的平方根是$\pm4$：错误，先化简得$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，不是$\pm4$。
④非负数$a$的平方根是非负数：错误，正数的平方根有一个是负数，只有算术平方根是非负数，平方根包含正负两个结果。
⑤$-m$是$m^2$的一个平方根：正确，因为$(-m)^2=m^2$，符合平方根的定义，无论$m$取何值该结论都成立。
⑥$n^2$的平方根是$n$：错误，$n^2$的平方根是$\pm n$，包含正负两个结果，不只有$n$。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；算术平方根化简
【点评】
本题是平方根模块的基础易错题，常见易错点为混淆平方根与算术平方根的概念、未先化简带根号的数就直接求平方根，解题时需紧扣定义逐一排查即可。
【难度系数】
0.7
3. 下列各数：$0$，$\dfrac{25}{4}$，$a^2 + 1$，$-(-\dfrac{1}{3})^2$，$-(-5)^2$，$\vert a - 1\vert$，$\vert a\vert - 1$，$\sqrt{16}$，$a^2 - 2a + 1$，$-a$，$a^2 - 6$，其中一定有平方根的数有
6
个.答案
3.6
解析
【分析】
解题的核心依据是平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。我们需要逐个判断给出的数是否无论a取任意实数都恒为非负数，统计符合条件的数的个数即可。判断时要结合平方、绝对值、二次根式的非负性分析含参数的代数式，注意要考虑参数所有可能的取值，不能仅用特殊值判断。
【解析】
根据“非负数才有平方根”的性质，逐个分析各数：
1. $0$：0是非负数，一定有平方根；
2. $\dfrac{25}{4}$：是固定正数，非负，一定有平方根；
3. $a^2 + 1$：任意实数的平方都满足$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，恒为非负数，一定有平方根；
4. $-(-\dfrac{1}{3})^2 = -\dfrac{1}{9} ＜0$，是负数，没有平方根；
5. $-(-5)^2 = -25 ＜0$，是负数，没有平方根；
6. $\vert a - 1\vert$：绝对值的性质是$\vert x\vert≥0$，因此$\vert a-1\vert≥0$，恒为非负数，一定有平方根；
7. $\vert a\vert - 1$：当$\vert a\vert＜1$（如$a=0$）时，$\vert a\vert -1=-1＜0$，是负数，不一定有平方根；
8. $\sqrt{16}=4＞0$，是固定正数，非负，一定有平方根；
9. $a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$：任意实数的平方都$≥0$，恒为非负数，一定有平方根；
10. $-a$：当$a＞0$（如$a=1$）时，$-a=-1＜0$，是负数，不一定有平方根；
11. $a^2 - 6$：当$a^2＜6$（如$a=0$）时，$a^2-6=-6＜0$，是负数，不一定有平方根。
综上，一定有平方根的数共6个。
【答案】
6
【知识点】
平方根的性质，绝对值的非负性，完全平方的非负性
【点评】
本题易错点是判断含参数的代数式时忽略参数的所有取值，导致多算不符合条件的数，解题时要熟练运用平方、绝对值的非负性判断代数式的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。我们需要逐个判断给出的数是否无论a取任意实数都恒为非负数，统计符合条件的数的个数即可。判断时要结合平方、绝对值、二次根式的非负性分析含参数的代数式，注意要考虑参数所有可能的取值，不能仅用特殊值判断。
【解析】
根据“非负数才有平方根”的性质，逐个分析各数：
1. $0$：0是非负数，一定有平方根；
2. $\dfrac{25}{4}$：是固定正数，非负，一定有平方根；
3. $a^2 + 1$：任意实数的平方都满足$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，恒为非负数，一定有平方根；
4. $-(-\dfrac{1}{3})^2 = -\dfrac{1}{9} ＜0$，是负数，没有平方根；
5. $-(-5)^2 = -25 ＜0$，是负数，没有平方根；
6. $\vert a - 1\vert$：绝对值的性质是$\vert x\vert≥0$，因此$\vert a-1\vert≥0$，恒为非负数，一定有平方根；
7. $\vert a\vert - 1$：当$\vert a\vert＜1$（如$a=0$）时，$\vert a\vert -1=-1＜0$，是负数，不一定有平方根；
8. $\sqrt{16}=4＞0$，是固定正数，非负，一定有平方根；
9. $a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$：任意实数的平方都$≥0$，恒为非负数，一定有平方根；
10. $-a$：当$a＞0$（如$a=1$）时，$-a=-1＜0$，是负数，不一定有平方根；
11. $a^2 - 6$：当$a^2＜6$（如$a=0$）时，$a^2-6=-6＜0$，是负数，不一定有平方根。
综上，一定有平方根的数共6个。
【答案】
6
【知识点】
平方根的性质，绝对值的非负性，完全平方的非负性
【点评】
本题易错点是判断含参数的代数式时忽略参数的所有取值，导致多算不符合条件的数，解题时要熟练运用平方、绝对值的非负性判断代数式的取值范围。
【难度系数】
0.7
4.若$2a - 3$的平方根是它本身，则$a^2 + 1$的值是
$\frac{13}{4}$
。答案
4.$\frac{13}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身。根据这一性质可列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入$a^2+1$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方根等于它本身的数只有0，
∴ $2a - 3 = 0$，
解得 $a = \frac{3}{2}$，
将$a=\frac{3}{2}$代入$a^2 + 1$得：
$a^2 + 1 = (\frac{3}{2})^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{13}{4}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于平方根相关的基础常考题，解题关键是牢记只有0的平方根是它本身，避免混淆平方根和算术平方根的性质，求出参数后代入计算即可得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身。根据这一性质可列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入$a^2+1$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方根等于它本身的数只有0，
∴ $2a - 3 = 0$，
解得 $a = \frac{3}{2}$，
将$a=\frac{3}{2}$代入$a^2 + 1$得：
$a^2 + 1 = (\frac{3}{2})^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{13}{4}$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于平方根相关的基础常考题，解题关键是牢记只有0的平方根是它本身，避免混淆平方根和算术平方根的性质，求出参数后代入计算即可得到答案。
【难度系数】
0.8
5. 新考法过程辨析法 已知$a-1$和$5-2a$都是非负数$m$的平方根，求$m$的值.
佳佳的解题过程如下：
解：因为$a-1$和$5-2a$都是非负数$m$的平方根，
所以$a-1+5-2a=0$，解得$a=4$，
所以$a-1=3$，所以$m$的值为9.
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由.
佳佳的解题过程如下：
解：因为$a-1$和$5-2a$都是非负数$m$的平方根，
所以$a-1+5-2a=0$，解得$a=4$，
所以$a-1=3$，所以$m$的值为9.
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由.
答案
【解】佳佳的解题过程不正确,理由如下：
因为 $a-1$ 和 $5-2a$ 是非负数 $m$ 的平方根，
所以当 $a-1+5-2a=0$ 时,解得 $a=4$，
所以 $a-1=3$,所以 $m$ 的值为 9；
当 $a-1=5-2a$ 时,解得 $a=2$,所以 $a-1=1$，
所以 $m$ 的值为 1.
综上所述,$m$ 的值为 1 或 9.
因为 $a-1$ 和 $5-2a$ 是非负数 $m$ 的平方根，
所以当 $a-1+5-2a=0$ 时,解得 $a=4$，
所以 $a-1=3$,所以 $m$ 的值为 9；
当 $a-1=5-2a$ 时,解得 $a=2$,所以 $a-1=1$，
所以 $m$ 的值为 1.
综上所述,$m$ 的值为 1 或 9.
解析
【分析】
解答本题需先明确非负数平方根的性质：一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，特殊地，0的平方根是0。已知两个代数式都是非负数m的平方根，存在两种情况：一是两个代数式为不同的平方根，互为相反数，和为0；二是两个代数式为同一个平方根，二者相等。佳佳的解题过程仅考虑了互为相反数的情况，遗漏了相等的情况，因此需分两类讨论求解，避免漏解。
【解析】
佳佳的解题过程不正确，理由如下：
因为$a-1$和$5-2a$是非负数$m$的平方根，分两种情况讨论：
1. 当两个平方根互为相反数时：
$a-1+5-2a=0$
解得$a=4$，此时$a-1=3$，则$m=3^2=9$；
2. 当两个平方根为同一个根（即二者相等）时：
$a-1=5-2a$
解得$a=2$，此时$a-1=1$，则$m=1^2=1$。
综上，$m$的值为1或9，佳佳仅考虑了第一种情况，出现漏解。
【答案】
佳佳的解题过程不正确，$m$的值为1或9。
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是平方根性质的典型易错题，解题时要全面理解平方根的定义，考虑到两个数是同一个平方根的可能，分类讨论所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解答本题需先明确非负数平方根的性质：一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数，特殊地，0的平方根是0。已知两个代数式都是非负数m的平方根，存在两种情况：一是两个代数式为不同的平方根，互为相反数，和为0；二是两个代数式为同一个平方根，二者相等。佳佳的解题过程仅考虑了互为相反数的情况，遗漏了相等的情况，因此需分两类讨论求解，避免漏解。
【解析】
佳佳的解题过程不正确，理由如下：
因为$a-1$和$5-2a$是非负数$m$的平方根，分两种情况讨论：
1. 当两个平方根互为相反数时：
$a-1+5-2a=0$
解得$a=4$，此时$a-1=3$，则$m=3^2=9$；
2. 当两个平方根为同一个根（即二者相等）时：
$a-1=5-2a$
解得$a=2$，此时$a-1=1$，则$m=1^2=1$。
综上，$m$的值为1或9，佳佳仅考虑了第一种情况，出现漏解。
【答案】
佳佳的解题过程不正确，$m$的值为1或9。
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是平方根性质的典型易错题，解题时要全面理解平方根的定义，考虑到两个数是同一个平方根的可能，分类讨论所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6.若$8x^m y$与$6x^3 y^n$的和是单项式，则$(m+n)^3$的平方根为（
A.4
B.8
C.$\pm4$
D.$\pm8$
D
）A.4
B.8
C.$\pm4$
D.$\pm8$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，第一步先明确“两个单项式的和是单项式”的含义：说明这两个单项式是同类项，只有同类项才能合并为一个单项式。接下来根据同类项的定义“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”，求出m、n的值；再代入计算$(m+n)^3$的结果；最后根据平方根的定义求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$8x^m y$与$6x^3 y^n$的和是单项式
∴$8x^m y$与$6x^3 y^n$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m=3$，$n=1$
∴$m+n=3+1=4$
∴$(m+n)^3=4^3=64$
∵正数的平方根有两个，且互为相反数，$\pm\sqrt{64}=\pm8$
∴$(m+n)^3$的平方根为$\pm8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.同类项的定义
2.有理数的乘方
3.平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先根据“和为单项式”判断两个单项式为同类项，求出参数值，再计算平方根，需要注意平方根和算术平方根的区别，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，第一步先明确“两个单项式的和是单项式”的含义：说明这两个单项式是同类项，只有同类项才能合并为一个单项式。接下来根据同类项的定义“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”，求出m、n的值；再代入计算$(m+n)^3$的结果；最后根据平方根的定义求出该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$8x^m y$与$6x^3 y^n$的和是单项式
∴$8x^m y$与$6x^3 y^n$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$m=3$，$n=1$
∴$m+n=3+1=4$
∴$(m+n)^3=4^3=64$
∵正数的平方根有两个，且互为相反数，$\pm\sqrt{64}=\pm8$
∴$(m+n)^3$的平方根为$\pm8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.同类项的定义
2.有理数的乘方
3.平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先根据“和为单项式”判断两个单项式为同类项，求出参数值，再计算平方根，需要注意平方根和算术平方根的区别，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
7.已知$x=\sqrt{2026}-3$，则$(x+3)^2 +90$的平方根是
$\pm46$
。答案
7.$\pm46$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征，发现所求式中含有(x+3)项，而已知$x=\sqrt{2026}-3$，可直接求出x+3的数值，采用整体代入的方法代入代数式计算，再根据平方根的定义求解即可，无需计算x的具体值，能简化运算。
【解析】
解：已知$x=\sqrt{2026}-3$，则$x+3=\sqrt{2026}$。
将$x+3=\sqrt{2026}$代入$(x+3)^2 +90$得：
$(\sqrt{2026})^2 +90 = 2026 + 90 = 2116$。
根据平方根的定义：若$a^2=b$，则a是b的平方根，
因为$(\pm46)^2=2116$，所以2116的平方根为$\pm46$，
即$(x+3)^2 +90$的平方根是$\pm46$。
【答案】
$\pm46$
【知识点】
整体代入求值、平方根的定义、二次根式的性质
【点评】
本题侧重考查对整体代入思想的运用，以及对平方根概念的理解，解题关键是发现已知条件和所求代数式的关联简化计算，需要注意平方根有正负两个结果，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征，发现所求式中含有(x+3)项，而已知$x=\sqrt{2026}-3$，可直接求出x+3的数值，采用整体代入的方法代入代数式计算，再根据平方根的定义求解即可，无需计算x的具体值，能简化运算。
【解析】
解：已知$x=\sqrt{2026}-3$，则$x+3=\sqrt{2026}$。
将$x+3=\sqrt{2026}$代入$(x+3)^2 +90$得：
$(\sqrt{2026})^2 +90 = 2026 + 90 = 2116$。
根据平方根的定义：若$a^2=b$，则a是b的平方根，
因为$(\pm46)^2=2116$，所以2116的平方根为$\pm46$，
即$(x+3)^2 +90$的平方根是$\pm46$。
【答案】
$\pm46$
【知识点】
整体代入求值、平方根的定义、二次根式的性质
【点评】
本题侧重考查对整体代入思想的运用，以及对平方根概念的理解，解题关键是发现已知条件和所求代数式的关联简化计算，需要注意平方根有正负两个结果，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
8. 求下列各数的平方根：
(1)225；
(2)$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|$；
(3)$(-1\dfrac{2}{3})^2$；
(4)$\sqrt{169}$。
(1)225；
(2)$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|$；
(3)$(-1\dfrac{2}{3})^2$；
(4)$\sqrt{169}$。
答案
【解】(1)因为$(\pm15)^2 = 225$,所以 225 的平方根是$\pm15$.
(2)因为$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{9}{4},(\pm\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$,
所以$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|$的平方根是$\pm\dfrac{3}{2}$.
(3)因为$(\pm1\dfrac{2}{3})^2=(-1\dfrac{2}{3})^2$,
所以$(-1\dfrac{2}{3})^2$的平方根是$\pm1\dfrac{2}{3}$.
(4)因为$\sqrt{169}=13$,所以$\sqrt{169}$的平方根为$\pm\sqrt{13}$.
(2)因为$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{9}{4},(\pm\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$,
所以$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|$的平方根是$\pm\dfrac{3}{2}$.
(3)因为$(\pm1\dfrac{2}{3})^2=(-1\dfrac{2}{3})^2$,
所以$(-1\dfrac{2}{3})^2$的平方根是$\pm1\dfrac{2}{3}$.
(4)因为$\sqrt{169}=13$,所以$\sqrt{169}$的平方根为$\pm\sqrt{13}$.
解析
【分析】
解题核心是掌握平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题步骤为：①先将每个小题中待求平方根的数化简为最简正数；②根据平方运算，找到正负两个平方后等于该最简数的数，即为所求平方根。注意不要直接对未化简的原式求平方根，也不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm15)^2 = 225$，所以225的平方根是$\pm15$；
(2) 先化简绝对值：$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{9}{4}$，又因为$(\pm\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，所以$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|$的平方根是$\pm\dfrac{3}{2}$；
(3) 因为$(\pm1\dfrac{2}{3})^2=(-1\dfrac{2}{3})^2$，所以$(-1\dfrac{2}{3})^2$的平方根是$\pm1\dfrac{2}{3}$；
(4) 先化简算术平方根：$\sqrt{169}=13$，因为13的平方根为$\pm\sqrt{13}$，所以$\sqrt{169}$的平方根是$\pm\sqrt{13}$。
【答案】
(1)$\pm15$；(2)$\pm\dfrac{3}{2}$；(3)$\pm1\dfrac{2}{3}$；(4)$\pm\sqrt{13}$
【知识点】
平方根的定义；绝对值化简；算术平方根运算
【点评】
本题是平方根计算的基础题，易错点有两处：一是忽略先化简待求的数，比如第(4)题容易误求169的平方根得到$\pm13$；二是容易遗漏正数的负平方根，解题时要注意平方根的结果是互为相反数的两个数。
【难度系数】
0.7
解题核心是掌握平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题步骤为：①先将每个小题中待求平方根的数化简为最简正数；②根据平方运算，找到正负两个平方后等于该最简数的数，即为所求平方根。注意不要直接对未化简的原式求平方根，也不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm15)^2 = 225$，所以225的平方根是$\pm15$；
(2) 先化简绝对值：$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{9}{4}$，又因为$(\pm\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}$，所以$\left|-2\dfrac{1}{4}\right|$的平方根是$\pm\dfrac{3}{2}$；
(3) 因为$(\pm1\dfrac{2}{3})^2=(-1\dfrac{2}{3})^2$，所以$(-1\dfrac{2}{3})^2$的平方根是$\pm1\dfrac{2}{3}$；
(4) 先化简算术平方根：$\sqrt{169}=13$，因为13的平方根为$\pm\sqrt{13}$，所以$\sqrt{169}$的平方根是$\pm\sqrt{13}$。
【答案】
(1)$\pm15$；(2)$\pm\dfrac{3}{2}$；(3)$\pm1\dfrac{2}{3}$；(4)$\pm\sqrt{13}$
【知识点】
平方根的定义；绝对值化简；算术平方根运算
【点评】
本题是平方根计算的基础题，易错点有两处：一是忽略先化简待求的数，比如第(4)题容易误求169的平方根得到$\pm13$；二是容易遗漏正数的负平方根，解题时要注意平方根的结果是互为相反数的两个数。
【难度系数】
0.7
9. 求下列各式中 $ x $ 的值.
(1) $ 4x^2 - 9 = 0 $;
(2) $ (2x - 1)^2 - \frac{7}{9} = 1 $.
(1) $ 4x^2 - 9 = 0 $;
(2) $ (2x - 1)^2 - \frac{7}{9} = 1 $.
答案
【解】(1)$4x^2 - 9 = 0$,$4x^2 = 9$,$x^2 = \dfrac{9}{4}$,解得 $x=\pm\dfrac{3}{2}$.
(2)$(2x - 1)^2 - \dfrac{7}{9} = 1$,$(2x - 1)^2 = \dfrac{16}{9}$,$2x - 1 = \pm\dfrac{4}{3}$,解得
$x=\dfrac{7}{6}$或$x=-\dfrac{1}{6}$.
(2)$(2x - 1)^2 - \dfrac{7}{9} = 1$,$(2x - 1)^2 = \dfrac{16}{9}$,$2x - 1 = \pm\dfrac{4}{3}$,解得
$x=\dfrac{7}{6}$或$x=-\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
这两道题均属于利用平方根定义求解的方程类题目，解题思路如下：(1) 先通过移项将常数项移到等号右侧，再将$x^2$的系数化为1，转化为“$x^2=$非负数”的形式，最后根据平方根的定义开平方即可得到$x$的解，注意正数的平方根有两个互为相反数的值，不要遗漏负解；(2) 先将$(2x-1)$视作一个整体，移项求出这个整体的平方值，再开平方得到两个关于$x$的一元一次方程，分别求解即可得到$x$的所有取值。
【解析】
(1) 对$4x^2 - 9 = 0$移项，得$4x^2 = 9$，
系数化为1，得$x^2 = \dfrac{9}{4}$，
根据平方根的定义开平方，解得 $x=\pm\dfrac{3}{2}$。
(2) 对$(2x - 1)^2 - \dfrac{7}{9} = 1$移项，得$(2x - 1)^2 = 1+\dfrac{7}{9}=\dfrac{16}{9}$，
根据平方根的定义开平方，得$2x - 1 = \pm\dfrac{4}{3}$，
当$2x-1=\dfrac{4}{3}$时，$2x=\dfrac{7}{3}$，解得$x=\dfrac{7}{6}$；
当$2x-1=-\dfrac{4}{3}$时，$2x=-\dfrac{1}{3}$，解得$x=-\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1)$x=\pm\dfrac{3}{2}$；(2)$x=\dfrac{7}{6}$或$x=-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 直接开平方法解方程 3. 一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方根性质的理解与应用，解题核心是先将方程转化为“某式的平方等于非负数”的形式，开平方时要注意正数有两个平方根，避免漏解；对于含整体平方的式子，可先对整体求解再拆分计算，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于利用平方根定义求解的方程类题目，解题思路如下：(1) 先通过移项将常数项移到等号右侧，再将$x^2$的系数化为1，转化为“$x^2=$非负数”的形式，最后根据平方根的定义开平方即可得到$x$的解，注意正数的平方根有两个互为相反数的值，不要遗漏负解；(2) 先将$(2x-1)$视作一个整体，移项求出这个整体的平方值，再开平方得到两个关于$x$的一元一次方程，分别求解即可得到$x$的所有取值。
【解析】
(1) 对$4x^2 - 9 = 0$移项，得$4x^2 = 9$，
系数化为1，得$x^2 = \dfrac{9}{4}$，
根据平方根的定义开平方，解得 $x=\pm\dfrac{3}{2}$。
(2) 对$(2x - 1)^2 - \dfrac{7}{9} = 1$移项，得$(2x - 1)^2 = 1+\dfrac{7}{9}=\dfrac{16}{9}$，
根据平方根的定义开平方，得$2x - 1 = \pm\dfrac{4}{3}$，
当$2x-1=\dfrac{4}{3}$时，$2x=\dfrac{7}{3}$，解得$x=\dfrac{7}{6}$；
当$2x-1=-\dfrac{4}{3}$时，$2x=-\dfrac{1}{3}$，解得$x=-\dfrac{1}{6}$。
【答案】
(1)$x=\pm\dfrac{3}{2}$；(2)$x=\dfrac{7}{6}$或$x=-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 直接开平方法解方程 3. 一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方根性质的理解与应用，解题核心是先将方程转化为“某式的平方等于非负数”的形式，开平方时要注意正数有两个平方根，避免漏解；对于含整体平方的式子，可先对整体求解再拆分计算，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
10.[宁波自主招生]若实数$m,n$满足$\sqrt{m-5} + 3\sqrt{10-2m}=mn+2$,则$m+5n$的平方根为(
A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\pm2$
C.$\pm\sqrt{5}$
D.$\pm\sqrt{6}$
A
)A.$\pm\sqrt{3}$
B.$\pm2$
C.$\pm\sqrt{5}$
D.$\pm\sqrt{6}$
答案
10.A 【点拨】依题意有 $m-5≥0,10-2m≥0$,所以 $m=5$.所以 $mn+2=0$.所以 $5n+2=0$.所以 $5n=-2$.所以 $\pm\sqrt{m+5n}=\pm\sqrt{5-2}=\pm\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先观察等式中含有二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，因此可以先列出关于m的不等式组，求解得到m的取值范围，进而确定m的唯一确定值；再将m的值代入原式求出5n的取值，最后计算m+5n的平方根即可得到答案。
【解析】
要使等式中的二次根式有意义，需满足被开方数非负，列不等式组：
$\begin{cases}m-5≥0 \\10-2m≥0\end{cases}$
解不等式$m-5≥0$，得$m≥5$；
解不等式$10-2m≥0$，移项得$2m≤10$，即$m≤5$。
因此$m$只能取$5$。
将$m=5$代入原式$\sqrt{m-5} + 3\sqrt{10-2m}=mn+2$：
左边$=\sqrt{5-5}+3\sqrt{10-2×5}=0+0=0$，
因此右边$mn+2=0$，代入$m=5$得$5n+2=0$，解得$5n=-2$。
则$m+5n=5+(-2)=3$，根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、平方根的定义
【点评】
本题解题的关键是挖掘二次根式隐含的被开方数非负的限制条件，先确定参数m的取值，再逐步推导求解目标式，解题时要注意平方根包含正负两个值，不要漏解。
【难度系数】
0.7
首先观察等式中含有二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，因此可以先列出关于m的不等式组，求解得到m的取值范围，进而确定m的唯一确定值；再将m的值代入原式求出5n的取值，最后计算m+5n的平方根即可得到答案。
【解析】
要使等式中的二次根式有意义，需满足被开方数非负，列不等式组：
$\begin{cases}m-5≥0 \\10-2m≥0\end{cases}$
解不等式$m-5≥0$，得$m≥5$；
解不等式$10-2m≥0$，移项得$2m≤10$，即$m≤5$。
因此$m$只能取$5$。
将$m=5$代入原式$\sqrt{m-5} + 3\sqrt{10-2m}=mn+2$：
左边$=\sqrt{5-5}+3\sqrt{10-2×5}=0+0=0$，
因此右边$mn+2=0$，代入$m=5$得$5n+2=0$，解得$5n=-2$。
则$m+5n=5+(-2)=3$，根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、平方根的定义
【点评】
本题解题的关键是挖掘二次根式隐含的被开方数非负的限制条件，先确定参数m的取值，再逐步推导求解目标式，解题时要注意平方根包含正负两个值，不要漏解。
【难度系数】
0.7
11.已知$2a-1$的平方根是$\pm 3$，$3a+b-1$的算术平方根是4，则$a+2b$的值为
9
。答案
11.9 【点拨】因为$2a-1$的平方根是$\pm 3$,所以$2a-1=9$,所以$a=5$. 因为$3a+b-1$的算术平方根是4,所以$3a+b-1=16$,所以 $3×5+b-1=16$,所以 $b=2$,所以 $a+2b=5+2×2=9$.
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解未知参数。首先，若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²，据此可以先列出关于a的方程，求出a的值；再根据算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根是n，那么这个数等于n²，将求出的a代入后列出关于b的方程求出b的值，最后代入a+2b计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$2a-1$的平方根是$\pm 3$
∴$2a-1=(\pm 3)^2=9$
解得$a=5$
又
∵$3a+b-1$的算术平方根是4
∴$3a+b-1=4^2=16$
把$a=5$代入上式得：$3×5 + b -1 = 16$
即$14 + b = 16$，解得$b=2$
∴$a+2b=5 + 2×2=9$
【答案】
9
【知识点】
1.平方根的定义
2.算术平方根的定义
3.代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握平方根与算术平方根的定义，根据定义准确列方程求解参数，计算过程简单，注意区分平方根和算术平方根的差异，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是利用平方根和算术平方根的定义建立方程求解未知参数。首先，若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m²，据此可以先列出关于a的方程，求出a的值；再根据算术平方根的定义：若一个非负数的算术平方根是n，那么这个数等于n²，将求出的a代入后列出关于b的方程求出b的值，最后代入a+2b计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$2a-1$的平方根是$\pm 3$
∴$2a-1=(\pm 3)^2=9$
解得$a=5$
又
∵$3a+b-1$的算术平方根是4
∴$3a+b-1=4^2=16$
把$a=5$代入上式得：$3×5 + b -1 = 16$
即$14 + b = 16$，解得$b=2$
∴$a+2b=5 + 2×2=9$
【答案】
9
【知识点】
1.平方根的定义
2.算术平方根的定义
3.代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握平方根与算术平方根的定义，根据定义准确列方程求解参数，计算过程简单，注意区分平方根和算术平方根的差异，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为$a,b,c$，记$p=\frac{a+b+c}{2}$，则其面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式。若一个三角形的$a,b,c,p$为四个连续正整数，则此三角形的面积为
6
。答案
12.6 【点思路】首先根据$a,b,c,p$为四个连续正整数,设$a=x$,把$b,c,p$用$x$表示出来,再根据$p=\dfrac{a+b+c}{2}$,列出方程,求出$x$,可得$a,b,c,p$的值,再代入面积公式计算即可.
解析
【分析】
解题时先根据题干中a,b,c,p是四个连续正整数的条件，结合$p=\frac{a+b+c}{2}$可知半周长p一定大于三条边长，所以p是四个连续正整数里最大的数。我们可以设四个连续正整数从小到大依次为$n,n+1,n+2,n+3$，即可得$p=n+3$，a,b,c对应剩下的三个数，再代入p的计算公式列一元一次方程求出n的值，得到三边长和p的具体数值，最后代入海伦-秦九韶公式计算面积即可。
【解析】
设四个连续正整数从小到大依次为$n$、$n+1$、$n+2$、$n+3$。
∵ $p=\frac{a+b+c}{2}$，可知半周长$p$大于三角形的任意一边长，
∴ 四个数中最大的数为$p$，即$p=n+3$，三角形三边长$a=n$，$b=n+1$，$c=n+2$。
将上述值代入$p=\frac{a+b+c}{2}$得：
$n+3=\frac{n+(n+1)+(n+2)}{2}$
两边同乘2得：$2(n+3)=3n+3$
展开计算：$2n+6=3n+3$
解得：$n=3$
∴ 三角形三边长分别为3、4、5，$p=3+3=6$。
代入海伦-秦九韶公式计算面积：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6×(6-3)×(6-4)×(6-5)}=\sqrt{6×3×2×1}=\sqrt{36}=6$
【答案】
6
【知识点】
海伦-秦九韶公式、一元一次方程的应用、算术平方根的计算
【点评】
本题结合我国古代数学成就出题，既考查了方程思想的实际应用，也考查了平方根的运算，解题关键是先判断出p是四个连续正整数中最大的数，再列方程求解，整体逻辑清晰，能让学生感受到传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
解题时先根据题干中a,b,c,p是四个连续正整数的条件，结合$p=\frac{a+b+c}{2}$可知半周长p一定大于三条边长，所以p是四个连续正整数里最大的数。我们可以设四个连续正整数从小到大依次为$n,n+1,n+2,n+3$，即可得$p=n+3$，a,b,c对应剩下的三个数，再代入p的计算公式列一元一次方程求出n的值，得到三边长和p的具体数值，最后代入海伦-秦九韶公式计算面积即可。
【解析】
设四个连续正整数从小到大依次为$n$、$n+1$、$n+2$、$n+3$。
∵ $p=\frac{a+b+c}{2}$，可知半周长$p$大于三角形的任意一边长，
∴ 四个数中最大的数为$p$，即$p=n+3$，三角形三边长$a=n$，$b=n+1$，$c=n+2$。
将上述值代入$p=\frac{a+b+c}{2}$得：
$n+3=\frac{n+(n+1)+(n+2)}{2}$
两边同乘2得：$2(n+3)=3n+3$
展开计算：$2n+6=3n+3$
解得：$n=3$
∴ 三角形三边长分别为3、4、5，$p=3+3=6$。
代入海伦-秦九韶公式计算面积：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6×(6-3)×(6-4)×(6-5)}=\sqrt{6×3×2×1}=\sqrt{36}=6$
【答案】
6
【知识点】
海伦-秦九韶公式、一元一次方程的应用、算术平方根的计算
【点评】
本题结合我国古代数学成就出题，既考查了方程思想的实际应用，也考查了平方根的运算，解题关键是先判断出p是四个连续正整数中最大的数，再列方程求解，整体逻辑清晰，能让学生感受到传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
