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1. 若函数$y=(a-2)x^{|a|-1}+4$是一次函数，则$a$的值为（
A.－2
B.$\pm2$
C.2
D.0
A
）A.－2
B.$\pm2$
C.2
D.0
答案
A
解析
【分析】
要确定a的值，需结合一次函数的定义分析：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），需同时满足两个条件：①自变量x的次数为1；②一次项系数k不等于0。我们先根据这两个条件列出关于a的方程和不等式，再求解即可得到a的取值。
【解析】
根据一次函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为1：$\left|a\right|-1=1$
解这个方程：$\left|a\right|=2$，因此$a=2$或$a=-2$
2. 一次项系数不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$
结合上述两个结果，排除$a=2$，因此$a=-2$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数定义的典型应用，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选B选项，解题时要注意一次函数的两个成立条件需同时满足，不可漏项。
【难度系数】
0.6
要确定a的值，需结合一次函数的定义分析：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），需同时满足两个条件：①自变量x的次数为1；②一次项系数k不等于0。我们先根据这两个条件列出关于a的方程和不等式，再求解即可得到a的取值。
【解析】
根据一次函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为1：$\left|a\right|-1=1$
解这个方程：$\left|a\right|=2$，因此$a=2$或$a=-2$
2. 一次项系数不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$
结合上述两个结果，排除$a=2$，因此$a=-2$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数定义的典型应用，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误选B选项，解题时要注意一次函数的两个成立条件需同时满足，不可漏项。
【难度系数】
0.6
2. 一个正比例函数的图象经过点$A(2,m)$和点$B(n,-6)$.若点$A$与点$B$关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为（
A.$y=3x$
B.$y=-3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y=-\frac{1}{3}x$
A
）A.$y=3x$
B.$y=-3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y=-\frac{1}{3}x$
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征，利用该特征求出点A、B坐标中未知的m、n值，得到其中一个点的完整坐标；再回忆正比例函数的一般形式，用待定系数法代入点的坐标求出比例系数k，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 利用原点对称性质求坐标：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。
已知点$A(2,m)$和$B(n,-6)$关于原点对称，因此：
$n=-2$，$m=-(-6)=6$，即点$A$的坐标为$(2,6)$。
2. 待定系数法求正比例函数解析式：
设正比例函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），将$A(2,6)$代入表达式得：
$6=2k$，解得$k=3$。
因此该正比例函数的表达式为$y=3x$。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，将坐标对称性质和函数解析式求解结合考察，解题的核心是先通过对称性质得到完整的点坐标，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征，利用该特征求出点A、B坐标中未知的m、n值，得到其中一个点的完整坐标；再回忆正比例函数的一般形式，用待定系数法代入点的坐标求出比例系数k，即可得到函数表达式。
【解析】
1. 利用原点对称性质求坐标：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。
已知点$A(2,m)$和$B(n,-6)$关于原点对称，因此：
$n=-2$，$m=-(-6)=6$，即点$A$的坐标为$(2,6)$。
2. 待定系数法求正比例函数解析式：
设正比例函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），将$A(2,6)$代入表达式得：
$6=2k$，解得$k=3$。
因此该正比例函数的表达式为$y=3x$。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，将坐标对称性质和函数解析式求解结合考察，解题的核心是先通过对称性质得到完整的点坐标，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中,若将直线$y=-2x+m$向下平移3个单位长度后,恰好经过原点,则直线$y=-2x+m$与$x$轴的交点坐标是（
A.$(1.5,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(-1.5,0)$
D.$(2,0)$
A
）A.$(1.5,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(-1.5,0)$
D.$(2,0)$
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用一次函数平移的“上加下减”规律得到平移后的直线解析式，再将原点坐标代入平移后的解析式求出参数m的值，最后令原直线解析式中y=0，求解x即可得到原直线与x轴的交点坐标。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：根据一次函数上下平移的规律“上加下减”，将直线$y=-2x+m$向下平移3个单位长度后，所得直线的解析式为$y=-2x+m-3$。
2. 求参数m的值：因为平移后的直线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入平移后的解析式得：$0=-2×0 + m -3$，解得$m=3$。
3. 求原直线与x轴的交点坐标：原直线解析式为$y=-2x+3$，x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则$0=-2x+3$，解得$x=1.5$，所以交点坐标为$(1.5,0)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查一次函数的平移性质和与坐标轴交点的求解方法，解题的关键是牢记平移规律，会代入特殊点坐标求解未知参数，掌握坐标轴上点的坐标特征。
【难度系数】
0.8
解题时先利用一次函数平移的“上加下减”规律得到平移后的直线解析式，再将原点坐标代入平移后的解析式求出参数m的值，最后令原直线解析式中y=0，求解x即可得到原直线与x轴的交点坐标。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：根据一次函数上下平移的规律“上加下减”，将直线$y=-2x+m$向下平移3个单位长度后，所得直线的解析式为$y=-2x+m-3$。
2. 求参数m的值：因为平移后的直线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入平移后的解析式得：$0=-2×0 + m -3$，解得$m=3$。
3. 求原直线与x轴的交点坐标：原直线解析式为$y=-2x+3$，x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则$0=-2x+3$，解得$x=1.5$，所以交点坐标为$(1.5,0)$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查一次函数的平移性质和与坐标轴交点的求解方法，解题的关键是牢记平移规律，会代入特殊点坐标求解未知参数，掌握坐标轴上点的坐标特征。
【难度系数】
0.8
4. 一次函数 $ y = kx + b $ 与 $ y = kbx $，它们在同一坐标系内的图象可能为（
A
）答案
A
解析
【分析】
要判断两个一次函数在同一坐标系的图象是否正确，需结合一次函数、正比例函数的图象与系数的关系，采用“假设验证法”逐个分析选项：首先根据一次函数$y=kx+b$的倾斜方向、与$y$轴的交点位置判断$k$、$b$的符号，再计算$kb$的符号，验证正比例函数$y=kbx$的图象是否符合该符号对应的性质，一致则选项正确，矛盾则排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
一次函数$y=kx+b$图象从左上向右下倾斜，可得$k＜0$；与$y$轴交于正半轴，可得$b＞0$。因此$kb=k× b＜0$，对应正比例函数$y=kbx$应经过第二、四象限，与选项中过原点的直线图象一致，符合要求。
2. 分析选项B：
一次函数$y=kx+b$图象从左上向右下倾斜，得$k＜0$；与$y$轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$kb＜0$，正比例函数应经过第二、四象限，但选项中正比例函数经过第一、三象限，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
一次函数$y=kx+b$图象从左下向右上倾斜，得$k＞0$；与$y$轴交于负半轴，得$b＜0$，因此$kb＜0$，正比例函数应经过第二、四象限，但选项中正比例函数经过第一、三象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
一次函数$y=kx+b$图象从左下向右上倾斜，得$k＞0$；与$y$轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$kb＞0$，正比例函数应经过第一、三象限，但选项中正比例函数经过第二、四象限，矛盾，排除D。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 正比例函数图象性质
3. 函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象类的经典题型，重点考查函数系数符号和图象位置的对应关系，使用排除法即可快速求解，解题时要注意两个函数中系数符号的联动判断，避免符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数在同一坐标系的图象是否正确，需结合一次函数、正比例函数的图象与系数的关系，采用“假设验证法”逐个分析选项：首先根据一次函数$y=kx+b$的倾斜方向、与$y$轴的交点位置判断$k$、$b$的符号，再计算$kb$的符号，验证正比例函数$y=kbx$的图象是否符合该符号对应的性质，一致则选项正确，矛盾则排除。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
一次函数$y=kx+b$图象从左上向右下倾斜，可得$k＜0$；与$y$轴交于正半轴，可得$b＞0$。因此$kb=k× b＜0$，对应正比例函数$y=kbx$应经过第二、四象限，与选项中过原点的直线图象一致，符合要求。
2. 分析选项B：
一次函数$y=kx+b$图象从左上向右下倾斜，得$k＜0$；与$y$轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$kb＜0$，正比例函数应经过第二、四象限，但选项中正比例函数经过第一、三象限，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
一次函数$y=kx+b$图象从左下向右上倾斜，得$k＞0$；与$y$轴交于负半轴，得$b＜0$，因此$kb＜0$，正比例函数应经过第二、四象限，但选项中正比例函数经过第一、三象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
一次函数$y=kx+b$图象从左下向右上倾斜，得$k＞0$；与$y$轴交于正半轴，得$b＞0$，因此$kb＞0$，正比例函数应经过第一、三象限，但选项中正比例函数经过第二、四象限，矛盾，排除D。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 正比例函数图象性质
3. 函数系数与图象的关系
【点评】
本题是一次函数图象类的经典题型，重点考查函数系数符号和图象位置的对应关系，使用排除法即可快速求解，解题时要注意两个函数中系数符号的联动判断，避免符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
5. [2026 成都双流区期末] 如图,已知线段 AB 端点的坐标分别为 $A(-2,1),B(1,1)$,若一次函数 $y=-2x+b$ 的图象与线段 AB 有交点,则 b 的取值范围是 (
A.$-3 ≤ b ≤ -\dfrac{1}{3}$
B.$-3 ≤ b ≤ 3$
C.$1 ≤ b ≤ 3$
D.$-3 ≤ b ≤ 1$
B
)A.$-3 ≤ b ≤ -\dfrac{1}{3}$
B.$-3 ≤ b ≤ 3$
C.$1 ≤ b ≤ 3$
D.$-3 ≤ b ≤ 1$
答案
B
解析
【分析】
首先观察线段AB的特征：端点A(-2,1)、B(1,1)的纵坐标相同，因此线段AB在直线y=1上，横坐标取值范围为-2≤x≤1。要判断一次函数y=-2x+b与线段AB有交点，可将y=1代入一次函数解析式，得到x和b的关系，再结合x的取值范围求解b的范围；也可直接将线段两个端点代入一次函数，结合一次函数的单调性得到b的边界值，进而确定取值范围。
【解析】
已知线段AB上所有点的纵坐标均为1，横坐标x满足-2≤x≤1。
一次函数y=-2x+b与线段AB有交点，即存在x∈[-2,1]，使得1=-2x + b，整理得b=2x+1。
因为表达式b=2x+1中x的系数2＞0，所以b随x的增大而增大：
当x=-2时，b取得最小值：b=2×(-2)+1=-3；
当x=1时，b取得最大值：b=2×1+1=3。
因此b的取值范围是-3≤b≤3。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；函数交点问题；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与线段相交的常考题型，解题关键是抓住线段AB纵坐标恒定的特征，通过代入端点或联立解析式结合自变量范围求解，也可通过画图直观判断参数的边界，方法灵活，侧重对一次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
首先观察线段AB的特征：端点A(-2,1)、B(1,1)的纵坐标相同，因此线段AB在直线y=1上，横坐标取值范围为-2≤x≤1。要判断一次函数y=-2x+b与线段AB有交点，可将y=1代入一次函数解析式，得到x和b的关系，再结合x的取值范围求解b的范围；也可直接将线段两个端点代入一次函数，结合一次函数的单调性得到b的边界值，进而确定取值范围。
【解析】
已知线段AB上所有点的纵坐标均为1，横坐标x满足-2≤x≤1。
一次函数y=-2x+b与线段AB有交点，即存在x∈[-2,1]，使得1=-2x + b，整理得b=2x+1。
因为表达式b=2x+1中x的系数2＞0，所以b随x的增大而增大：
当x=-2时，b取得最小值：b=2×(-2)+1=-3；
当x=1时，b取得最大值：b=2×1+1=3。
因此b的取值范围是-3≤b≤3。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；函数交点问题；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与线段相交的常考题型，解题关键是抓住线段AB纵坐标恒定的特征，通过代入端点或联立解析式结合自变量范围求解，也可通过画图直观判断参数的边界，方法灵活，侧重对一次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.7
6. 跨学科题 如图,从光源A发出的一束光,在平面镜(y轴)上的点B处反射,反射光线BC交x轴于点$C(-1,0)$,若光线AB满足的函数关系式为$y=-\frac{2}{3}x+b$,则b的值是（
A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
C
）A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
【点拨】如图，延长AB交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴，则EF//x轴，所以∠EBC=∠BCO，∠ABE=∠BDO。易知∠ABE=∠EBC，所以∠BCO=∠BDO。又因为∠BOC=∠BOD=90°，BO=BO，所以△BCO≌△BDO。所以OC=OD。因为点C(-1,0)，所以点D的坐标为(1,0)。将点D(1,0)的坐标代入$y=-\frac{2}{3}x+b$，得$0=-\frac{2}{3}+b$，所以$b=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题是跨学科综合题，解题时需结合物理光的反射规律与数学的几何、一次函数知识思考：首先根据光的反射定律“入射角等于反射角”得到角相等的关系，通过作辅助线构造全等三角形，找到直线AB上的已知点坐标，再将该点坐标代入一次函数解析式，即可求出参数b的值。
【解析】
解：如图，延长AB交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴。
∵EF⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴$EF// x$轴，
∴$∠ EBC=∠ BCO$（两直线平行，内错角相等），$∠ ABE=∠ BDO$（两直线平行，同位角相等）。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ ABE=∠ EBC$，
∴$∠ BCO=∠ BDO$。
在$△ BCO$和$△ BDO$中：
$\begin{cases}∠ BOC=∠ BOD=90°\\∠ BCO=∠ BDO\\BO=BO\end{cases}$
∴$△ BCO≌△ BDO$（AAS），
∴$OC=OD$。
∵点C坐标为$(-1,0)$，
∴$OC=1$，
∴$OD=1$，即点D坐标为$(1,0)$。
∵点D在直线$y=-\frac{2}{3}x+b$上，将$D(1,0)$代入解析式得：
$0=-\frac{2}{3}×1 + b$，
解得$b=\frac{2}{3}$。
【答案】C
【知识点】
一次函数解析式求解，光的反射规律，全等三角形判定与性质
【点评】
本题属于跨学科综合题，将物理的光的反射知识与数学的一次函数、全等三角形知识结合考查，解题的核心是利用反射性质构造全等三角形得到直线上的已知点，再代入解析式求参数，很好地考查了不同学科知识的融合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是跨学科综合题，解题时需结合物理光的反射规律与数学的几何、一次函数知识思考：首先根据光的反射定律“入射角等于反射角”得到角相等的关系，通过作辅助线构造全等三角形，找到直线AB上的已知点坐标，再将该点坐标代入一次函数解析式，即可求出参数b的值。
【解析】
解：如图，延长AB交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴。
∵EF⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴$EF// x$轴，
∴$∠ EBC=∠ BCO$（两直线平行，内错角相等），$∠ ABE=∠ BDO$（两直线平行，同位角相等）。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ ABE=∠ EBC$，
∴$∠ BCO=∠ BDO$。
在$△ BCO$和$△ BDO$中：
$\begin{cases}∠ BOC=∠ BOD=90°\\∠ BCO=∠ BDO\\BO=BO\end{cases}$
∴$△ BCO≌△ BDO$（AAS），
∴$OC=OD$。
∵点C坐标为$(-1,0)$，
∴$OC=1$，
∴$OD=1$，即点D坐标为$(1,0)$。
∵点D在直线$y=-\frac{2}{3}x+b$上，将$D(1,0)$代入解析式得：
$0=-\frac{2}{3}×1 + b$，
解得$b=\frac{2}{3}$。
【答案】C
【知识点】
一次函数解析式求解，光的反射规律，全等三角形判定与性质
【点评】
本题属于跨学科综合题，将物理的光的反射知识与数学的一次函数、全等三角形知识结合考查，解题的核心是利用反射性质构造全等三角形得到直线上的已知点，再代入解析式求参数，很好地考查了不同学科知识的融合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. [浙江竞赛] 设$0＜k＜1$，关于$x$的一次函数$y=kx+\dfrac{1}{k}(1-x)$，当$1≤ x≤ 2$时，$y$的最大值是（
A.$k$
B.$2k-\dfrac{1}{k}$
C.$\dfrac{1}{k}$
D.$k+\dfrac{1}{2}$
A
）A.$k$
B.$2k-\dfrac{1}{k}$
C.$\dfrac{1}{k}$
D.$k+\dfrac{1}{2}$
答案
【点拨】$y=kx+\frac{1}{k}(1-x)=(k-\frac{1}{k})x+\frac{1}{k}$。因为$0＜k＜1$，所以$k-\frac{1}{k}=\frac{(k+1)(k-1)}{k}＜0$，所以该一次函数的函数值y随x的增大而减小。所以当x=1时，y取最大值，最大值为k。
解析
【分析】要解决一次函数在给定x取值范围的最值问题，首先需将函数整理为y=mx+b的标准一次函数形式，再根据一次项系数m的正负判断函数的增减性：m＞0时y随x增大而增大，最大值在x最大处取得；m＜0时y随x增大而减小，最大值在x最小处取得。接下来结合0＜k＜1的条件判断m的符号，最后代入对应x的值计算最大值即可。
【解析】
第一步：化简函数解析式为标准一次函数形式
$\begin{aligned}y&=kx+\frac{1}{k}(1-x)\\&=kx+\frac{1}{k}-\frac{1}{k}x\\&=(k-\frac{1}{k})x+\frac{1}{k}\end{aligned}$
第二步：判断一次项系数的符号
对$k-\frac{1}{k}$通分得：$k-\frac{1}{k}=\frac{k^2-1}{k}=\frac{(k-1)(k+1)}{k}$
已知$0＜k＜1$，则$k＞0$，$k+1＞0$，$k-1＜0$，因此$\frac{(k-1)(k+1)}{k}＜0$，即一次项系数小于0。
第三步：根据增减性求最大值
因为一次项系数小于0，所以y随x的增大而减小。
已知$1≤ x≤2$，则当x取最小值1时，y取得最大值，代入x=1得：
$y_{\mathrm{max}}=(k-\frac{1}{k})×1+\frac{1}{k}=k$
【答案】A
【知识点】一次函数化简；一次函数的增减性；一次函数最值求解
【点评】本题重点考查一次函数增减性的应用，解题的关键是先化简函数解析式，结合参数范围判断一次项系数的符号，从而确定函数的增减性，进而找到区间内的最值，解题时需注意参数取值范围对系数符号的影响。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：化简函数解析式为标准一次函数形式
$\begin{aligned}y&=kx+\frac{1}{k}(1-x)\\&=kx+\frac{1}{k}-\frac{1}{k}x\\&=(k-\frac{1}{k})x+\frac{1}{k}\end{aligned}$
第二步：判断一次项系数的符号
对$k-\frac{1}{k}$通分得：$k-\frac{1}{k}=\frac{k^2-1}{k}=\frac{(k-1)(k+1)}{k}$
已知$0＜k＜1$，则$k＞0$，$k+1＞0$，$k-1＜0$，因此$\frac{(k-1)(k+1)}{k}＜0$，即一次项系数小于0。
第三步：根据增减性求最大值
因为一次项系数小于0，所以y随x的增大而减小。
已知$1≤ x≤2$，则当x取最小值1时，y取得最大值，代入x=1得：
$y_{\mathrm{max}}=(k-\frac{1}{k})×1+\frac{1}{k}=k$
【答案】A
【知识点】一次函数化简；一次函数的增减性；一次函数最值求解
【点评】本题重点考查一次函数增减性的应用，解题的关键是先化简函数解析式，结合参数范围判断一次项系数的符号，从而确定函数的增减性，进而找到区间内的最值，解题时需注意参数取值范围对系数符号的影响。
【难度系数】0.7
8. 新题型 规律探究题 如图,在平面直角坐标系中,在直线$y=x+1$和$x$轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分),其中一条直角边在$x$轴上,另一条直角边与$x$轴垂直,则第100个等腰直角三角形的面积是 (
A.$2^{98}$
B.$2^{99}$
C.$2^{197}$
D.$2^{198}$
C
)A.$2^{98}$
B.$2^{99}$
C.$2^{197}$
D.$2^{198}$
答案
【点拨】当x=0时，y=x+1=1，所以第1个等腰直角三角形的直角边长为1。所以第1个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$；当x=1时，y=x+1=2，所以第2个等腰直角三角形的直角边长为2。所以第2个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×2×2=2$；当x=1+2=3时，y=x+1=4，所以第3个等腰直角三角形的直角边长为4。所以第3个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×4=8$；…；以此规律，第100个等腰直角三角形的面积为$\frac{1}{2}×2^{100-1}×2^{100-1}=2^{197}$。
解析
【分析】
这是一道一次函数结合图形规律的探究题，解题思路如下：第一步，结合一次函数解析式求前几个等腰直角三角形的直角边长：等腰直角三角形垂直于x轴的直角边的长度，等于对应点在直线$y=x+1$上的纵坐标值，先依次算出第1、2、3个三角形的直角边长；第二步，根据等腰直角三角形面积公式计算前几个三角形的面积，总结面积的变化规律；第三步，将$n=100$代入规律公式，即可求出第100个三角形的面积。
【解析】
解：依次计算前几个等腰直角三角形的直角边长和面积，推导规律：
1. 第1个等腰直角三角形：当$x=0$时，代入$y=x+1$得$y=1$，即直角边长为1，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$；
2. 第2个等腰直角三角形：第1个三角形底长为1，对应点横坐标为1，代入解析式得$y=1+1=2$，即直角边长为2，面积$S_2=\frac{1}{2}×2×2=2$；
3. 第3个等腰直角三角形：前两个三角形底长总和为$1+2=3$，对应点横坐标为3，代入解析式得$y=3+1=4$，即直角边长为4，面积$S_3=\frac{1}{2}×4×4=8$；
观察可得规律：第n个等腰直角三角形的直角边长为$2^{n-1}$，对应面积$S_n=\frac{1}{2}×(2^{n-1})^2=2^{2n-3}$；
当$n=100$时，$S_{100}=2^{2×100-3}=2^{197}$。
【答案】C
【知识点】
一次函数的性质、等腰直角三角形面积计算、规律探究
【点评】
本题结合一次函数图象性质和等腰直角三角形的特点，重点考查规律探究能力，解题的关键是准确求出前几个三角形的边长，归纳得到通用的面积规律后再代入数值计算。
【难度系数】
0.6
这是一道一次函数结合图形规律的探究题，解题思路如下：第一步，结合一次函数解析式求前几个等腰直角三角形的直角边长：等腰直角三角形垂直于x轴的直角边的长度，等于对应点在直线$y=x+1$上的纵坐标值，先依次算出第1、2、3个三角形的直角边长；第二步，根据等腰直角三角形面积公式计算前几个三角形的面积，总结面积的变化规律；第三步，将$n=100$代入规律公式，即可求出第100个三角形的面积。
【解析】
解：依次计算前几个等腰直角三角形的直角边长和面积，推导规律：
1. 第1个等腰直角三角形：当$x=0$时，代入$y=x+1$得$y=1$，即直角边长为1，面积$S_1=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$；
2. 第2个等腰直角三角形：第1个三角形底长为1，对应点横坐标为1，代入解析式得$y=1+1=2$，即直角边长为2，面积$S_2=\frac{1}{2}×2×2=2$；
3. 第3个等腰直角三角形：前两个三角形底长总和为$1+2=3$，对应点横坐标为3，代入解析式得$y=3+1=4$，即直角边长为4，面积$S_3=\frac{1}{2}×4×4=8$；
观察可得规律：第n个等腰直角三角形的直角边长为$2^{n-1}$，对应面积$S_n=\frac{1}{2}×(2^{n-1})^2=2^{2n-3}$；
当$n=100$时，$S_{100}=2^{2×100-3}=2^{197}$。
【答案】C
【知识点】
一次函数的性质、等腰直角三角形面积计算、规律探究
【点评】
本题结合一次函数图象性质和等腰直角三角形的特点，重点考查规律探究能力，解题的关键是准确求出前几个三角形的边长，归纳得到通用的面积规律后再代入数值计算。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每题5分,共20分)
9.按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为3,则输出y的结果为
9.按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为3,则输出y的结果为
9
.答案
9
解析
【分析】
解题时首先明确程序框图的运算逻辑：输入x后，先判断x是否满足x≤-1，若满足则代入y=2x²计算y值，若不满足则代入y=2x+3计算y值。本次输入x=3，先判断3与-1的大小关系，确定对应的计算解析式后代入求值即可。
【解析】
已知输入的x值为3：
1. 首先判断x的范围：3 ＞ -1，不满足x≤-1的条件，因此选择分支y=2x+3计算；
2. 将x=3代入y=2x+3，得y=2×3 + 3 = 9。
【答案】
9
【知识点】
程序框图求值，分段函数求值，代数式运算
【点评】
本题为基础题，核心考查对条件分支逻辑的理解，解题关键是先根据输入x的取值判断对应的计算式，再准确计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确程序框图的运算逻辑：输入x后，先判断x是否满足x≤-1，若满足则代入y=2x²计算y值，若不满足则代入y=2x+3计算y值。本次输入x=3，先判断3与-1的大小关系，确定对应的计算解析式后代入求值即可。
【解析】
已知输入的x值为3：
1. 首先判断x的范围：3 ＞ -1，不满足x≤-1的条件，因此选择分支y=2x+3计算；
2. 将x=3代入y=2x+3，得y=2×3 + 3 = 9。
【答案】
9
【知识点】
程序框图求值，分段函数求值，代数式运算
【点评】
本题为基础题，核心考查对条件分支逻辑的理解，解题关键是先根据输入x的取值判断对应的计算式，再准确计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
10. [2025 南充] 已知直线 $ y=m(x+1)(m≠0) $ 与直线 $ y=n(x-2)(n≠0) $ 的交点在 y 轴上，则 $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $ 的值是
$-\frac{5}{2}$
。答案
【点拨】当x=0时，y=m(x+1)=m，y=n(x-2)=-2n。因为直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上，所以m=-2n，所以$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n}{-2n}+\frac{-2n}{n}=-\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
解题首先要明确y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0。已知两条直线的交点在y轴上，说明这个交点同时在两条直线上，且横坐标为0，因此将x=0分别代入两个一次函数解析式，得到的y值相等，由此可推出m与n的数量关系，再将该关系代入所求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
∵ 两条直线的交点在y轴上，y轴上点的横坐标为0
∴ 将x=0代入两条直线解析式，得到的y值相等
把x=0代入$y=m(x+1)$，得$y=m×(0+1)=m$
把x=0代入$y=n(x-2)$，得$y=n×(0-2)=-2n$
由两个y值相等可得：$m = -2n$，且$m≠0$，$n≠0$，分式有意义
将$m=-2n$代入$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$得：
$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n}{-2n}+\frac{-2n}{n}=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$
【答案】
$-\frac{5}{2}$
【知识点】
一次函数交点性质；坐标轴上点的坐标特征；分式化简求值
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题的核心是抓住交点在y轴上的条件，利用函数图象上的点满足函数解析式的性质建立参数间的关系，再代入计算即可，解题时注意隐含条件m、n均不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标都为0。已知两条直线的交点在y轴上，说明这个交点同时在两条直线上，且横坐标为0，因此将x=0分别代入两个一次函数解析式，得到的y值相等，由此可推出m与n的数量关系，再将该关系代入所求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
∵ 两条直线的交点在y轴上，y轴上点的横坐标为0
∴ 将x=0代入两条直线解析式，得到的y值相等
把x=0代入$y=m(x+1)$，得$y=m×(0+1)=m$
把x=0代入$y=n(x-2)$，得$y=n×(0-2)=-2n$
由两个y值相等可得：$m = -2n$，且$m≠0$，$n≠0$，分式有意义
将$m=-2n$代入$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$得：
$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n}{-2n}+\frac{-2n}{n}=-\frac{1}{2}-2=-\frac{5}{2}$
【答案】
$-\frac{5}{2}$
【知识点】
一次函数交点性质；坐标轴上点的坐标特征；分式化简求值
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题的核心是抓住交点在y轴上的条件，利用函数图象上的点满足函数解析式的性质建立参数间的关系，再代入计算即可，解题时注意隐含条件m、n均不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
11.在“探索一次函数$y=kx+b$的系数$k,b$与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点(如图):$A(0,2),B(2,3),C(3,1)$.同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式$AB:y_1=k_1x+b_1,AC:y_2=k_2x+b_2,BC:y_3=k_3x+b_3$,分别计算$k_1+b_1,k_2+b_2,k_3+b_3$的值，其中最大的值等于
5
.答案
5
解析
【分析】
要解决本题，我们可以按以下思路思考：首先题目要求计算三个一次函数的$k+b$的值，我们可以先利用待定系数法，分别求出AB、AC、BC三组两点对应的一次函数解析式，得到每组的$k$和$b$的值，再分别计算$k+b$，最后比较三个值的大小就能得到最大值。
【解析】
1. 求直线AB对应的$k_1+b_1$：
将$A(0,2)$、$B(2,3)$代入$y_1=k_1x+b_1$，
代入A点得：$b_1=2$，
代入B点得：$3=2k_1+2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，
则$k_1+b_1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
2. 求直线AC对应的$k_2+b_2$：
将$A(0,2)$、$C(3,1)$代入$y_2=k_2x+b_2$，
代入A点得：$b_2=2$，
代入C点得：$1=3k_2+2$，解得$k_2=-\frac{1}{3}$，
则$k_2+b_2=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$。
3. 求直线BC对应的$k_3+b_3$：
将$B(2,3)$、$C(3,1)$代入$y_3=k_3x+b_3$，可得方程组：
$\begin{cases}2k_3+b_3=3\\3k_3+b_3=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$k_3=-2$，
将$k_3=-2$代入$2k_3+b_3=3$，得：$-4+b_3=3$，解得$b_3=7$，
则$k_3+b_3=-2+7=5$。
比较三个值：$\frac{5}{3}＜\frac{5}{2}＜5$，故最大的值为5。
【答案】
5
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数系数计算，代数式比较大小
【点评】
本题核心考查一次函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，计算过程中注意符号不要出错，属于对基础知识的灵活考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以按以下思路思考：首先题目要求计算三个一次函数的$k+b$的值，我们可以先利用待定系数法，分别求出AB、AC、BC三组两点对应的一次函数解析式，得到每组的$k$和$b$的值，再分别计算$k+b$，最后比较三个值的大小就能得到最大值。
【解析】
1. 求直线AB对应的$k_1+b_1$：
将$A(0,2)$、$B(2,3)$代入$y_1=k_1x+b_1$，
代入A点得：$b_1=2$，
代入B点得：$3=2k_1+2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，
则$k_1+b_1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
2. 求直线AC对应的$k_2+b_2$：
将$A(0,2)$、$C(3,1)$代入$y_2=k_2x+b_2$，
代入A点得：$b_2=2$，
代入C点得：$1=3k_2+2$，解得$k_2=-\frac{1}{3}$，
则$k_2+b_2=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$。
3. 求直线BC对应的$k_3+b_3$：
将$B(2,3)$、$C(3,1)$代入$y_3=k_3x+b_3$，可得方程组：
$\begin{cases}2k_3+b_3=3\\3k_3+b_3=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$k_3=-2$，
将$k_3=-2$代入$2k_3+b_3=3$，得：$-4+b_3=3$，解得$b_3=7$，
则$k_3+b_3=-2+7=5$。
比较三个值：$\frac{5}{3}＜\frac{5}{2}＜5$，故最大的值为5。
【答案】
5
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数系数计算，代数式比较大小
【点评】
本题核心考查一次函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤，计算过程中注意符号不要出错，属于对基础知识的灵活考查。
【难度系数】
0.7
12. ★★ 直线$y=kx-2k+3$恒过一定点，则该点的坐标是
$(2,3)$
；在平面直角坐标系中有三点$A(-1,0),B(2,3),C(5,0)$，若直线$y=kx-2k+3$将$△ ABC$分成左、右面积之比为$1:2$的两部分，则$k$的值是3
。答案
【点拨】因为$y=kx-2k+3=k(x-2)+3$，所以当x=2时，y=3。所以直线y=kx-2k+3恒过点(2,3)。因为直线y=kx-2k+3将△ABC分成左、右面积之比为1:2的两部分，所以易知直线y=kx-2k+3过点(1,0)。所以0=k-2k+3，解得k=3。
解析
【分析】
第一问求一次函数恒过的定点，对于含参数k的一次函数解析式，我们可以先分离参数k，找到使k的系数为0的x值，此时y的值不受k影响，即可得到定点坐标。第二问先明确直线恒过的定点恰好是△ABC的顶点B，直线将三角形分成左右两部分，两部分为同高的三角形，面积比等于底边长的比，结合AC的长度算出左侧三角形的底边长，得到直线与AC边的交点坐标，再代入解析式即可求出k值。
【解析】
1. 求直线恒过的定点：
将直线解析式变形为：$ y = k(x - 2) + 3 $
当$ x - 2 = 0 $即$ x = 2 $时，无论k取何值，$ y = 3 $，因此直线恒过定点$ (2,3) $。
2. 求k的值：
已知点A(-1,0)、C(5,0)都在x轴上，AC的长度为$ 5 - (-1) = 6 $。
由第一步可知直线恒过点B(2,3)，因此直线过顶点B，与边AC交于一点，将△ABC分为左右两个同高的三角形，两三角形面积比为1:2，则它们的底边长之比也为1:2。
左侧部分的底边长为$ 6 × \frac{1}{1+2} = 2 $，因此交点的横坐标为$ -1 + 2 = 1 $，即交点坐标为(1,0)。
将(1,0)代入直线解析式$ y = kx - 2k + 3 $得：
$ 0 = k × 1 - 2k + 3 $
解得：$ k = 3 $
【答案】
$(2,3)$；$3$
【知识点】
一次函数定点问题；三角形面积比例；待定系数法求参数
【点评】
本题综合考查一次函数的性质与三角形面积的应用，解题的突破口是先确定直线恒过三角形的顶点B，再利用同高三角形面积比等于底边长的比快速找到直线与AC的交点，是对基础知识点灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
第一问求一次函数恒过的定点，对于含参数k的一次函数解析式，我们可以先分离参数k，找到使k的系数为0的x值，此时y的值不受k影响，即可得到定点坐标。第二问先明确直线恒过的定点恰好是△ABC的顶点B，直线将三角形分成左右两部分，两部分为同高的三角形，面积比等于底边长的比，结合AC的长度算出左侧三角形的底边长，得到直线与AC边的交点坐标，再代入解析式即可求出k值。
【解析】
1. 求直线恒过的定点：
将直线解析式变形为：$ y = k(x - 2) + 3 $
当$ x - 2 = 0 $即$ x = 2 $时，无论k取何值，$ y = 3 $，因此直线恒过定点$ (2,3) $。
2. 求k的值：
已知点A(-1,0)、C(5,0)都在x轴上，AC的长度为$ 5 - (-1) = 6 $。
由第一步可知直线恒过点B(2,3)，因此直线过顶点B，与边AC交于一点，将△ABC分为左右两个同高的三角形，两三角形面积比为1:2，则它们的底边长之比也为1:2。
左侧部分的底边长为$ 6 × \frac{1}{1+2} = 2 $，因此交点的横坐标为$ -1 + 2 = 1 $，即交点坐标为(1,0)。
将(1,0)代入直线解析式$ y = kx - 2k + 3 $得：
$ 0 = k × 1 - 2k + 3 $
解得：$ k = 3 $
【答案】
$(2,3)$；$3$
【知识点】
一次函数定点问题；三角形面积比例；待定系数法求参数
【点评】
本题综合考查一次函数的性质与三角形面积的应用，解题的突破口是先确定直线恒过三角形的顶点B，再利用同高三角形面积比等于底边长的比快速找到直线与AC的交点，是对基础知识点灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
