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13. 若实数$x,y,z$满足条件$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{4}(x+y+z+9)$，则$xyz=$
120
。答案
13.120 【点拨】因为实数 $x, y, z$ 满足条件 $\sqrt{x} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-2} = \frac{1}{4}(x+y+z+9)$,所以 $x+y+z+9=4(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2})$,所以 $(x-4\sqrt{x}+4)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)+(z-2-4\sqrt{z-2}+4)=0$,所以 $(\sqrt{x}-2)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-2)^2=0$,所以 $\sqrt{x}-2=0, \sqrt{y-1}-2=0, \sqrt{z-2}-2=0$ 所以 $\sqrt{x}=2$, $\sqrt{y-1}=2, \sqrt{z-2}=2$,所以 $x=4, y-1=4, z-2=4$,所以 $y=5, z=6$,所以 $xyz=120$.
解析
【分析】
观察等式左边为三个二次根式的和，右边为含x、y、z的一次整式，这类问题通常利用“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质求解。解题思路为：第一步先去分母整理等式，第二步将x、y-1、z-2分别看作整体，凑出关于√x、√(y-1)、√(z-2)的完全平方，第三步根据非负性求出各根式的值，进而得到x、y、z的值，最后计算xyz的乘积。
【解析】
对原等式两边同时乘4去分母，得：
$4\sqrt{x} + 4\sqrt{y-1} + 4\sqrt{z-2} = x + y + z + 9$
将所有项移到等号左侧，拆分整理后凑完全平方：
$(x - 4\sqrt{x} + 4) + [(y-1) - 4\sqrt{y-1} + 4] + [(z-2) - 4\sqrt{z-2} + 4] = 0$
根据完全平方公式变形为：
$(\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{y-1} - 2)^2 + (\sqrt{z-2} - 2)^2 = 0$
由于平方数是非负数，三个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\sqrt{x} - 2 = 0$，$\sqrt{y-1} - 2 = 0$，$\sqrt{z-2} - 2 = 0$
分别求解得：
$\sqrt{x}=2\implies x=4$
$\sqrt{y-1}=2\implies y-1=4\implies y=5$
$\sqrt{z-2}=2\implies z-2=4\implies z=6$
因此$xyz=4×5×6=120$。
【答案】
120
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；二次根式运算
【点评】
本题核心考查配方技巧和非负数的应用，解题关键是将√x、√(y-1)、√(z-2)看作整体凑完全平方，将等式转化为多个非负数和为0的形式，再分别求解变量。
【难度系数】
0.6
观察等式左边为三个二次根式的和，右边为含x、y、z的一次整式，这类问题通常利用“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质求解。解题思路为：第一步先去分母整理等式，第二步将x、y-1、z-2分别看作整体，凑出关于√x、√(y-1)、√(z-2)的完全平方，第三步根据非负性求出各根式的值，进而得到x、y、z的值，最后计算xyz的乘积。
【解析】
对原等式两边同时乘4去分母，得：
$4\sqrt{x} + 4\sqrt{y-1} + 4\sqrt{z-2} = x + y + z + 9$
将所有项移到等号左侧，拆分整理后凑完全平方：
$(x - 4\sqrt{x} + 4) + [(y-1) - 4\sqrt{y-1} + 4] + [(z-2) - 4\sqrt{z-2} + 4] = 0$
根据完全平方公式变形为：
$(\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{y-1} - 2)^2 + (\sqrt{z-2} - 2)^2 = 0$
由于平方数是非负数，三个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\sqrt{x} - 2 = 0$，$\sqrt{y-1} - 2 = 0$，$\sqrt{z-2} - 2 = 0$
分别求解得：
$\sqrt{x}=2\implies x=4$
$\sqrt{y-1}=2\implies y-1=4\implies y=5$
$\sqrt{z-2}=2\implies z-2=4\implies z=6$
因此$xyz=4×5×6=120$。
【答案】
120
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；二次根式运算
【点评】
本题核心考查配方技巧和非负数的应用，解题关键是将√x、√(y-1)、√(z-2)看作整体凑完全平方，将等式转化为多个非负数和为0的形式，再分别求解变量。
【难度系数】
0.6
14. 新考法分类讨论法 若$|a - 2026| + \sqrt{b + 2026} = 2$，其中$a,b$均为整数，则$|a + b|=$
4或2或0
。答案
14.4 或 2 或 0 【点拨】因为$|a - 2026| + \sqrt{b + 2026} = 2$,其中$a,b$均为整数,且$|a - 2026|≥0,\sqrt{b + 2026}≥0$,所以可分为以下三种情况: ①$|a - 2026|=0$, $\sqrt{b + 2026}=2$,解得 $a=2\ 026, b=-2\ 022$,所以 $|a + b|=4$; ②$|a - 2026|=1$, $\sqrt{b + 2026}=1$,解得 $a=2\ 025$或$2\ 027, b=-2\ 025$,所以 $|a + b|=0$ 或 2; ③$|a - 2026|=2$, $\sqrt{b + 2026}=0$,解得 $a=2\ 028$或$2\ 024, b=-2\ 026$,所以 $|a + b|=2$. 综上所述,$|a + b|=4$ 或 2 或 0.
【点方法】解本题的关键在于如何进行 2 的拆分,注意不要漏解.
【点方法】解本题的关键在于如何进行 2 的拆分,注意不要漏解.
解析
【分析】
首先根据绝对值和算术平方根的非负性可知，$\vert a-2026\vert≥0$，$\sqrt{b+2026}≥0$，又因为$a$、$b$均为整数，所以$\vert a-2026\vert$是非负整数，$\sqrt{b+2026}$的运算结果也必须是非负整数。两个非负整数相加等于2，可分三类讨论：①$\vert a-2026\vert=0$，$\sqrt{b+2026}=2$；②$\vert a-2026\vert=1$，$\sqrt{b+2026}=1$；③$\vert a-2026\vert=2$，$\sqrt{b+2026}=0$。分别计算每类下$a$、$b$的取值，再代入$\vert a+b\vert$计算结果，最后汇总所有可能的值即可。
【解析】
解：$\because \vert a-2026\vert≥0$，$\sqrt{b+2026}≥0$，且$a$、$b$均为整数，
$\therefore \vert a-2026\vert$和$\sqrt{b+2026}$都是非负整数，二者和为2，分以下三种情况讨论：
① 当$\vert a-2026\vert=0$，$\sqrt{b+2026}=2$时：
解得$a=2026$，$b+2026=4$即$b=-2022$，
此时$\vert a+b\vert=\vert2026+(-2022)\vert=4$；
② 当$\vert a-2026\vert=1$，$\sqrt{b+2026}=1$时：
解得$a=2026\pm1$即$a=2025$或$2027$，$b+2026=1$即$b=-2025$，
当$a=2025$时，$\vert a+b\vert=\vert2025+(-2025)\vert=0$；
当$a=2027$时，$\vert a+b\vert=\vert2027+(-2025)\vert=2$；
③ 当$\vert a-2026\vert=2$，$\sqrt{b+2026}=0$时：
解得$a=2026\pm2$即$a=2028$或$2024$，$b+2026=0$即$b=-2026$，
当$a=2028$时，$\vert a+b\vert=\vert2028+(-2026)\vert=2$；
当$a=2024$时，$\vert a+b\vert=\vert2024+(-2026)\vert=2$；
综上，$\vert a+b\vert$的值为4或2或0。
【答案】
4或2或0
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是利用绝对值和算术平方根的非负性，结合整数的性质对和为2的两个非负整数进行拆分分类，计算时要注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据绝对值和算术平方根的非负性可知，$\vert a-2026\vert≥0$，$\sqrt{b+2026}≥0$，又因为$a$、$b$均为整数，所以$\vert a-2026\vert$是非负整数，$\sqrt{b+2026}$的运算结果也必须是非负整数。两个非负整数相加等于2，可分三类讨论：①$\vert a-2026\vert=0$，$\sqrt{b+2026}=2$；②$\vert a-2026\vert=1$，$\sqrt{b+2026}=1$；③$\vert a-2026\vert=2$，$\sqrt{b+2026}=0$。分别计算每类下$a$、$b$的取值，再代入$\vert a+b\vert$计算结果，最后汇总所有可能的值即可。
【解析】
解：$\because \vert a-2026\vert≥0$，$\sqrt{b+2026}≥0$，且$a$、$b$均为整数，
$\therefore \vert a-2026\vert$和$\sqrt{b+2026}$都是非负整数，二者和为2，分以下三种情况讨论：
① 当$\vert a-2026\vert=0$，$\sqrt{b+2026}=2$时：
解得$a=2026$，$b+2026=4$即$b=-2022$，
此时$\vert a+b\vert=\vert2026+(-2022)\vert=4$；
② 当$\vert a-2026\vert=1$，$\sqrt{b+2026}=1$时：
解得$a=2026\pm1$即$a=2025$或$2027$，$b+2026=1$即$b=-2025$，
当$a=2025$时，$\vert a+b\vert=\vert2025+(-2025)\vert=0$；
当$a=2027$时，$\vert a+b\vert=\vert2027+(-2025)\vert=2$；
③ 当$\vert a-2026\vert=2$，$\sqrt{b+2026}=0$时：
解得$a=2026\pm2$即$a=2028$或$2024$，$b+2026=0$即$b=-2026$，
当$a=2028$时，$\vert a+b\vert=\vert2028+(-2026)\vert=2$；
当$a=2024$时，$\vert a+b\vert=\vert2024+(-2026)\vert=2$；
综上，$\vert a+b\vert$的值为4或2或0。
【答案】
4或2或0
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是利用绝对值和算术平方根的非负性，结合整数的性质对和为2的两个非负整数进行拆分分类，计算时要注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
15. 立德树人 保护环境 “保护环境，节约资源”一直是现代社会所提倡的，墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比赛，他想将一个废旧易拉罐的侧面制成一个正方体（有底有盖）储存盒，他测得该废旧易拉罐的高是20 cm，底面直径是10 cm，废旧易拉罐的侧面刚好用完，正方体储存盒的接头部分忽略不计，求墨墨所做的正方体储存盒的棱长.（π取3）
答案
【解】设墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 $x$ cm.
由题意,得 $6x^2=20×3×10$,
解得 $x=10$(负值已舍去).
答:墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 10 cm.
由题意,得 $6x^2=20×3×10$,
解得 $x=10$(负值已舍去).
答:墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 10 cm.
解析
【分析】
解决本题的核心是找准等量关系：废旧易拉罐的侧面积恰好等于制成的正方体储存盒的表面积。首先回忆圆柱侧面积公式：圆柱侧面积=底面周长×高，其中底面周长=π×直径；再回忆正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长²。我们设正方体棱长为x cm，分别用含x的式子和已知数据表示出两个图形的面积，列出方程后利用平方根的知识求解，最后结合实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 $x$ cm.
由题意，易拉罐侧面积等于正方体表面积，列方程得：
$6x^2=20×3×10$
化简得$6x^2=600$，两边同时除以6得$x^2=100$，根据平方根的定义可得$x=\pm10$。
因为正方体的棱长为正数，故舍去负值$x=-10$，得$x=10$。
答：墨墨所做的正方体储存盒的棱长为10 cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
圆柱侧面积计算，正方体表面积计算，平方根的应用
【点评】
本题结合生活实际情境出题，考查了不同几何图形的面积转化，解题关键是抓住“侧面刚好用完”即两个图形面积相等的核心关系，同时需注意实际问题中解的取值要符合现实意义，要舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是找准等量关系：废旧易拉罐的侧面积恰好等于制成的正方体储存盒的表面积。首先回忆圆柱侧面积公式：圆柱侧面积=底面周长×高，其中底面周长=π×直径；再回忆正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长²。我们设正方体棱长为x cm，分别用含x的式子和已知数据表示出两个图形的面积，列出方程后利用平方根的知识求解，最后结合实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
设墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 $x$ cm.
由题意，易拉罐侧面积等于正方体表面积，列方程得：
$6x^2=20×3×10$
化简得$6x^2=600$，两边同时除以6得$x^2=100$，根据平方根的定义可得$x=\pm10$。
因为正方体的棱长为正数，故舍去负值$x=-10$，得$x=10$。
答：墨墨所做的正方体储存盒的棱长为10 cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
圆柱侧面积计算，正方体表面积计算，平方根的应用
【点评】
本题结合生活实际情境出题，考查了不同几何图形的面积转化，解题关键是抓住“侧面刚好用完”即两个图形面积相等的核心关系，同时需注意实际问题中解的取值要符合现实意义，要舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7
16. 已知正数$ x $的平方根是$ m $和$ m+n $.
(1)当$ n=6 $时,求$ m $的值;
(2)若$ m^2x+(m+n)^2x=32 $,求$ x-1 $的值.
(1)当$ n=6 $时,求$ m $的值;
(2)若$ m^2x+(m+n)^2x=32 $,求$ x-1 $的值.
答案
【解】(1)因为正数 $x$ 的平方根是 $m$ 和 $m+n$,
所以 $m+m+n=0$.
因为 $n=6$,所以 $2m+6=0$,所以 $m=-3$.
(2)因为正数 $x$ 的平方根是 $m$ 和 $m+n$,
所以 $(m+n)^2=x$, $m^2=x$. 因为 $m^2x+(m+n)^2x=32$,
所以 $x^2+x^2=32$,所以 $x^2=16$.
因为 $x$ 是正数,所以 $x=4$,所以 $x-1=3$.
【点方法】一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,即它们的和为零.
所以 $m+m+n=0$.
因为 $n=6$,所以 $2m+6=0$,所以 $m=-3$.
(2)因为正数 $x$ 的平方根是 $m$ 和 $m+n$,
所以 $(m+n)^2=x$, $m^2=x$. 因为 $m^2x+(m+n)^2x=32$,
所以 $x^2+x^2=32$,所以 $x^2=16$.
因为 $x$ 是正数,所以 $x=4$,所以 $x-1=3$.
【点方法】一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,即它们的和为零.
解析
【分析】
解决本题首先要用到正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正数。对于第(1)问，我们可以根据两个平方根之和为0列方程，代入n=6即可求出m的值；对于第(2)问，利用“平方根的平方等于原数”的性质，把原式中的$m^2$和$(m+n)^2$都替换成x，即可得到关于x的方程，解出正数x后就能计算$x-1$的值。
【解析】
(1)
∵ 正数$x$的平方根是$m$和$m+n$，
∴ 正数的两个平方根互为相反数，即$m + (m + n) = 0$，
把$n=6$代入上式，得$2m + 6 = 0$，
解得$m = -3$。
(2)
∵ 正数$x$的平方根是$m$和$m+n$，
∴ $m^2 = x$，$(m+n)^2 = x$，
将其代入等式$m^2x + (m+n)^2x = 32$，得：
$x·x + x·x = 32$，即$2x^2 = 32$，
化简得$x^2 = 16$，
∵ $x$是正数，
∴ $x=4$，
∴ $x-1 = 4-1 = 3$。
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $x-1=3$
【知识点】
正数平方根的性质；解方程；代数式求值
【点评】
本题是平方根相关的基础典型题，解题的关键是熟练掌握正数平方根的两条性质：两个平方根互为相反数、平方根的平方等于原数，代入计算即可求解，易错点是求解x时要注意x是正数，舍去负根。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要用到正数平方根的核心性质：一个正数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方都等于这个正数。对于第(1)问，我们可以根据两个平方根之和为0列方程，代入n=6即可求出m的值；对于第(2)问，利用“平方根的平方等于原数”的性质，把原式中的$m^2$和$(m+n)^2$都替换成x，即可得到关于x的方程，解出正数x后就能计算$x-1$的值。
【解析】
(1)
∵ 正数$x$的平方根是$m$和$m+n$，
∴ 正数的两个平方根互为相反数，即$m + (m + n) = 0$，
把$n=6$代入上式，得$2m + 6 = 0$，
解得$m = -3$。
(2)
∵ 正数$x$的平方根是$m$和$m+n$，
∴ $m^2 = x$，$(m+n)^2 = x$，
将其代入等式$m^2x + (m+n)^2x = 32$，得：
$x·x + x·x = 32$，即$2x^2 = 32$，
化简得$x^2 = 16$，
∵ $x$是正数，
∴ $x=4$，
∴ $x-1 = 4-1 = 3$。
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $x-1=3$
【知识点】
正数平方根的性质；解方程；代数式求值
【点评】
本题是平方根相关的基础典型题，解题的关键是熟练掌握正数平方根的两条性质：两个平方根互为相反数、平方根的平方等于原数，代入计算即可求解，易错点是求解x时要注意x是正数，舍去负根。
【难度系数】
0.8
17. 初高衔接 阅读与理解:小明在学习了有关平方根的知识后,知道负数没有平方根.比如:因为没有一个数的平方等于-1,所以-1没有平方根.有一天,善于思考的小明想:如果存在一个数i,使$i^2=-1$,那么$(±i)^2=-1$,因此-1就有两个平方根了.进一步,小明想:因为$(±2i)^2=-4$,所以-4的平方根是±2i;因为$(±3i)^2=-9$,所以-9的平方根就是±3i.请你根据上面的信息解答下列问题:
(1)求-25,-36的平方根;
(2)求$i+i^2+i^3+…+i^{2026}$的值;
(3)利用所学公式求$(3+2i)^2$和$(3+2i)(3−2i)$的值.
(1)求-25,-36的平方根;
(2)求$i+i^2+i^3+…+i^{2026}$的值;
(3)利用所学公式求$(3+2i)^2$和$(3+2i)(3−2i)$的值.
答案
【解】(1)因为$(\pm5\mathrm{i})^2=-25$,
所以$-25$ 的平方根就是 $\pm5\mathrm{i}$.
因为$(\pm6\mathrm{i})^2=-36$,所以$-36$ 的平方根就是 $\pm6\mathrm{i}$.
(2)因为 $\mathrm{i}^1=\mathrm{i},\mathrm{i}^2=-1,\mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\mathrm{i}^4=1$,
所以 $\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4=\mathrm{i}+(-1)+(-\mathrm{i})+1=0$.
因为 $2026÷4=506······2$,
所以 $\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4+···+\mathrm{i}^{2026}=\mathrm{i}+(-1)+(-\mathrm{i})+1+···+(-1)=\mathrm{i}+(-1)=\mathrm{i}-1$.
(3)$(3+2\mathrm{i})^2=9+12\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2=5+12\mathrm{i}$,
$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=9-4\mathrm{i}^2=13$.
所以$-25$ 的平方根就是 $\pm5\mathrm{i}$.
因为$(\pm6\mathrm{i})^2=-36$,所以$-36$ 的平方根就是 $\pm6\mathrm{i}$.
(2)因为 $\mathrm{i}^1=\mathrm{i},\mathrm{i}^2=-1,\mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\mathrm{i}^4=1$,
所以 $\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4=\mathrm{i}+(-1)+(-\mathrm{i})+1=0$.
因为 $2026÷4=506······2$,
所以 $\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4+···+\mathrm{i}^{2026}=\mathrm{i}+(-1)+(-\mathrm{i})+1+···+(-1)=\mathrm{i}+(-1)=\mathrm{i}-1$.
(3)$(3+2\mathrm{i})^2=9+12\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2=5+12\mathrm{i}$,
$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=9-4\mathrm{i}^2=13$.
解析
【分析】
(1) 仿照题干给出的示例，求负数的平方根时，先计算该负数绝对值的平方根，再搭配±i即可，本质是利用$i^2=-1$的规则推导得$(±ki)^2=-k^2$（k为正数）。
(2) 先计算i的前几次幂，找到幂次的循环规律，可知每4个连续幂次为一个周期，且单个周期的和为0，再计算2026对应多少个完整周期、剩余几项，将剩余项求和即可得到结果。
(3) 直接套用已学的完全平方公式、平方差公式展开，运算规则和整式乘法完全一致，最后将$i^2=-1$代入化简即可。
【解析】
(1) 依据题意推导：
∵$(±5\mathrm{i})^2=25\mathrm{i}^2=25×(-1)=-25$，
∴-25的平方根是$±5\mathrm{i}$；
∵$(±6\mathrm{i})^2=36\mathrm{i}^2=36×(-1)=-36$，
∴-36的平方根是$±6\mathrm{i}$。
(2) 先推导i的幂次循环规律：
$\mathrm{i}^1=\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^2=-1$，$\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2·\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^4=(\mathrm{i}^2)^2=1$，
可得每4个连续项的和为：$\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4=\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1=0$，周期为4。
计算得$2026÷4=506······2$，即原式包含506个完整周期，剩余两项对应周期内前两项$\mathrm{i}$、$\mathrm{i}^2$。
因此原式$=506×0+\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=\mathrm{i}-1$。
(3) 用整式乘法公式计算：
$(3+2\mathrm{i})^2=3^2+2×3×2\mathrm{i}+(2\mathrm{i})^2=9+12\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2$，代入$\mathrm{i}^2=-1$得$9+12\mathrm{i}-4=5+12\mathrm{i}$；
$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=3^2-(2\mathrm{i})^2=9-4\mathrm{i}^2$，代入$\mathrm{i}^2=-1$得$9+4=13$。
【答案】
(1) $-25$的平方根是$\pm5\mathrm{i}$，$-36$的平方根是$\pm6\mathrm{i}$；
(2) $\mathrm{i}-1$；
(3) $(3+2\mathrm{i})^2=5+12\mathrm{i}$，$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=13$
【知识点】
平方根的定义，乘方的周期性，整式乘法公式
【点评】
本题为新定义类题型，以虚数单位i的运算规则为载体，考查对新知识的理解迁移能力，解题核心是抓住题干给出的$i^2=-1$规则，灵活结合已学的代数运算知识求解即可。
【难度系数】
0.7
(1) 仿照题干给出的示例，求负数的平方根时，先计算该负数绝对值的平方根，再搭配±i即可，本质是利用$i^2=-1$的规则推导得$(±ki)^2=-k^2$（k为正数）。
(2) 先计算i的前几次幂，找到幂次的循环规律，可知每4个连续幂次为一个周期，且单个周期的和为0，再计算2026对应多少个完整周期、剩余几项，将剩余项求和即可得到结果。
(3) 直接套用已学的完全平方公式、平方差公式展开，运算规则和整式乘法完全一致，最后将$i^2=-1$代入化简即可。
【解析】
(1) 依据题意推导：
∵$(±5\mathrm{i})^2=25\mathrm{i}^2=25×(-1)=-25$，
∴-25的平方根是$±5\mathrm{i}$；
∵$(±6\mathrm{i})^2=36\mathrm{i}^2=36×(-1)=-36$，
∴-36的平方根是$±6\mathrm{i}$。
(2) 先推导i的幂次循环规律：
$\mathrm{i}^1=\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^2=-1$，$\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2·\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^4=(\mathrm{i}^2)^2=1$，
可得每4个连续项的和为：$\mathrm{i}+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^3+\mathrm{i}^4=\mathrm{i}-1-\mathrm{i}+1=0$，周期为4。
计算得$2026÷4=506······2$，即原式包含506个完整周期，剩余两项对应周期内前两项$\mathrm{i}$、$\mathrm{i}^2$。
因此原式$=506×0+\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=\mathrm{i}-1$。
(3) 用整式乘法公式计算：
$(3+2\mathrm{i})^2=3^2+2×3×2\mathrm{i}+(2\mathrm{i})^2=9+12\mathrm{i}+4\mathrm{i}^2$，代入$\mathrm{i}^2=-1$得$9+12\mathrm{i}-4=5+12\mathrm{i}$；
$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=3^2-(2\mathrm{i})^2=9-4\mathrm{i}^2$，代入$\mathrm{i}^2=-1$得$9+4=13$。
【答案】
(1) $-25$的平方根是$\pm5\mathrm{i}$，$-36$的平方根是$\pm6\mathrm{i}$；
(2) $\mathrm{i}-1$；
(3) $(3+2\mathrm{i})^2=5+12\mathrm{i}$，$(3+2\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})=13$
【知识点】
平方根的定义，乘方的周期性，整式乘法公式
【点评】
本题为新定义类题型，以虚数单位i的运算规则为载体，考查对新知识的理解迁移能力，解题核心是抓住题干给出的$i^2=-1$规则，灵活结合已学的代数运算知识求解即可。
【难度系数】
0.7
