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三、解答题(共48分)
13.(10分)已知$y-2$与$x+1$成正比例关系，且当$x=2$时，$y=4$.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)若点$(a,1-a)$在该一次函数的图象上，求$a$的值.
13.(10分)已知$y-2$与$x+1$成正比例关系，且当$x=2$时，$y=4$.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)若点$(a,1-a)$在该一次函数的图象上，求$a$的值.
答案
【解】(1)因为$y-2$与$x+1$成正比例关系，所以设$y-2=k(x+1)(k≠0)$。
将$x=2,y=4$代入上式，
得$4-2=k(2+1)$，解得$k=\frac{2}{3}$。
所以y与x的函数关系式为$y-2=\frac{2}{3}(x+1)$，
即$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
(2)因为点$(a,1-a)$在这个函数图象上，
所以把$x=a,y=1-a$代入$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，
得$1-a=\frac{2}{3}a+\frac{8}{3}$，解得$a=-1$。
将$x=2,y=4$代入上式，
得$4-2=k(2+1)$，解得$k=\frac{2}{3}$。
所以y与x的函数关系式为$y-2=\frac{2}{3}(x+1)$，
即$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
(2)因为点$(a,1-a)$在这个函数图象上，
所以把$x=a,y=1-a$代入$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，
得$1-a=\frac{2}{3}a+\frac{8}{3}$，解得$a=-1$。
解析
【分析】
(1) 解题时先结合“两个量成正比例”的定义，可设出含待定系数$k$的关系式$y-2=k(x+1)(k≠0)$；再将已知的$x=2$、$y=4$代入所设关系式，即可求出$k$的值，最后整理为$y$关于$x$的函数表达式即可。
(2) 依据“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，将点$(a,1-a)$的横、纵坐标代入第(1)问求出的函数表达式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 因为$y-2$与$x+1$成正比例关系，所以设$y-2=k(x+1)(k≠0)$。
将$x=2,y=4$代入上式，得$4-2=k(2+1)$，解得$k=\frac{2}{3}$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y-2=\frac{2}{3}(x+1)$，整理得$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
(2) 因为点$(a,1-a)$在这个函数图象上，所以把$x=a,y=1-a$代入$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，得$1-a=\frac{2}{3}a+\frac{8}{3}$，
去分母得$3-3a=2a+8$，移项合并同类项得$-5a=5$，解得$a=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}}$；(2) $\boldsymbol{a=-1}$
【知识点】
正比例关系定义，待定系数法求解析式，一次函数点坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查正比例关系的应用、待定系数法的使用以及函数图象上点与解析式的对应关系，解题关键是熟练掌握相关基础概念，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先结合“两个量成正比例”的定义，可设出含待定系数$k$的关系式$y-2=k(x+1)(k≠0)$；再将已知的$x=2$、$y=4$代入所设关系式，即可求出$k$的值，最后整理为$y$关于$x$的函数表达式即可。
(2) 依据“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，将点$(a,1-a)$的横、纵坐标代入第(1)问求出的函数表达式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
(1) 因为$y-2$与$x+1$成正比例关系，所以设$y-2=k(x+1)(k≠0)$。
将$x=2,y=4$代入上式，得$4-2=k(2+1)$，解得$k=\frac{2}{3}$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y-2=\frac{2}{3}(x+1)$，整理得$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
(2) 因为点$(a,1-a)$在这个函数图象上，所以把$x=a,y=1-a$代入$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，得$1-a=\frac{2}{3}a+\frac{8}{3}$，
去分母得$3-3a=2a+8$，移项合并同类项得$-5a=5$，解得$a=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}}$；(2) $\boldsymbol{a=-1}$
【知识点】
正比例关系定义，待定系数法求解析式，一次函数点坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查正比例关系的应用、待定系数法的使用以及函数图象上点与解析式的对应关系，解题关键是熟练掌握相关基础概念，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
14.(12分)如图，直线$y=\frac{1}{2}x+3$与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
(1)求$△ AOB$的面积；
(2)若C为y轴上一点，且$△ ABC$的面积是12，求点C的坐标；
(3)若P是x轴上一点，且$AB=AP$，求点P的坐标.
(1)求$△ AOB$的面积；
(2)若C为y轴上一点，且$△ ABC$的面积是12，求点C的坐标；
(3)若P是x轴上一点，且$AB=AP$，求点P的坐标.
答案
【解】(1)直线$y=\frac{1}{2}x+3$与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，所以易得点A(-6,0)，点B(0,3)。所以AO=6，BO=3。所以△AOB的面积=$\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2)设点C(0,m)。因为△ABC的面积是12，所以$\frac{1}{2}×OA×BC=12$，即$\frac{1}{2}×6×|3-m|=12$，
解得m=-1或7。
所以点C的坐标为(0,-1)或(0,7)。
(3)因为AO=6，BO=3，∠AOB=90°，
所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$。
因为AB=AP，所以$AP=3\sqrt{5}$。
所以点P$(-6+3\sqrt{5},0)$或$(-6-3\sqrt{5},0)$。
(2)设点C(0,m)。因为△ABC的面积是12，所以$\frac{1}{2}×OA×BC=12$，即$\frac{1}{2}×6×|3-m|=12$，
解得m=-1或7。
所以点C的坐标为(0,-1)或(0,7)。
(3)因为AO=6，BO=3，∠AOB=90°，
所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}$。
因为AB=AP，所以$AP=3\sqrt{5}$。
所以点P$(-6+3\sqrt{5},0)$或$(-6-3\sqrt{5},0)$。
解析
【分析】
(1) 求$△ AOB$的面积首先要确定A、B两点的坐标：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入解析式可求出A、B坐标，得到直角边OA、OB的长度后，用直角三角形面积公式计算即可。
(2) 点C在y轴上，可设坐标为$(0,m)$，$△ ABC$以BC为底时，高为点A到y轴的距离即OA的长度，根据面积列方程求解即可，注意BC的长度是两点纵坐标差的绝对值，需考虑C在B上下两侧两种情况，避免漏解。
(3) 先在$Rt△ AOB$中用勾股定理算出AB的长度，因为$AB=AP$且P在x轴上，所以P有A左侧、右侧两种位置，分别计算坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+3$：
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，即$A(-6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$，$OB=3$。
$△ AOB$为直角三角形，面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2) 设点C坐标为$(0,m)$，则$BC=|3-m|$，由$△ ABC$面积为12得：
$\frac{1}{2}× OA× BC=12$，代入得$\frac{1}{2}×6×|3-m|=12$，
化简得$|3-m|=4$，解得$m=7$或$m=-1$，
即点C坐标为$(0,-1)$或$(0,7)$。
(3) 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$，
因为$AB=AP$，所以$AP=3\sqrt{5}$。
点P在x轴上，当P在A右侧时，坐标为$(-6+3\sqrt{5},0)$；当P在A左侧时，坐标为$(-6-3\sqrt{5},0)$。
【答案】
(1) $△ AOB$的面积为9；
(2) 点C的坐标为$(0,-1)$或$(0,7)$；
(3) 点P的坐标为$(-6+3\sqrt{5},0)$或$(-6-3\sqrt{5},0)$。
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、三角形面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题，考察坐标与图形的性质，解题时需注意点的位置的多解性，避免漏解，有助于培养数形结合的思维习惯。
【难度系数】
0.7
(1) 求$△ AOB$的面积首先要确定A、B两点的坐标：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入解析式可求出A、B坐标，得到直角边OA、OB的长度后，用直角三角形面积公式计算即可。
(2) 点C在y轴上，可设坐标为$(0,m)$，$△ ABC$以BC为底时，高为点A到y轴的距离即OA的长度，根据面积列方程求解即可，注意BC的长度是两点纵坐标差的绝对值，需考虑C在B上下两侧两种情况，避免漏解。
(3) 先在$Rt△ AOB$中用勾股定理算出AB的长度，因为$AB=AP$且P在x轴上，所以P有A左侧、右侧两种位置，分别计算坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+3$：
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，即$A(-6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，得$y=3$，即$B(0,3)$，$OB=3$。
$△ AOB$为直角三角形，面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×6×3=9$。
(2) 设点C坐标为$(0,m)$，则$BC=|3-m|$，由$△ ABC$面积为12得：
$\frac{1}{2}× OA× BC=12$，代入得$\frac{1}{2}×6×|3-m|=12$，
化简得$|3-m|=4$，解得$m=7$或$m=-1$，
即点C坐标为$(0,-1)$或$(0,7)$。
(3) 在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$，
因为$AB=AP$，所以$AP=3\sqrt{5}$。
点P在x轴上，当P在A右侧时，坐标为$(-6+3\sqrt{5},0)$；当P在A左侧时，坐标为$(-6-3\sqrt{5},0)$。
【答案】
(1) $△ AOB$的面积为9；
(2) 点C的坐标为$(0,-1)$或$(0,7)$；
(3) 点P的坐标为$(-6+3\sqrt{5},0)$或$(-6-3\sqrt{5},0)$。
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、三角形面积计算、勾股定理应用
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题，考察坐标与图形的性质，解题时需注意点的位置的多解性，避免漏解，有助于培养数形结合的思维习惯。
【难度系数】
0.7
15. (12分) 如图，直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,b)$。
(1)求$b,m$的值；
(2)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为2，求$a$的值。
(1)求$b,m$的值；
(2)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为2，求$a$的值。
答案
【解】(1)因为点P(1,b)在直线$l_1:y=2x+1$上，
所以$b=2×1+1=3$。所以点P的坐标为(1,3)。
因为点P(1,3)在直线$l_2:y=mx+4$上，
所以3=m+4。所以m=-1。
(2)由(1)知直线$l_2$的表达式为$y=-x+4$。
根据题意可知C,D两点的坐标可分别表示为(a,2a+1),(a,4-a)。因为CD=2，所以$|2a+1-(4-a)|=2$，
解得$a=\frac{1}{3}$或$a=\frac{5}{3}$。
所以$b=2×1+1=3$。所以点P的坐标为(1,3)。
因为点P(1,3)在直线$l_2:y=mx+4$上，
所以3=m+4。所以m=-1。
(2)由(1)知直线$l_2$的表达式为$y=-x+4$。
根据题意可知C,D两点的坐标可分别表示为(a,2a+1),(a,4-a)。因为CD=2，所以$|2a+1-(4-a)|=2$，
解得$a=\frac{1}{3}$或$a=\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求解b和m的核心是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”：已知点P的横坐标，先代入$l_1$的解析式即可求出b，得到P点完整坐标后，再代入$l_2$的解析式就能求出m。
(2) 垂直于x轴的直线上所有点横坐标相同，因此将$x=a$分别代入两条直线解析式，可得C、D两点的纵坐标；线段CD的长度是两点纵坐标之差的绝对值（因不确定哪条直线在上方，需加绝对值），结合CD长为2列绝对值方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上，
∴将$x=1$代入解析式得：$b=2×1+1=3$，即点P的坐标为$(1,3)$。
又
∵点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上，
∴将$(1,3)$代入得：$3=m×1+4$，解得$m=-1$。
(2) 由(1)可知直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$。
根据题意，垂直于x轴的直线$x=a$与$l_1$交点C的坐标为$(a,2a+1)$，与$l_2$交点D的坐标为$(a,-a+4)$。
∵线段CD的长为2，
∴$|(2a+1)-(-a+4)|=2$，即$|3a-3|=2$。
分两种情况去绝对值：
① 当$3a-3=2$时，$3a=5$，解得$a=\frac{5}{3}$；
② 当$3a-3=-2$时，$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$；
(2) $a$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离计算，解绝对值方程
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，第一问考查代入法求函数参数，属于基础内容；第二问需要理解垂直x轴的直线上点的坐标特征，注意用绝对值表示两点纵坐标差避免漏解，掌握基本方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解b和m的核心是利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”：已知点P的横坐标，先代入$l_1$的解析式即可求出b，得到P点完整坐标后，再代入$l_2$的解析式就能求出m。
(2) 垂直于x轴的直线上所有点横坐标相同，因此将$x=a$分别代入两条直线解析式，可得C、D两点的纵坐标；线段CD的长度是两点纵坐标之差的绝对值（因不确定哪条直线在上方，需加绝对值），结合CD长为2列绝对值方程，求解即可得到a的值。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上，
∴将$x=1$代入解析式得：$b=2×1+1=3$，即点P的坐标为$(1,3)$。
又
∵点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上，
∴将$(1,3)$代入得：$3=m×1+4$，解得$m=-1$。
(2) 由(1)可知直线$l_2$的解析式为$y=-x+4$。
根据题意，垂直于x轴的直线$x=a$与$l_1$交点C的坐标为$(a,2a+1)$，与$l_2$交点D的坐标为$(a,-a+4)$。
∵线段CD的长为2，
∴$|(2a+1)-(-a+4)|=2$，即$|3a-3|=2$。
分两种情况去绝对值：
① 当$3a-3=2$时，$3a=5$，解得$a=\frac{5}{3}$；
② 当$3a-3=-2$时，$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$；
(2) $a$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离计算，解绝对值方程
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，第一问考查代入法求函数参数，属于基础内容；第二问需要理解垂直x轴的直线上点的坐标特征，注意用绝对值表示两点纵坐标差避免漏解，掌握基本方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
16. (14分) 新考法分类讨论法 已知一次函数 $y=2x-4$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于 $A,B$ 两点，点 $P$ 在该函数的图象上，点 $P$ 到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离分别是 $d_1,d_2$。
(1)当 $d_1+d_2=3$ 时，求点 $P$ 的坐标；
(2)若在线段 $AB$ 上存在无数个 $P$ 点，使得 $d_1+ad_2=4(a$ 为常数$)$，求 $a$ 的值。
(1)当 $d_1+d_2=3$ 时，求点 $P$ 的坐标；
(2)若在线段 $AB$ 上存在无数个 $P$ 点，使得 $d_1+ad_2=4(a$ 为常数$)$，求 $a$ 的值。
答案
【解】(1)设$P(m,2m-4)$，所以$d_1+d_2=|m|+|2m-4|$。
当$0≤m≤2$时，$d_1+d_2=m+4-2m=4-m=3$，
解得m=1，此时$P_1(1,-2)$；
当$m＞2$时，$d_1+d_2=m+2m-4=3$，
解得$m=\frac{7}{3}$，此时$P_2(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$；
当m＜0时，易得点P不存在。
综上，点P的坐标为$(1,-2)$或$(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。
(2)对于一次函数$y=2x-4$，令x=0，得y=-4；令y=0，得x=2，所以A(2,0)，B(0,-4)。
因为点P在线段AB上，所以$0≤m≤2$。
所以$d_1=4-2m$，$d_2=m$。
因为$d_1+ad_2=4$，所以$4-2m+am=4$，即$(a-2)m=0$。
因为有无数个P点，即$(a-2)m=0$有无数个解，
所以a-2=0，所以a=2。
当$0≤m≤2$时，$d_1+d_2=m+4-2m=4-m=3$，
解得m=1，此时$P_1(1,-2)$；
当$m＞2$时，$d_1+d_2=m+2m-4=3$，
解得$m=\frac{7}{3}$，此时$P_2(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$；
当m＜0时，易得点P不存在。
综上，点P的坐标为$(1,-2)$或$(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。
(2)对于一次函数$y=2x-4$，令x=0，得y=-4；令y=0，得x=2，所以A(2,0)，B(0,-4)。
因为点P在线段AB上，所以$0≤m≤2$。
所以$d_1=4-2m$，$d_2=m$。
因为$d_1+ad_2=4$，所以$4-2m+am=4$，即$(a-2)m=0$。
因为有无数个P点，即$(a-2)m=0$有无数个解，
所以a-2=0，所以a=2。
解析
【分析】
(1) 首先设点P的横坐标为m，因P在一次函数$y=2x-4$上，纵坐标可表示为$2m-4$。点到坐标轴的距离为对应坐标的绝对值，因此$d_1+d_2=|m|+|2m-4|$。求解绝对值方程需按m的取值范围分类讨论去绝对值，解方程后验证解是否符合对应区间，即可得到P的坐标。
(2) 先求出A、B两点坐标，确定线段AB上点的横坐标范围为$0≤m≤2$，该区间内可直接去绝对值表示$d_1、d_2$，代入等式整理得到含参方程。要存在无数个P点满足条件，即方程在对应区间有无数个解，仅当未知数的系数为0时等式恒成立，由此可求出a的值。
【解析】
(1) 设点$P(m,2m-4)$，则$d_1=|2m-4|$，$d_2=|m|$，可得$d_1+d_2=|m|+|2m-4|=3$，分情况讨论：
① 当$m＜0$时，方程化为$-m+4-2m=3$，解得$m=\frac{1}{3}$，不符合$m＜0$的前提，此时点P不存在；
② 当$0≤m≤2$时，方程化为$m+4-2m=3$，解得$m=1$，符合取值范围，此时$P(1,-2)$；
③ 当$m＞2$时，方程化为$m+2m-4=3$，解得$m=\frac{7}{3}$，符合取值范围，此时$P(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。
(2) 对$y=2x-4$，令$y=0$得$x=2$，即$A(2,0)$；令$x=0$得$y=-4$，即$B(0,-4)$。
因P在线段AB上，故$0≤m≤2$，此时$d_1=4-2m$，$d_2=m$，代入$d_1+ad_2=4$得：
$4-2m+am=4$，整理得$(a-2)m=0$。
要使方程有无数个解，则m的系数为0，即$a-2=0$，解得$a=2$。
【答案】
(1) $(1,-2)$或$(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$；(2) $a=2$
【知识点】
一次函数的性质，绝对值方程求解，含参方程解的判定
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想在一次函数中的应用，解题时需注意距离的非负性，合理分区间去绝对值避免漏解、增解；第二问要准确理解“无数个解”对应的含参方程特征，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先设点P的横坐标为m，因P在一次函数$y=2x-4$上，纵坐标可表示为$2m-4$。点到坐标轴的距离为对应坐标的绝对值，因此$d_1+d_2=|m|+|2m-4|$。求解绝对值方程需按m的取值范围分类讨论去绝对值，解方程后验证解是否符合对应区间，即可得到P的坐标。
(2) 先求出A、B两点坐标，确定线段AB上点的横坐标范围为$0≤m≤2$，该区间内可直接去绝对值表示$d_1、d_2$，代入等式整理得到含参方程。要存在无数个P点满足条件，即方程在对应区间有无数个解，仅当未知数的系数为0时等式恒成立，由此可求出a的值。
【解析】
(1) 设点$P(m,2m-4)$，则$d_1=|2m-4|$，$d_2=|m|$，可得$d_1+d_2=|m|+|2m-4|=3$，分情况讨论：
① 当$m＜0$时，方程化为$-m+4-2m=3$，解得$m=\frac{1}{3}$，不符合$m＜0$的前提，此时点P不存在；
② 当$0≤m≤2$时，方程化为$m+4-2m=3$，解得$m=1$，符合取值范围，此时$P(1,-2)$；
③ 当$m＞2$时，方程化为$m+2m-4=3$，解得$m=\frac{7}{3}$，符合取值范围，此时$P(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。
(2) 对$y=2x-4$，令$y=0$得$x=2$，即$A(2,0)$；令$x=0$得$y=-4$，即$B(0,-4)$。
因P在线段AB上，故$0≤m≤2$，此时$d_1=4-2m$，$d_2=m$，代入$d_1+ad_2=4$得：
$4-2m+am=4$，整理得$(a-2)m=0$。
要使方程有无数个解，则m的系数为0，即$a-2=0$，解得$a=2$。
【答案】
(1) $(1,-2)$或$(\frac{7}{3},\frac{2}{3})$；(2) $a=2$
【知识点】
一次函数的性质，绝对值方程求解，含参方程解的判定
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想在一次函数中的应用，解题时需注意距离的非负性，合理分区间去绝对值避免漏解、增解；第二问要准确理解“无数个解”对应的含参方程特征，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
