14. :: 我们知道:任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零,由此可得:如果$ax + b = 0$,其中$a,b$为有理数,$x$为无理数,那么$a = 0$,且$b = 0$.运用上述知识解决下列问题:
(1)如果$(a + 2)π - b + 3 = 0$,其中$a,b$为有理数,那么$a = \_\_\_\_\_\_$,$b = \_\_\_\_\_\_$;
(2)如果$2b - 6 - (a - 4)π = 5$,其中$a,b$为有理数,求$3a + 2b$的值.

14.【解】(1)$-2$;$3$ 【点拨】因为$(a+2)π -b+3=0$,其中$a,b$为有理数,所以$a+2=0$,$-b+3=0$,所以$a=-2$,$b=3$.
(2)因为$2b-6-(a-4)π=5$,即$(a-4)π -2b+11=0$,其中$a,b$为有理数,所以$a-4=0$,且$-2b+11=0$,解得$a=4$,$b=\frac{11}{2}$,所以$3a+2b=3×4+2×\frac{11}{2}=12+11=23$.

【分析】
本题需运用题干给出的结论解题：若有理数乘无理数加有理数等于0，则无理数的有理数系数为0，常数项也为0。对于(1)，观察等式可知π为无理数，将式子对应结论的标准形式，分别令π的系数和常数项为0，即可求出a、b的值；对于(2)，先将等式移项整理为符合结论的标准形式，同理求出a、b的值，再代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 已知$(a + 2)π - b + 3 = 0$，其中$a,b$为有理数，$π$为无理数，根据题干结论可得：
$π$的系数$a+2=0$，常数项$-b+3=0$
解得$a=-2$，$b=3$。
(2) 先对等式$2b - 6 - (a - 4)π = 5$移项整理：
将等号右侧的5移到左侧，得$-(a - 4)π + 2b - 6 - 5 = 0$，即$(a - 4)π + (-2b + 11) = 0$
因为$a,b$为有理数，$π$为无理数，根据题干结论可得：
$a - 4 = 0$，$-2b + 11 = 0$
解得$a=4$，$b=\frac{11}{2}$
将$a=4$，$b=\frac{11}{2}$代入$3a + 2b$得：
$3×4 + 2×\frac{11}{2} = 12 + 11 = 23$
【答案】
(1) $-2$；$3$
(2) $23$
【知识点】
实数的运算性质，有理数与无理数的运算规律，代数式求值
【点评】
本题属于材料应用类题型，核心是准确理解题干给出的运算结论，解题时需先将等式整理为“无理数的有理数倍+有理数常数=0”的标准形式，再分别列方程求解，解题关键是正确区分含无理数的项和纯有理数项。
【难度系数】
0.7

15. ★★★ 如图,数轴上从左到右依次有A,B,C,D四个点,A,B之间的距离为$a+b$,B,C之间的距离为$2a-b$,B,D之间的距离为$5a+2b$,将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处,并沿数轴向右滚动.
(1)若圆形纸片从点A处滚到点C处,恰好滚动了$n$($n$为正整数)圈,则$a=$(用含$n$的代数式表示),$a$是(填“有理数”或“无理数”);
(2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后,恰好到达点B处,求C,D之间的距离(结果保留$π$);
(3)若点A表示的数为$π$,圆形纸片从点A处滚动到点B,C,D处的圈数均为整数,其中圆形纸片从点A处滚动3圈后,恰好到达点C处,求点D表示的数.

15.【解】(1)$\frac{nπ}{3}$;无理数 【点拨】圆形纸片的直径为1,因此周长为$π$,滚动$n$圈的距离为$nπ$,而$AC=(a+b)+(2a-b)=3a$,所以$3a=nπ$,即$a=\frac{nπ}{3}$,$\frac{nπ}{3}$是无理数.
(2)因为圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处,所以$a+b=π$,所以$CD=(5a+2b)-(2a-b)=3a+3b=3(a+b)=3π$,所以C,D之间的距离为$3π$.
(3)由(2)得$CD=3AB$.
由于圆形纸片从点A处滚动到点B,C,D处的圈数均为整数,且从点A处到点C处恰好滚动3圈,因此有:①当A,B之间的距离为$π$时,
则B,C之间的距离为$2π$,C,D之间的距离为$3π$,
所以A,D之间的距离为$π+2π+3π=6π$.
又因为点A表示的数为$π$,
所以点D表示的数为$π+6π=7π$;
②当A,B之间的距离为$2π$时,
则B,C之间的距离为$π$,C,D之间的距离为$2π×3=6π$,
所以A,D之间的距离为$2π+π+6π=9π$.
又因为点A表示的数为$π$,
所以点D表示的数为$π+9π=10π$.
综上,点D表示的数为$7π$或$10π$.

【分析】
解题时首先明确：直径为1的圆滚动1圈经过的距离等于其周长π。
(1) 先计算A到C的总距离：AC=AB+BC，化简后代入滚动n圈的路程nπ，即可建立等式求出a，再根据无理数定义判断a的类别；
(2) 滚动1圈到B说明AB=π，即a+b=π，再计算CD=BD-BC，化简后将a+b整体代入即可求出CD的长度；
(3) 先根据滚动3圈到C得AC=3π，结合滚动到B、D的圈数都是整数，可知AB、BC、CD的长度都是π的整数倍，且由前问结论CD=3AB，再结合AB+BC=3π分情况讨论，求出AD的总长度后，加A点表示的数π即可得到D表示的数。
【解析】
(1) 圆的直径为1，因此周长为π，滚动n圈经过的路程为$nπ$。
A到C的距离$AC=AB+BC=(a+b)+(2a-b)=3a$，
由题意得$3a=nπ$，解得$a=\frac{nπ}{3}$。
因为π是无理数，n是正整数，所以$\frac{nπ}{3}$是无理数。
(2) 圆形纸片从A滚动1圈到B，说明$AB=π$，即$a+b=π$。
C、D之间的距离$CD=BD-BC=(5a+2b)-(2a-b)=3a+3b=3(a+b)$，
将$a+b=π$代入，得$CD=3π$，即C、D之间的距离为$3π$。
(3) 由(2)可知$CD=3(a+b)=3AB$。
圆形纸片从A滚动3圈到C，因此$AC=3π$，即$AB+BC=3π$。
又因为从A滚动到B、C、D的圈数均为整数，所以AB、BC、CD的长度均为π的正整数倍，分两种情况：
① 当$AB=π$时，$BC=3π-π=2π$，则$CD=3AB=3π$，
总距离$AD=AB+BC+CD=π+2π+3π=6π$，
点A表示的数为π，因此点D表示的数为$π+6π=7π$；
② 当$AB=2π$时，$BC=3π-2π=π$，则$CD=3AB=6π$，
总距离$AD=AB+BC+CD=2π+π+6π=9π$，
点A表示的数为π，因此点D表示的数为$π+9π=10π$。
综上，点D表示的数为$7π$或$10π$。
【答案】
(1)$\frac{nπ}{3}$；无理数
(2)$3π$
(3)$7π$或$10π$
【知识点】
圆的周长计算，数轴两点距离，实数的分类
【点评】
本题结合数轴与圆滚动的实际情境，考查了整式化简、实数性质的应用，解题时要注意整体代入思想和分类讨论思想的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.5