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1. 如果$m$没有算术平方根，那么$m$可以是（
A.$-5^2$
B.$|-5|$
C.$(-5)^2$
D.$-(-5)$
A
）A.$-5^2$
B.$|-5|$
C.$(-5)^2$
D.$-(-5)$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确算术平方根的存在条件：只有非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根。因此我们的解题思路为：先确定符合要求的m是负数，再分别计算四个选项的结果，找到其中为负数的选项即可，计算时要注意乘方、绝对值、去括号的运算规则，避免运算错误。
【解析】
根据算术平方根的性质：只有非负数才有算术平方根，因此没有算术平方根的数一定是负数。
逐一计算各选项的值：
A. $-5^2=-25$，是负数，没有算术平方根，符合要求；
B. $|-5|=5$，是正数，有算术平方根，不符合要求；
C. $(-5)^2=25$，是正数，有算术平方根，不符合要求；
D. $-(-5)=5$，是正数，有算术平方根，不符合要求。
所以选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义,有理数的乘方,绝对值的性质
【点评】
本题主要考查算术平方根的存在条件，同时结合了有理数的基础运算，解题时需注意区分$-5^2$和$(-5)^2$的运算顺序，避免因运算失误选错答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确算术平方根的存在条件：只有非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根。因此我们的解题思路为：先确定符合要求的m是负数，再分别计算四个选项的结果，找到其中为负数的选项即可，计算时要注意乘方、绝对值、去括号的运算规则，避免运算错误。
【解析】
根据算术平方根的性质：只有非负数才有算术平方根，因此没有算术平方根的数一定是负数。
逐一计算各选项的值：
A. $-5^2=-25$，是负数，没有算术平方根，符合要求；
B. $|-5|=5$，是正数，有算术平方根，不符合要求；
C. $(-5)^2=25$，是正数，有算术平方根，不符合要求；
D. $-(-5)=5$，是正数，有算术平方根，不符合要求。
所以选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义,有理数的乘方,绝对值的性质
【点评】
本题主要考查算术平方根的存在条件，同时结合了有理数的基础运算，解题时需注意区分$-5^2$和$(-5)^2$的运算顺序，避免因运算失误选错答案。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法中不正确的有（
①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1；
③$a^2$的算术平方根是$a$；
④$(3.14-π)^2$的算术平方根是$3.14-π$；
⑤算术平方根不可能是负数.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）①任何数都有算术平方根；
②一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1；
③$a^2$的算术平方根是$a$；
④$(3.14-π)^2$的算术平方根是$3.14-π$；
⑤算术平方根不可能是负数.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.C
解析
【分析】
解题需先明确算术平方根的核心性质：①只有非负数（正数和0）才有算术平方根；②算术平方根的结果一定是非负数；③算术平方根等于本身的数是0和1。接下来逐个判断5个说法的正误，统计不正确的说法数量即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 说法①：负数没有算术平方根，因此“任何数都有算术平方根”的表述错误；
2. 说法②：算术平方根等于本身的数有0和1，不只有1，表述错误；
3. 说法③：$a^2$的算术平方根是$|a|$，当$a$为负数时结果不等于$a$，表述错误；
4. 说法④：因为$π＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，而算术平方根非负，因此$(3.14-π)^2$的算术平方根是$π-3.14$，不是$3.14-π$，表述错误；
5. 说法⑤：算术平方根的定义规定其结果为非负数，不可能是负数，表述正确。
综上，不正确的说法有①②③④，共4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题重点考查对算术平方根概念的理解，易错点在于容易忽略0的特殊性，以及计算含字母或负数的算术平方根时忽略非负性要求，解题时要牢记算术平方根的双重非负性（被开方数非负，结果非负）。
【难度系数】
0.6
解题需先明确算术平方根的核心性质：①只有非负数（正数和0）才有算术平方根；②算术平方根的结果一定是非负数；③算术平方根等于本身的数是0和1。接下来逐个判断5个说法的正误，统计不正确的说法数量即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 说法①：负数没有算术平方根，因此“任何数都有算术平方根”的表述错误；
2. 说法②：算术平方根等于本身的数有0和1，不只有1，表述错误；
3. 说法③：$a^2$的算术平方根是$|a|$，当$a$为负数时结果不等于$a$，表述错误；
4. 说法④：因为$π＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，而算术平方根非负，因此$(3.14-π)^2$的算术平方根是$π-3.14$，不是$3.14-π$，表述错误；
5. 说法⑤：算术平方根的定义规定其结果为非负数，不可能是负数，表述正确。
综上，不正确的说法有①②③④，共4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题重点考查对算术平方根概念的理解，易错点在于容易忽略0的特殊性，以及计算含字母或负数的算术平方根时忽略非负性要求，解题时要牢记算术平方根的双重非负性（被开方数非负，结果非负）。
【难度系数】
0.6
3. 母题 教材P₃₂随堂练习T₁ （1）$10^{-6}$ 的算术平方根是
$10^{-3}$
；（2）$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$ 的算术平方根是$\dfrac{1}{2}$
。答案
3.(1)$10^{-3}$ (2)$\dfrac{1}{2}$
点易错 本题易误认为是求$\dfrac{1}{16}$的算术平方根而出错，遇到类似求$\sqrt{a}$的算术平方根时，要先开方，再对开方后的数求其算术平方根。
点易错 本题易误认为是求$\dfrac{1}{16}$的算术平方根而出错，遇到类似求$\sqrt{a}$的算术平方根时，要先开方，再对开方后的数求其算术平方根。
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
对于第（1）问，我们需要找到一个非负数，它的平方等于$10^{-6}$，结合负整数指数幂的运算规律即可求解；
对于第（2）问，要注意题目是求$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的算术平方根，而非$\dfrac{1}{16}$的算术平方根，因此需要先计算出$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的结果，再对这个结果求算术平方根，避免审题失误出错。
【解析】
（1）设$10^{-6}$的算术平方根为$x$（$x≥0$），根据算术平方根的定义可得：
$x^2=10^{-6}$
因为$(10^{-3})^2=10^{-3×2}=10^{-6}$，且$10^{-3}＞0$，所以$10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$。
（2）先计算$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的值：
$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}$
再求$\dfrac{1}{4}$的算术平方根，设其算术平方根为$y$（$y≥0$），则$y^2=\dfrac{1}{4}$。
因为$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，且$\dfrac{1}{2}＞0$，所以$\dfrac{1}{4}$的算术平方根是$\dfrac{1}{2}$，即$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的算术平方根是$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
（1）$10^{-3}$；（2）$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义，负整数指数幂，二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，第二问是易错题型，解题时要注意审题，明确求的是带根号的数本身的算术平方根，需要先化简这个带根号的数，再对化简结果求算术平方根，掌握基础概念、认真审题是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
对于第（1）问，我们需要找到一个非负数，它的平方等于$10^{-6}$，结合负整数指数幂的运算规律即可求解；
对于第（2）问，要注意题目是求$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的算术平方根，而非$\dfrac{1}{16}$的算术平方根，因此需要先计算出$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的结果，再对这个结果求算术平方根，避免审题失误出错。
【解析】
（1）设$10^{-6}$的算术平方根为$x$（$x≥0$），根据算术平方根的定义可得：
$x^2=10^{-6}$
因为$(10^{-3})^2=10^{-3×2}=10^{-6}$，且$10^{-3}＞0$，所以$10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$。
（2）先计算$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的值：
$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}$
再求$\dfrac{1}{4}$的算术平方根，设其算术平方根为$y$（$y≥0$），则$y^2=\dfrac{1}{4}$。
因为$(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，且$\dfrac{1}{2}＞0$，所以$\dfrac{1}{4}$的算术平方根是$\dfrac{1}{2}$，即$\sqrt{\dfrac{1}{16}}$的算术平方根是$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
（1）$10^{-3}$；（2）$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义，负整数指数幂，二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，第二问是易错题型，解题时要注意审题，明确求的是带根号的数本身的算术平方根，需要先化简这个带根号的数，再对化简结果求算术平方根，掌握基础概念、认真审题是做对这类题的核心。
【难度系数】
0.7
4. [2026扬州期中] 已知$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根，3是$3a+2b-3$的算术平方根，则$a+2b$的算术平方根是
$\sqrt{6}$
。答案
4.$\sqrt{6}$ 【点拨】因为$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根，所以$2a-1=5$，解得$a=3$。因为3是$3a+2b-3$的算术平方根，所以$3a+2b-3=9$，解得$b=\dfrac{3}{2}$，所以$a+2b=6$，所以$a+2b$的算术平方根为$\sqrt{6}$。
解析
【分析】
解题核心是运用算术平方根的定义逆推被开方数：若x是a的算术平方根（x≥0），则a=x²。第一步先根据“$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根”列方程求出a的值；第二步将a代入第二个条件“3是$3a+2b-3$的算术平方根”对应的方程，求出b的值；第三步计算$a+2b$的结果，最后求该结果的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根，根据算术平方根的定义可得：
$2a - 1 = (\sqrt{5})^2 = 5$
解得：$a = 3$
又
∵3是$3a + 2b - 3$的算术平方根，同理可得：
$3a + 2b - 3 = 3^2 = 9$
将$a=3$代入上式：
$3×3 + 2b - 3 = 9$
化简得$2b=3$，解得：$b = \dfrac{3}{2}$
∴$a + 2b = 3 + 2×\dfrac{3}{2} = 6$
∵6的算术平方根为$\sqrt{6}$，即$a+2b$的算术平方根是$\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.解一元一次方程 3.代数式求值
【点评】
本题重点考查算术平方根定义的逆向应用，解题关键是明确“一个数的算术平方根的平方等于这个数本身”，通过列方程求解参数即可完成计算，是算术平方根相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题核心是运用算术平方根的定义逆推被开方数：若x是a的算术平方根（x≥0），则a=x²。第一步先根据“$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根”列方程求出a的值；第二步将a代入第二个条件“3是$3a+2b-3$的算术平方根”对应的方程，求出b的值；第三步计算$a+2b$的结果，最后求该结果的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵$\sqrt{5}$是$2a-1$的算术平方根，根据算术平方根的定义可得：
$2a - 1 = (\sqrt{5})^2 = 5$
解得：$a = 3$
又
∵3是$3a + 2b - 3$的算术平方根，同理可得：
$3a + 2b - 3 = 3^2 = 9$
将$a=3$代入上式：
$3×3 + 2b - 3 = 9$
化简得$2b=3$，解得：$b = \dfrac{3}{2}$
∴$a + 2b = 3 + 2×\dfrac{3}{2} = 6$
∵6的算术平方根为$\sqrt{6}$，即$a+2b$的算术平方根是$\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.解一元一次方程 3.代数式求值
【点评】
本题重点考查算术平方根定义的逆向应用，解题关键是明确“一个数的算术平方根的平方等于这个数本身”，通过列方程求解参数即可完成计算，是算术平方根相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. [2026 杭州萧山区期中] 若$(x+5)^2 + |y-2| + \sqrt{z+3}=0$，则$x+y+z$的值为（
A.0
B.$-6$
C.$-4$
D.$2$
B
）A.0
B.$-6$
C.$-4$
D.$2$
答案
5.B
点方法 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0。
点方法 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0。
解析
【分析】
首先观察等式结构，等式左边由平方、绝对值、算术平方根三类式子相加组成，根据已学知识，平方、绝对值、算术平方根的结果都是非负数（即大于等于0的数）。当多个非负数的和为0时，仅有一种可能：每个非负数的值都为0。因此我们可以分别令三个式子等于0，求出x、y、z的取值，再代入计算x+y+z的结果即可。
【解析】
解：
∵(x+5)²≥0，|y-2|≥0，$\sqrt{z+3}$≥0，且三者的和为0
∴每个非负数的值均为0，可得：
$x+5=0$，解得$x=-5$
$y-2=0$，解得$y=2$
$z+3=0$，解得$z=-3$
∴$x+y+z = -5 + 2 + (-3) = -6$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；绝对值的性质；算术平方根的非负性
【点评】
本题是代数基础常考题，核心考查非负数的相关性质，解题的关键是牢记平方、绝对值、算术平方根的非负性，根据“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”的规律求解即可。
【难度系数】
0.8
首先观察等式结构，等式左边由平方、绝对值、算术平方根三类式子相加组成，根据已学知识，平方、绝对值、算术平方根的结果都是非负数（即大于等于0的数）。当多个非负数的和为0时，仅有一种可能：每个非负数的值都为0。因此我们可以分别令三个式子等于0，求出x、y、z的取值，再代入计算x+y+z的结果即可。
【解析】
解：
∵(x+5)²≥0，|y-2|≥0，$\sqrt{z+3}$≥0，且三者的和为0
∴每个非负数的值均为0，可得：
$x+5=0$，解得$x=-5$
$y-2=0$，解得$y=2$
$z+3=0$，解得$z=-3$
∴$x+y+z = -5 + 2 + (-3) = -6$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；绝对值的性质；算术平方根的非负性
【点评】
本题是代数基础常考题，核心考查非负数的相关性质，解题的关键是牢记平方、绝对值、算术平方根的非负性，根据“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”的规律求解即可。
【难度系数】
0.8
6. 已知$y=\sqrt{2x-5}+\sqrt{5-2x}-3$，则$2xy$的值为（
A.$-15$
B.$15$
C.$-\dfrac{15}{2}$
D.$\dfrac{15}{2}$
A
）A.$-15$
B.$15$
C.$-\dfrac{15}{2}$
D.$\dfrac{15}{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。观察题目中的两个二次根式，被开方数2x-5和5-2x互为相反数，要同时满足两个被开方数≥0，只能二者都等于0，由此可先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后代入2xy计算即可得到结果。
【解析】
要使式子中的二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$\begin{cases}2x-5≥0 \\ 5-2x≥0\end{cases}$
解不等式$2x-5≥0$，得$x≥\frac{5}{2}$；
解不等式$5-2x≥0$，得$x≤\frac{5}{2}$；
因此$x=\frac{5}{2}$。
将$x=\frac{5}{2}$代入原式，得：
$y=\sqrt{2×\frac{5}{2}-5}+\sqrt{5-2×\frac{5}{2}}-3=\sqrt{0}+\sqrt{0}-3=-3$
将$x=\frac{5}{2}$，$y=-3$代入$2xy$，得：
$2xy=2×\frac{5}{2}×(-3)=5×(-3)=-15$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考查二次根式被开方数的非负性，解题的突破口是根据两个互为相反数的被开方数同时非负，确定x的唯一取值，难度不大，掌握二次根式的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。观察题目中的两个二次根式，被开方数2x-5和5-2x互为相反数，要同时满足两个被开方数≥0，只能二者都等于0，由此可先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后代入2xy计算即可得到结果。
【解析】
要使式子中的二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$\begin{cases}2x-5≥0 \\ 5-2x≥0\end{cases}$
解不等式$2x-5≥0$，得$x≥\frac{5}{2}$；
解不等式$5-2x≥0$，得$x≤\frac{5}{2}$；
因此$x=\frac{5}{2}$。
将$x=\frac{5}{2}$代入原式，得：
$y=\sqrt{2×\frac{5}{2}-5}+\sqrt{5-2×\frac{5}{2}}-3=\sqrt{0}+\sqrt{0}-3=-3$
将$x=\frac{5}{2}$，$y=-3$代入$2xy$，得：
$2xy=2×\frac{5}{2}×(-3)=5×(-3)=-15$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，核心考查二次根式被开方数的非负性，解题的突破口是根据两个互为相反数的被开方数同时非负，确定x的唯一取值，难度不大，掌握二次根式的相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7.当$a=$
$-\dfrac{1}{4}$
时，代数式$\sqrt{4a+1}-3$有最小值$-3$
答案
7.$-\dfrac{1}{4}$；$-3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆算术平方根的性质：算术平方根具有非负性，即对于任意非负数$x$，都有$\sqrt{x} ≥ 0$，且$\sqrt{x}$的最小值为0。代数式$\sqrt{4a+1}-3$中，常数项$-3$是固定值，因此要让整个代数式取最小值，只需要让算术平方根部分$\sqrt{4a+1}$取最小值即可。接下来先求出$\sqrt{4a+1}$取最小值时$a$的取值，再代入计算代数式的最小值即可。
【解析】
根据算术平方根的非负性可知：$\sqrt{4a+1} ≥ 0$，且被开方数$4a+1 ≥ 0$时代数式才有意义。
要使代数式$\sqrt{4a+1}-3$取得最小值，需使$\sqrt{4a+1}$取到最小值0。
当$\sqrt{4a+1}=0$时，可得方程：
$4a + 1 = 0$
解得：$a = -\dfrac{1}{4}$
将$\sqrt{4a+1}=0$代入代数式，得最小值为：$0 - 3 = -3$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$；$-3$
【知识点】
1. 算术平方根的非负性
2. 二次根式有意义的条件
3. 代数式最值求解
【点评】
本题核心是利用算术平方根的非负性求代数式的最值，解题的关键是明确算术平方根的最小值为0，结合代数式的结构就能快速求出对应参数和最值，是对基础性质的常规应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆算术平方根的性质：算术平方根具有非负性，即对于任意非负数$x$，都有$\sqrt{x} ≥ 0$，且$\sqrt{x}$的最小值为0。代数式$\sqrt{4a+1}-3$中，常数项$-3$是固定值，因此要让整个代数式取最小值，只需要让算术平方根部分$\sqrt{4a+1}$取最小值即可。接下来先求出$\sqrt{4a+1}$取最小值时$a$的取值，再代入计算代数式的最小值即可。
【解析】
根据算术平方根的非负性可知：$\sqrt{4a+1} ≥ 0$，且被开方数$4a+1 ≥ 0$时代数式才有意义。
要使代数式$\sqrt{4a+1}-3$取得最小值，需使$\sqrt{4a+1}$取到最小值0。
当$\sqrt{4a+1}=0$时，可得方程：
$4a + 1 = 0$
解得：$a = -\dfrac{1}{4}$
将$\sqrt{4a+1}=0$代入代数式，得最小值为：$0 - 3 = -3$
【答案】
$-\dfrac{1}{4}$；$-3$
【知识点】
1. 算术平方根的非负性
2. 二次根式有意义的条件
3. 代数式最值求解
【点评】
本题核心是利用算术平方根的非负性求代数式的最值，解题的关键是明确算术平方根的最小值为0，结合代数式的结构就能快速求出对应参数和最值，是对基础性质的常规应用。
【难度系数】
0.8
8. 下列计算正确的是 （
A.$(-\sqrt{8})^2 = 64$
B.$\sqrt{(-25)^2} = \pm25$
C.$\sqrt{9\frac{1}{16}} = 3\frac{1}{4}$
D.$-\sqrt{(-8)^2} = -8$
D
）A.$(-\sqrt{8})^2 = 64$
B.$\sqrt{(-25)^2} = \pm25$
C.$\sqrt{9\frac{1}{16}} = 3\frac{1}{4}$
D.$-\sqrt{(-8)^2} = -8$
答案
8.D
解析
【分析】
这道题考查算术平方根的相关运算，解题时首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果是非负数，同时熟记两个常用运算规则：①$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，②$\sqrt{a^2}=|a|$；遇到带分数时先转化为假分数再进行开方运算，逐一验证四个选项的运算是否正确即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
A选项：$(-\sqrt{8})^2=(\sqrt{8})^2=8≠64$，因此A运算错误；
B选项：$\sqrt{(-25)^2}$表示$(-25)^2$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{(-25)^2}=\sqrt{625}=25$，不是$\pm25$，因此B运算错误；
C选项：计算带分数的算术平方根时，需先将带分数化为假分数：$9\frac{1}{16}=\frac{9×16+1}{16}=\frac{145}{16}$，因此$\sqrt{9\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{145}{16}}=\frac{\sqrt{145}}{4}≠3\frac{1}{4}$，因此C运算错误；
D选项：先计算根号内的平方：$(-8)^2=64$，因此$-\sqrt{(-8)^2}=-\sqrt{64}=-8$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；二次根式化简；带分数运算
【点评】
这道题是算术平方根的基础运算题，易错点主要有三个：一是混淆算术平方根和平方根的概念，误认为算术平方根有正负两个结果；二是计算带分数开方时直接对整数部分和分数部分分别开方；三是运算时忽略符号，解题时牢记运算规则即可避免错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查算术平方根的相关运算，解题时首先要明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果是非负数，同时熟记两个常用运算规则：①$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，②$\sqrt{a^2}=|a|$；遇到带分数时先转化为假分数再进行开方运算，逐一验证四个选项的运算是否正确即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
A选项：$(-\sqrt{8})^2=(\sqrt{8})^2=8≠64$，因此A运算错误；
B选项：$\sqrt{(-25)^2}$表示$(-25)^2$的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{(-25)^2}=\sqrt{625}=25$，不是$\pm25$，因此B运算错误；
C选项：计算带分数的算术平方根时，需先将带分数化为假分数：$9\frac{1}{16}=\frac{9×16+1}{16}=\frac{145}{16}$，因此$\sqrt{9\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{145}{16}}=\frac{\sqrt{145}}{4}≠3\frac{1}{4}$，因此C运算错误；
D选项：先计算根号内的平方：$(-8)^2=64$，因此$-\sqrt{(-8)^2}=-\sqrt{64}=-8$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；二次根式化简；带分数运算
【点评】
这道题是算术平方根的基础运算题，易错点主要有三个：一是混淆算术平方根和平方根的概念，误认为算术平方根有正负两个结果；二是计算带分数开方时直接对整数部分和分数部分分别开方；三是运算时忽略符号，解题时牢记运算规则即可避免错误。
【难度系数】
0.7
9. 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，化简$\sqrt{(a-2)^2} - \sqrt{(b+2)^2} - \sqrt{a^2} =$
$-2a+b+4$
。答案
9.$-2a+b+4$ 【点拨】由数轴可知$b＜-2,0＜a＜2$，所以$a-2＜0,b+2＜0$，
所以$\sqrt{(a-2)^2}-\sqrt{(b+2)^2}-\sqrt{a^2}$
$=-(a-2)+(b+2)-a$
$=-2a+b+4$。
所以$\sqrt{(a-2)^2}-\sqrt{(b+2)^2}-\sqrt{a^2}$
$=-(a-2)+(b+2)-a$
$=-2a+b+4$。
解析
【分析】
解题首先从数轴获取实数a、b的取值范围：观察数轴可得$b＜-2$，$0＜a＜2$。再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式中的每个二次根式转化为绝对值形式，接着判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$b ＜ -2$，$0 ＜ a ＜ 2$，
因此可得：$a-2 ＜ 0$，$b+2 ＜ 0$，$a ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(a-2)^2} - \sqrt{(b+2)^2} - \sqrt{a^2}&=|a-2| - |b+2| - |a|\\&=-(a-2) - [-(b+2)] - a\\&=-a +2 +b +2 -a\\&=-2a +b +4\end{aligned}$
【答案】
$-2a+b+4$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简运算，解题时需注意去绝对值符号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题首先从数轴获取实数a、b的取值范围：观察数轴可得$b＜-2$，$0＜a＜2$。再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式中的每个二次根式转化为绝对值形式，接着判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后去括号、合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$b ＜ -2$，$0 ＜ a ＜ 2$，
因此可得：$a-2 ＜ 0$，$b+2 ＜ 0$，$a ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(a-2)^2} - \sqrt{(b+2)^2} - \sqrt{a^2}&=|a-2| - |b+2| - |a|\\&=-(a-2) - [-(b+2)] - a\\&=-a +2 +b +2 -a\\&=-2a +b +4\end{aligned}$
【答案】
$-2a+b+4$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简运算，解题时需注意去绝对值符号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
10. 跨学科题 电流通过导线时会产生热量，电流$ I $(单位:A)，导线电阻$ R $(单位:$\Omega$)，通电时间$ t $(单位:s)与产生的热量$ Q $(单位:J)满足$ Q=I^2Rt $.若导线电阻为5 $\Omega$，通电时间为1 s，导线产生的热量为80 J，则电流$ I $的值是多少？
答案
10.【解】把$R=5\ \Omega,t=1\ \mathrm{s},Q=80\ \mathrm{J}$代入$Q=I^2Rt$，
得$80=I^2×5×1$，
所以$I^2=\dfrac{80}{5×1}=16$，所以$I=4\ \mathrm{A}$。
所以电流$I$的值为4 A。
得$80=I^2×5×1$，
所以$I^2=\dfrac{80}{5×1}=16$，所以$I=4\ \mathrm{A}$。
所以电流$I$的值为4 A。
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的热量计算公式和已知的R、t、Q的数值，我们的目标是求解电流I。第一步先将已知量代入公式，得到关于I²的等式，再结合电流为正数的实际意义，通过计算算术平方根即可得到I的取值。
【解析】
把$R=5\ \Omega$，$t=1\ \mathrm{s}$，$Q=80\ \mathrm{J}$代入$Q=I^2Rt$，
得$80=I^2×5×1$，
所以$I^2=\dfrac{80}{5×1}=16$，
因为电流为正数，因此I是16的算术平方根，即$I=\sqrt{16}=4\ \mathrm{A}$。
【答案】
4 A
【知识点】
1. 算术平方根的应用
2. 公式代入求值
【点评】
本题为跨学科题型，结合物理焦耳定律考查数学知识的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学计算，同时要注意结合物理量的实际意义，取非负的算术平方根作为最终结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的热量计算公式和已知的R、t、Q的数值，我们的目标是求解电流I。第一步先将已知量代入公式，得到关于I²的等式，再结合电流为正数的实际意义，通过计算算术平方根即可得到I的取值。
【解析】
把$R=5\ \Omega$，$t=1\ \mathrm{s}$，$Q=80\ \mathrm{J}$代入$Q=I^2Rt$，
得$80=I^2×5×1$，
所以$I^2=\dfrac{80}{5×1}=16$，
因为电流为正数，因此I是16的算术平方根，即$I=\sqrt{16}=4\ \mathrm{A}$。
【答案】
4 A
【知识点】
1. 算术平方根的应用
2. 公式代入求值
【点评】
本题为跨学科题型，结合物理焦耳定律考查数学知识的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学计算，同时要注意结合物理量的实际意义，取非负的算术平方根作为最终结果。
【难度系数】
0.9
11.若$\sqrt{a}=3$，$|b|=5$，且$ab＜0$，则$a+b$的算术平方根为（
A.4
B.2
C.$\pm2$
D.3
B
）A.4
B.2
C.$\pm2$
D.3
答案
11.B
解析
【分析】
解题时先逐个拆解已知条件：首先根据算术平方根的定义，由$\sqrt{a}=3$可求出$a$的值，同时确定$a$的符号；再结合$ab＜0$的条件，可判断出$b$的符号；接着根据$|b|=5$求出符合符号要求的$b$的值；最后计算$a+b$，再求其算术平方根即可，注意算术平方根的结果为非负数，排除负数结果。
【解析】
步骤1：求$a$的值：根据算术平方根的定义，若$\sqrt{a}=3$，则$a=3^2=9$，且$a＞0$；
步骤2：判断$b$的符号：已知$ab＜0$，说明$a$、$b$异号，因为$a＞0$，因此$b＜0$；
步骤3：求$b$的值：已知$|b|=5$，绝对值为5的数有$5$和$-5$，结合$b＜0$的要求，得$b=-5$；
步骤4：计算$a+b$：$a+b=9+(-5)=4$；
步骤5：求$a+b$的算术平方根：算术平方根为非负数，因此4的算术平方根是$\sqrt{4}=2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义，绝对值的性质，有理数的运算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是结合多个性质确定未知字母的取值，解题时要注意算术平方根具有非负性，不要混淆算术平方根和平方根的概念，准确判断$b$的符号是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先逐个拆解已知条件：首先根据算术平方根的定义，由$\sqrt{a}=3$可求出$a$的值，同时确定$a$的符号；再结合$ab＜0$的条件，可判断出$b$的符号；接着根据$|b|=5$求出符合符号要求的$b$的值；最后计算$a+b$，再求其算术平方根即可，注意算术平方根的结果为非负数，排除负数结果。
【解析】
步骤1：求$a$的值：根据算术平方根的定义，若$\sqrt{a}=3$，则$a=3^2=9$，且$a＞0$；
步骤2：判断$b$的符号：已知$ab＜0$，说明$a$、$b$异号，因为$a＞0$，因此$b＜0$；
步骤3：求$b$的值：已知$|b|=5$，绝对值为5的数有$5$和$-5$，结合$b＜0$的要求，得$b=-5$；
步骤4：计算$a+b$：$a+b=9+(-5)=4$；
步骤5：求$a+b$的算术平方根：算术平方根为非负数，因此4的算术平方根是$\sqrt{4}=2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义，绝对值的性质，有理数的运算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是结合多个性质确定未知字母的取值，解题时要注意算术平方根具有非负性，不要混淆算术平方根和平方根的概念，准确判断$b$的符号是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 新考法·分类讨论法 2026·眉山期末 已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且满足$\sqrt{a-3} + b^2 + 16 = 8b$，则$c$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.$\sqrt{7}$或5
D
）A.3
B.4
C.5
D.$\sqrt{7}$或5
答案
12.D 【点拨】因为$\sqrt{a-3}+b^2+16=8b$，所以$\sqrt{a-3}+b^2-8b+16=0$，所以$\sqrt{a-3}+(b-4)^2=0$，所以$a-3=0,b-4=0$，所以$a=3,b=4$。当$a=3,b=4$为直角边时，$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$；当$b=4$为斜边时，$c=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。综上可知，$c$的值为$\sqrt{7}$或5。
解析
【分析】
首先观察已知等式，其中包含算术平方根和二次项，可先通过移项凑完全平方，利用非负数的性质（算术平方根、平方数均为非负数，几个非负数相加和为0时每个非负数都为0）求出a、b的取值；再结合直角三角形未明确斜边的特点，分类讨论c是斜边还是直角边，分别用勾股定理计算c的数值即可。
【解析】
对已知等式变形整理：
移项得$\sqrt{a-3} + b^2 - 8b + 16 = 0$，
由完全平方公式得$\sqrt{a-3} + (b-4)^2 = 0$。
∵$\sqrt{a-3} ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴$a-3=0$，$b-4=0$，解得$a=3$，$b=4$。
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$三边长为a、b、c，分两种情况讨论：
① 当a、b均为直角边时，c为斜边，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$；
② 当b为斜边，a和c为直角边时，由勾股定理得：
$c=\sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
综上，c的值为$\sqrt{7}$或5。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题的关键一是掌握非负数的性质求出a、b的值，二是明确直角三角形斜边未给出时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先观察已知等式，其中包含算术平方根和二次项，可先通过移项凑完全平方，利用非负数的性质（算术平方根、平方数均为非负数，几个非负数相加和为0时每个非负数都为0）求出a、b的取值；再结合直角三角形未明确斜边的特点，分类讨论c是斜边还是直角边，分别用勾股定理计算c的数值即可。
【解析】
对已知等式变形整理：
移项得$\sqrt{a-3} + b^2 - 8b + 16 = 0$，
由完全平方公式得$\sqrt{a-3} + (b-4)^2 = 0$。
∵$\sqrt{a-3} ≥ 0$，$(b-4)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，
∴$a-3=0$，$b-4=0$，解得$a=3$，$b=4$。
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$三边长为a、b、c，分两种情况讨论：
① 当a、b均为直角边时，c为斜边，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$；
② 当b为斜边，a和c为直角边时，由勾股定理得：
$c=\sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$。
综上，c的值为$\sqrt{7}$或5。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题的关键一是掌握非负数的性质求出a、b的值，二是明确直角三角形斜边未给出时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13.直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长为
60
步.（一亩=240平方步）答案
13.60
解析
【分析】
解题时首先需要统一面积单位，将亩换算为平方步，再根据宽是长的一半的数量关系设未知数，利用长方形面积公式建立方程，最后结合算术平方根的非负性求出长的数值即可。
【解析】
1. 单位换算：7亩半即7.5亩，总面积为 $7.5×240=1800$ 平方步。
2. 设未知数：设长方形田的长为$x$步，由宽是长的一半可知宽为$\frac{1}{2}x$步。
3. 列方程求解：根据长方形面积=长×宽，可得方程：
$x·\frac{1}{2}x=1800$
整理得 $x^2=3600$
因为长为正数，所以 $x=\sqrt{3600}=60$。
【答案】
60
【知识点】
算术平方根计算，长方形面积公式，单位换算
【点评】
本题以古代数学问题为载体，既考查了学生的读题理解能力，又综合考查了单位换算、方程建模和算术平方根的实际应用，解题时要注意长度属于正数，需取算术平方根作为结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要统一面积单位，将亩换算为平方步，再根据宽是长的一半的数量关系设未知数，利用长方形面积公式建立方程，最后结合算术平方根的非负性求出长的数值即可。
【解析】
1. 单位换算：7亩半即7.5亩，总面积为 $7.5×240=1800$ 平方步。
2. 设未知数：设长方形田的长为$x$步，由宽是长的一半可知宽为$\frac{1}{2}x$步。
3. 列方程求解：根据长方形面积=长×宽，可得方程：
$x·\frac{1}{2}x=1800$
整理得 $x^2=3600$
因为长为正数，所以 $x=\sqrt{3600}=60$。
【答案】
60
【知识点】
算术平方根计算，长方形面积公式，单位换算
【点评】
本题以古代数学问题为载体，既考查了学生的读题理解能力，又综合考查了单位换算、方程建模和算术平方根的实际应用，解题时要注意长度属于正数，需取算术平方根作为结果。
【难度系数】
0.7
14. 观察表格并回答问题：
(1)表格中的三个值分别为：$x=$
(2)用公式表示这一规律：当$a=4×100^n$（$n$为整数）时，$\sqrt{a}=$
(1)表格中的三个值分别为：$x=$
0.2
；$y=$20
；$z=$200
；(2)用公式表示这一规律：当$a=4×100^n$（$n$为整数）时，$\sqrt{a}=$
$2×10^n$
。答案
14.(1)0.2；20；200 (2)$2×10^n$
解析
【分析】
本题围绕算术平方根的相关知识设计，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：直接根据算术平方根的定义，分别计算0.04、400、40000的算术平方根，即可得到x、y、z的值；
2. 解决第(2)问：先观察表格中被开方数a的变化规律和对应算术平方根√a的变化规律，发现被开方数每扩大为原来的100倍，算术平方根就扩大为原来的10倍，再结合算术平方根的运算性质，对a=4×100ⁿ开平方推导即可得到通用公式。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
① 求x：
∵0.2²=0.04，
∴√0.04=0.2，即x=0.2；
② 求y：
∵20²=400，
∴√400=20，即y=20；
③ 求z：
∵200²=40000，
∴√40000=200，即z=200。
(2) 当a=4×100ⁿ（n为整数）时，根据算术平方根的运算性质：
√a=√(4×100ⁿ)=√4 × √(100ⁿ)=2×√((10²)ⁿ)=2×√(10^(2n))=2×10ⁿ。
【答案】
(1)0.2；20；200 (2)2×10ⁿ
【知识点】
算术平方根计算，算术平方根性质，规律探究
【点评】
本题侧重考查算术平方根的基础掌握情况，既需要熟练运用算术平方根的定义计算具体数值，也需要具备一定的观察归纳能力，从特殊数据中总结出通用规律，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
本题围绕算术平方根的相关知识设计，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：直接根据算术平方根的定义，分别计算0.04、400、40000的算术平方根，即可得到x、y、z的值；
2. 解决第(2)问：先观察表格中被开方数a的变化规律和对应算术平方根√a的变化规律，发现被开方数每扩大为原来的100倍，算术平方根就扩大为原来的10倍，再结合算术平方根的运算性质，对a=4×100ⁿ开平方推导即可得到通用公式。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
① 求x：
∵0.2²=0.04，
∴√0.04=0.2，即x=0.2；
② 求y：
∵20²=400，
∴√400=20，即y=20；
③ 求z：
∵200²=40000，
∴√40000=200，即z=200。
(2) 当a=4×100ⁿ（n为整数）时，根据算术平方根的运算性质：
√a=√(4×100ⁿ)=√4 × √(100ⁿ)=2×√((10²)ⁿ)=2×√(10^(2n))=2×10ⁿ。
【答案】
(1)0.2；20；200 (2)2×10ⁿ
【知识点】
算术平方根计算，算术平方根性质，规律探究
【点评】
本题侧重考查算术平方根的基础掌握情况，既需要熟练运用算术平方根的定义计算具体数值，也需要具备一定的观察归纳能力，从特殊数据中总结出通用规律，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
