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15. [黄冈市竞赛] 设互不相等的非零实数$a,b,c$满足 $a + \frac{3}{b} = b + \frac{3}{c} = c + \frac{3}{a}$，则 $\sqrt{(a+\frac{3}{b})^2 + (b+\frac{3}{c})^2 + (c+\frac{3}{a})^2}$ 的值为
3
.答案
15.3 【点拨】令$a+\dfrac{3}{b}=b+\dfrac{3}{c}=c+\dfrac{3}{a}=k$，则$ab+3=bk,bc+3=ck,ac+3=ak$，所以$abc+3c=kbc=k(ck-3)$，即$abc+3k=(k^2-3)c$。同理得出$abc+3k=(k^2-3)a,abc+3k=(k^2-3)b$，所以$(k^2-3)a=(k^2-3)b=(k^2-3)c$。因为$a,b,c$为互不相等的非零实数，所以$k^2=3$，所以原式$=\sqrt{3k^2}=3$。
解析
【分析】
遇到连等式问题，我们可以先设这几个相等式子的公共值为参数k，把问题转化为求k²的值，即可计算所求的算术平方根。首先将三个含参数的等式去分母转化为整式方程，再通过代数式的恒等变形，得到含a、b、c的相同表达式，结合题目中a、b、c互不相等的条件，推导出k²的值，最后整体代入所求式子计算即可。
【解析】
令$a+\dfrac{3}{b}=b+\dfrac{3}{c}=c+\dfrac{3}{a}=k$，
将三个等式分别去分母可得：
$ab + 3 = bk$ ①，
$bc + 3 = ck$ ②，
$ac + 3 = ak$ ③，
对①式两边同时乘$c$得：$abc + 3c = kbc$，
由②式得$bc = ck - 3$，代入上式得：
$abc + 3c = k(ck - 3) = ck^2 - 3k$，
移项整理得：$abc + 3k = c(k^2 - 3)$，
同理，通过另外两个等式变形可得：
$abc + 3k = a(k^2 - 3)$，$abc + 3k = b(k^2 - 3)$，
因此有$(k^2 - 3)a = (k^2 - 3)b = (k^2 - 3)c$，
已知$a,b,c$是互不相等的非零实数，若$k^2 - 3 ≠ 0$，则可推出$a = b = c$，与题设矛盾，故$k^2 - 3 = 0$，即$k^2 = 3$。
代入所求式子：
$\sqrt{(a+\frac{3}{b})^2 + (b+\frac{3}{c})^2 + (c+\frac{3}{a})^2} = \sqrt{k^2 + k^2 + k^2} = \sqrt{3k^2} = \sqrt{3×3} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 连等式设参法
2. 代数式恒等变形
3. 算术平方根计算
【点评】
本题的核心解题技巧是对连等式引入公共参数，将分式方程转化为整式方程后通过恒等变形找到参数满足的关系，无需单独求出a、b、c的值，利用整体代入即可求解，巧妙规避了复杂的计算，同时要注意利用题中给出的“互不相等”的条件排除矛盾情况。
【难度系数】
0.3
遇到连等式问题，我们可以先设这几个相等式子的公共值为参数k，把问题转化为求k²的值，即可计算所求的算术平方根。首先将三个含参数的等式去分母转化为整式方程，再通过代数式的恒等变形，得到含a、b、c的相同表达式，结合题目中a、b、c互不相等的条件，推导出k²的值，最后整体代入所求式子计算即可。
【解析】
令$a+\dfrac{3}{b}=b+\dfrac{3}{c}=c+\dfrac{3}{a}=k$，
将三个等式分别去分母可得：
$ab + 3 = bk$ ①，
$bc + 3 = ck$ ②，
$ac + 3 = ak$ ③，
对①式两边同时乘$c$得：$abc + 3c = kbc$，
由②式得$bc = ck - 3$，代入上式得：
$abc + 3c = k(ck - 3) = ck^2 - 3k$，
移项整理得：$abc + 3k = c(k^2 - 3)$，
同理，通过另外两个等式变形可得：
$abc + 3k = a(k^2 - 3)$，$abc + 3k = b(k^2 - 3)$，
因此有$(k^2 - 3)a = (k^2 - 3)b = (k^2 - 3)c$，
已知$a,b,c$是互不相等的非零实数，若$k^2 - 3 ≠ 0$，则可推出$a = b = c$，与题设矛盾，故$k^2 - 3 = 0$，即$k^2 = 3$。
代入所求式子：
$\sqrt{(a+\frac{3}{b})^2 + (b+\frac{3}{c})^2 + (c+\frac{3}{a})^2} = \sqrt{k^2 + k^2 + k^2} = \sqrt{3k^2} = \sqrt{3×3} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 连等式设参法
2. 代数式恒等变形
3. 算术平方根计算
【点评】
本题的核心解题技巧是对连等式引入公共参数，将分式方程转化为整式方程后通过恒等变形找到参数满足的关系，无需单独求出a、b、c的值，利用整体代入即可求解，巧妙规避了复杂的计算，同时要注意利用题中给出的“互不相等”的条件排除矛盾情况。
【难度系数】
0.3
16. 立德树人 安全教育 小明每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间$t$(单位:s)和下落高度$h$(单位:m)近似满足公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，其中$g$为重力加速度，$g≈10\ \mathrm{m/s}^2$。物体落地时产生的动能=物体质量(单位:kg)×重力加速度(单位:m/s²)×高度(单位:m)，动能的单位名称为焦耳(J)。例如:一个1 kg重的花盆从30 m高空坠落到地面产生的动能约为$1×10×30=300$(J)。
(1)一个物体从80 m的高空坠落到地面大约需要几秒？
(2)一个1 kg的物体坠落到地面产生了200 J的动能，请推算该物体坠落到地面用了几秒。
(1)一个物体从80 m的高空坠落到地面大约需要几秒？
(2)一个1 kg的物体坠落到地面产生了200 J的动能，请推算该物体坠落到地面用了几秒。
答案
16.【解】(1)把$h=80$代入$h=\dfrac{1}{2}gt^2$，得$80\approx\dfrac{1}{2}×10t^2$，
解得$t\approx4$(负值已舍去)。
答：一个物品从80 m的高空坠落到地面大约需要4 s。
(2)由题意得$1×10h\approx200$，解得$h\approx20$。
把$h=20$代入$h=\dfrac{1}{2}gt^2$，得$20\approx\dfrac{1}{2}×10t^2$，
解得$t\approx2$(负值已舍去)。
答：该物品坠落到地面约用了2 s。
解得$t\approx4$(负值已舍去)。
答：一个物品从80 m的高空坠落到地面大约需要4 s。
(2)由题意得$1×10h\approx200$，解得$h\approx20$。
把$h=20$代入$h=\dfrac{1}{2}gt^2$，得$20\approx\dfrac{1}{2}×10t^2$，
解得$t\approx2$(负值已舍去)。
答：该物品坠落到地面约用了2 s。
解析
【分析】
本题是结合实际情境的代数应用题，解题思路如下：
(1) 第一问已知下落高度h=80m，要求下落时间t，只需将h和g≈10代入题目给出的公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得到关于$t^2$的等式，再结合时间为正数的实际意义，取正的算术平方根即可得到t的值。
(2) 第二问已知物体质量和落地动能，首先根据题目给出的动能计算公式，先推算出物体下落的高度h，再将h代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，同样通过求算术平方根得到下落时间，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
(1) 把$h=80$，$g≈10$代入公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$80≈\frac{1}{2}×10×t^2$
化简得$t^2≈16$
由于下落时间为正数，因此舍去负根，得$t≈\sqrt{16}=4$。
答：一个物体从80 m的高空坠落到地面大约需要4 s。
(2) 根据动能计算公式：动能=物体质量×重力加速度×高度，设下落高度为h，代入已知数据得：
$1×10×h≈200$
解得$h≈20$
把$h=20$，$g≈10$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$20≈\frac{1}{2}×10×t^2$
化简得$t^2≈4$
舍去不符合实际的负根，得$t≈\sqrt{4}=2$。
答：该物体坠落到地面约用了2 s。
【答案】
(1) 4 s；(2) 2 s
【知识点】
算术平方根应用，代数式求值，实际问题解方程
【点评】
本题结合高空抛物安全教育的真实情境出题，既考查了公式代入求值、算术平方根的计算能力，也能让学生直观认识到高空抛物的危害性，解题时需注意结合实际意义，舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.8
本题是结合实际情境的代数应用题，解题思路如下：
(1) 第一问已知下落高度h=80m，要求下落时间t，只需将h和g≈10代入题目给出的公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得到关于$t^2$的等式，再结合时间为正数的实际意义，取正的算术平方根即可得到t的值。
(2) 第二问已知物体质量和落地动能，首先根据题目给出的动能计算公式，先推算出物体下落的高度h，再将h代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，同样通过求算术平方根得到下落时间，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
(1) 把$h=80$，$g≈10$代入公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$80≈\frac{1}{2}×10×t^2$
化简得$t^2≈16$
由于下落时间为正数，因此舍去负根，得$t≈\sqrt{16}=4$。
答：一个物体从80 m的高空坠落到地面大约需要4 s。
(2) 根据动能计算公式：动能=物体质量×重力加速度×高度，设下落高度为h，代入已知数据得：
$1×10×h≈200$
解得$h≈20$
把$h=20$，$g≈10$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$20≈\frac{1}{2}×10×t^2$
化简得$t^2≈4$
舍去不符合实际的负根，得$t≈\sqrt{4}=2$。
答：该物体坠落到地面约用了2 s。
【答案】
(1) 4 s；(2) 2 s
【知识点】
算术平方根应用，代数式求值，实际问题解方程
【点评】
本题结合高空抛物安全教育的真实情境出题，既考查了公式代入求值、算术平方根的计算能力，也能让学生直观认识到高空抛物的危害性，解题时需注意结合实际意义，舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.8
17. [重庆自主招生]喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义:对于三个正整数,若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“和谐组合”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”,例:1,4,9这三个数,$\sqrt{1×4}=2$,$\sqrt{1×9}=3$,$\sqrt{4×9}=6$,其结果分别为2,3,6,都是整数,所以1,4,9这三个数称为“和谐组合”,其中最小算术平方根是2,最大算术平方根是6.
(1)请判断3,12,16是不是“和谐组合”.
(2)试说明2,8,18这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
(3)已知4,a,25这三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍,求a的值.
(1)请判断3,12,16是不是“和谐组合”.
不是
;(填“是”或“不是”)(2)试说明2,8,18这三个数是“和谐组合”,并求出最小算术平方根和最大算术平方根;
(3)已知4,a,25这三个数是“和谐组合”,且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍,求a的值.
答案
17.【解】(1)不是
(2)因为$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{18×8}=12$，且6,4,12都是整数，所以2,8,18这三个数是“和谐组合”，且最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。
(3)分三种情况：①当$4≤ a≤25$时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，解得$a=0$，舍去；
②当$a＜4$时，$\sqrt{4×25}=5\sqrt{4a}$，解得$a=1$；
③当$a＞25$时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4×25}$，解得$a=100$。
综上所述，$a$的值为1或100。
(2)因为$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{18×8}=12$，且6,4,12都是整数，所以2,8,18这三个数是“和谐组合”，且最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。
(3)分三种情况：①当$4≤ a≤25$时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，解得$a=0$，舍去；
②当$a＜4$时，$\sqrt{4×25}=5\sqrt{4a}$，解得$a=1$；
③当$a＞25$时，$\sqrt{25a}=5\sqrt{4×25}$，解得$a=100$。
综上所述，$a$的值为1或100。
解析
【分析】
(1) 判断是否为“和谐组合”需严格遵循定义：计算三个数中任意两个数乘积的算术平方根，若全部为整数则是，否则不是，依次计算3和12、3和16、12和16乘积的算术平方根验证即可。
(2) 证明2,8,18是和谐组合，先计算两两乘积的算术平方根，验证均为整数后，比较结果大小即可得到最小和最大算术平方根。
(3) 由于a的大小未知，最小、最大算术平方根随a的取值范围变化，需分三种情况讨论：a小于4、a介于4和25之间、a大于25，分别确定每种情况对应的最小和最大算术平方根，再根据“最大算术平方根是最小的5倍”列方程求解，最后结合正整数条件舍去不符合的解。
【解析】
(1) 计算两两乘积的算术平方根：$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$（整数），$\sqrt{3×16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$（不是整数），不符合“任意两个数乘积的算术平方根都是整数”的要求，因此不是和谐组合。
(2) 计算2,8,18两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{8×18}=\sqrt{144}=12$，
三个结果4、6、12均为整数，因此2,8,18是“和谐组合”；
比较结果大小可得，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$4≤a≤25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，由题意得$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
② 当$a＜4$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，由题意得$10=5\sqrt{4a}$，解得$a=1$，符合要求；
③ 当$a＞25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，由题意得$\sqrt{25a}=5×10$，解得$a=100$，符合要求。
综上，a的值为1或100。
【答案】
(1) 不是；
(2) 2,8,18是“和谐组合”，最小算术平方根为4，最大算术平方根为12；
(3) a的值为1或100。
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论
【点评】
本题以新定义“和谐组合”为背景，核心考查算术平方根的计算，解题关键是准确理解新定义的要求，第三问需要根据a的取值范围分类讨论，避免漏解，同时要注意结合正整数的条件排除不符合的解。
【难度系数】
0.65
(1) 判断是否为“和谐组合”需严格遵循定义：计算三个数中任意两个数乘积的算术平方根，若全部为整数则是，否则不是，依次计算3和12、3和16、12和16乘积的算术平方根验证即可。
(2) 证明2,8,18是和谐组合，先计算两两乘积的算术平方根，验证均为整数后，比较结果大小即可得到最小和最大算术平方根。
(3) 由于a的大小未知，最小、最大算术平方根随a的取值范围变化，需分三种情况讨论：a小于4、a介于4和25之间、a大于25，分别确定每种情况对应的最小和最大算术平方根，再根据“最大算术平方根是最小的5倍”列方程求解，最后结合正整数条件舍去不符合的解。
【解析】
(1) 计算两两乘积的算术平方根：$\sqrt{3×12}=\sqrt{36}=6$（整数），$\sqrt{3×16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$（不是整数），不符合“任意两个数乘积的算术平方根都是整数”的要求，因此不是和谐组合。
(2) 计算2,8,18两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{8×18}=\sqrt{144}=12$，
三个结果4、6、12均为整数，因此2,8,18是“和谐组合”；
比较结果大小可得，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$4≤a≤25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，由题意得$\sqrt{25a}=5\sqrt{4a}$，解得$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
② 当$a＜4$时，最小算术平方根为$\sqrt{4a}$，最大算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，由题意得$10=5\sqrt{4a}$，解得$a=1$，符合要求；
③ 当$a＞25$时，最小算术平方根为$\sqrt{4×25}=10$，最大算术平方根为$\sqrt{25a}$，由题意得$\sqrt{25a}=5×10$，解得$a=100$，符合要求。
综上，a的值为1或100。
【答案】
(1) 不是；
(2) 2,8,18是“和谐组合”，最小算术平方根为4，最大算术平方根为12；
(3) a的值为1或100。
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论
【点评】
本题以新定义“和谐组合”为背景，核心考查算术平方根的计算，解题关键是准确理解新定义的要求，第三问需要根据a的取值范围分类讨论，避免漏解，同时要注意结合正整数的条件排除不符合的解。
【难度系数】
0.65
