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1. 若一个正比例函数的图象经过点$(4,-5)$，则这个图象一定也经过点 （
A.$(-5,4)$
B.$(\dfrac{4}{5},-1)$
C.$(-\dfrac{5}{4},1)$
D.$(5,-4)$
B
）A.$(-5,4)$
B.$(\dfrac{4}{5},-1)$
C.$(-\dfrac{5}{4},1)$
D.$(5,-4)$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx(k≠0)$，解题思路分为两步：第一步利用已知点用待定系数法求出比例系数$k$，得到具体的正比例函数解析式；第二步将各选项的横坐标代入解析式，计算出对应的纵坐标，与选项给出的纵坐标对比，一致的即为正确选项，也可通过判断点的横纵坐标的比值是否等于$k$来快速验证。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx(k≠0)$，
∵函数图象经过点$(4,-5)$，将$x=4,y=-5$代入解析式得：
$-5=4k$，解得$k=-\frac{5}{4}$，
∴该正比例函数的解析式为$y=-\frac{5}{4}x$。
接下来逐一验证选项：
A. 当$x=-5$时，$y=-\frac{5}{4}×(-5)=\frac{25}{4}≠4$，故该点不在函数图象上；
B. 当$x=\frac{4}{5}$时，$y=-\frac{5}{4}×\frac{4}{5}=-1$，与选项纵坐标一致，故该点在函数图象上；
C. 当$x=-\frac{5}{4}$时，$y=-\frac{5}{4}×(-\frac{5}{4})=\frac{25}{16}≠1$，故该点不在函数图象上；
D. 当$x=5$时，$y=-\frac{5}{4}×5=-\frac{25}{4}≠-4$，故该点不在函数图象上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质，待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查点是正比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，解题的关键是先通过已知点求出比例系数$k$，再逐一验证选项即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx(k≠0)$，解题思路分为两步：第一步利用已知点用待定系数法求出比例系数$k$，得到具体的正比例函数解析式；第二步将各选项的横坐标代入解析式，计算出对应的纵坐标，与选项给出的纵坐标对比，一致的即为正确选项，也可通过判断点的横纵坐标的比值是否等于$k$来快速验证。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx(k≠0)$，
∵函数图象经过点$(4,-5)$，将$x=4,y=-5$代入解析式得：
$-5=4k$，解得$k=-\frac{5}{4}$，
∴该正比例函数的解析式为$y=-\frac{5}{4}x$。
接下来逐一验证选项：
A. 当$x=-5$时，$y=-\frac{5}{4}×(-5)=\frac{25}{4}≠4$，故该点不在函数图象上；
B. 当$x=\frac{4}{5}$时，$y=-\frac{5}{4}×\frac{4}{5}=-1$，与选项纵坐标一致，故该点在函数图象上；
C. 当$x=-\frac{5}{4}$时，$y=-\frac{5}{4}×(-\frac{5}{4})=\frac{25}{16}≠1$，故该点不在函数图象上；
D. 当$x=5$时，$y=-\frac{5}{4}×5=-\frac{25}{4}≠-4$，故该点不在函数图象上。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质，待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查点是正比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，解题的关键是先通过已知点求出比例系数$k$，再逐一验证选项即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8
2. 若正比例函数 $ y = kx (k ≠ 0) $ 的图象经过点 $ A(m, n) (m ≠ 0) $，且 $ 3m + 2n = 0 $，则它的表达式为
$y=-\dfrac{3}{2}x$
。答案
2.$y=-\dfrac{3}{2}x$
解析
【分析】
要确定正比例函数的表达式，核心是求出比例系数$k$的值。首先根据“函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式”，将点$A(m,n)$代入$y=kx$，可得到$n=km$，结合$m≠0$的条件，变形可得$k=\frac{n}{m}$。再利用已知的$3m+2n=0$，通过等式变形求出$\frac{n}{m}$的数值，即可得到$k$的值，最终确定函数表达式。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过点$A(m,n)(m≠0)$
∴ 将$x=m$，$y=n$代入解析式，得：$n=km$
∵ $m≠0$，等式两边同时除以$m$，得：$k=\frac{n}{m}$
又
∵ $3m+2n=0$
移项得：$2n=-3m$
∵ $m≠0$，等式两边同时除以$2m$，得：$\frac{n}{m}=-\frac{3}{2}$
∴ $k=-\frac{3}{2}$
∴ 该正比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x$
【答案】
$y=-\dfrac{3}{2}x$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正比例函数解析式的求解方法，解题关键是掌握点在函数图象上时坐标与解析式的对应关系，结合已知等式变形求出比例系数即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
要确定正比例函数的表达式，核心是求出比例系数$k$的值。首先根据“函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式”，将点$A(m,n)$代入$y=kx$，可得到$n=km$，结合$m≠0$的条件，变形可得$k=\frac{n}{m}$。再利用已知的$3m+2n=0$，通过等式变形求出$\frac{n}{m}$的数值，即可得到$k$的值，最终确定函数表达式。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象经过点$A(m,n)(m≠0)$
∴ 将$x=m$，$y=n$代入解析式，得：$n=km$
∵ $m≠0$，等式两边同时除以$m$，得：$k=\frac{n}{m}$
又
∵ $3m+2n=0$
移项得：$2n=-3m$
∵ $m≠0$，等式两边同时除以$2m$，得：$\frac{n}{m}=-\frac{3}{2}$
∴ $k=-\frac{3}{2}$
∴ 该正比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x$
【答案】
$y=-\dfrac{3}{2}x$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数图象上点的坐标特征
3. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查正比例函数解析式的求解方法，解题关键是掌握点在函数图象上时坐标与解析式的对应关系，结合已知等式变形求出比例系数即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
3.若点$P(-2,4)$关于$y$轴的对称点在一次函数$y=x+b$的图象上，则$b$的值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-6$
D.$6$
答案
3.B
解析
【分析】
解题首先需要掌握关于y轴对称的点的坐标变化规律，先求出点P关于y轴的对称点坐标；再根据一次函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式的性质，把对称点坐标代入一次函数表达式，通过解方程就能求出b的值。
【解析】
1. 求点$P(-2,4)$关于y轴的对称点：
关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，因此该对称点的横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标为4，即对称点坐标为$(2,4)$。
2. 代入一次函数解析式求b：
因为点$(2,4)$在$y=x+b$的图象上，所以将$x=2$，$y=4$代入解析式得：
$4=2+b$
解得$b=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 一次函数图象上点的坐标性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，综合考查平面直角坐标系中点的对称规律和一次函数的基本性质，熟练掌握核心知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先需要掌握关于y轴对称的点的坐标变化规律，先求出点P关于y轴的对称点坐标；再根据一次函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式的性质，把对称点坐标代入一次函数表达式，通过解方程就能求出b的值。
【解析】
1. 求点$P(-2,4)$关于y轴的对称点：
关于y轴对称的点，纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，因此该对称点的横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标为4，即对称点坐标为$(2,4)$。
2. 代入一次函数解析式求b：
因为点$(2,4)$在$y=x+b$的图象上，所以将$x=2$，$y=4$代入解析式得：
$4=2+b$
解得$b=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 一次函数图象上点的坐标性质
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，综合考查平面直角坐标系中点的对称规律和一次函数的基本性质，熟练掌握核心知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若一次函数$y=kx+1$与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k为
$\pm \dfrac{1}{6}$
.答案
4.$\pm \dfrac{1}{6}$ 【点拨】当$x=0$时，$y=1$. 当$y=0$时，$kx+1=0$，所以$x=-\dfrac{1}{k}$. 所以一次函数$y=kx+1$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-\dfrac{1}{k},0)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$，所以$\dfrac{1}{2}×1×\left|-\dfrac{1}{k}\right|=3$，解得$k=\pm\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一次函数与两坐标轴交点的求法：求与y轴交点时令x=0计算对应y值，求与x轴交点时令y=0计算对应x值。一次函数和两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，距离为非负数，因此要对坐标取绝对值，再结合三角形面积公式列方程求解，注意绝对值方程通常有两个解，不要漏解。
【解析】
解：对于一次函数$y=kx+1$：
1. 求与y轴交点：令$x=0$，得$y=1$，即交点坐标为$(0,1)$；
2. 求与x轴交点：令$y=0$，得$kx+1=0$，解得$x=-\dfrac{1}{k}$，即交点坐标为$(-\dfrac{1}{k},0)$；
3. 列面积方程：围成的直角三角形两条直角边长分别为1和$\left|-\dfrac{1}{k}\right|$，根据三角形面积公式得：
$\dfrac{1}{2} × 1 × \left|-\dfrac{1}{k}\right| = 3$
化简得$\left|\dfrac{1}{k}\right|=6$，即$\dfrac{1}{k}=6$或$\dfrac{1}{k}=-6$，解得$k=\dfrac{1}{6}$或$k=-\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\pm \dfrac{1}{6}$
【知识点】
一次函数交点求法，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题的易错点是计算x轴交点到原点的距离时忽略加绝对值，导致只求出k的正值解，漏掉负值解，解题时要注意距离的非负性，避免漏解。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，首先需明确一次函数与两坐标轴交点的求法：求与y轴交点时令x=0计算对应y值，求与x轴交点时令y=0计算对应x值。一次函数和两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长度就是两个交点到原点的距离，距离为非负数，因此要对坐标取绝对值，再结合三角形面积公式列方程求解，注意绝对值方程通常有两个解，不要漏解。
【解析】
解：对于一次函数$y=kx+1$：
1. 求与y轴交点：令$x=0$，得$y=1$，即交点坐标为$(0,1)$；
2. 求与x轴交点：令$y=0$，得$kx+1=0$，解得$x=-\dfrac{1}{k}$，即交点坐标为$(-\dfrac{1}{k},0)$；
3. 列面积方程：围成的直角三角形两条直角边长分别为1和$\left|-\dfrac{1}{k}\right|$，根据三角形面积公式得：
$\dfrac{1}{2} × 1 × \left|-\dfrac{1}{k}\right| = 3$
化简得$\left|\dfrac{1}{k}\right|=6$，即$\dfrac{1}{k}=6$或$\dfrac{1}{k}=-6$，解得$k=\dfrac{1}{6}$或$k=-\dfrac{1}{6}$。
【答案】
$\pm \dfrac{1}{6}$
【知识点】
一次函数交点求法，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题的易错点是计算x轴交点到原点的距离时忽略加绝对值，导致只求出k的正值解，漏掉负值解，解题时要注意距离的非负性，避免漏解。
【难度系数】
0.65
5.如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数$y=\frac{3}{2}x+1$的图象上，若点C的坐标为(2,-2)，则直线CD的函数表达式为
$y=\dfrac{3}{2}x-5$
.答案
5.$y=\dfrac{3}{2}x-5$ 【点拨】因为四边形ABCD为平行四边形，所以$AB// CD$. 又因为直线AB的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x+1$，所以设直线CD的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x+b$，把$C(2,-2)$的坐标代入，得$-2=\dfrac{3}{2}×2+b$，解得$b=-5$. 所以直线CD的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x-5$.
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质，平行四边形对边平行，可得AB与CD平行；再根据一次函数的性质，两条互相平行的一次函数图象的一次项系数k相等，即可确定直线CD的k值与直线AB的k值相同，都为$\frac{3}{2}$；最后已知直线CD经过点C(2,-2)，使用待定系数法，设出CD的函数表达式，代入点C的坐标求出常数项b，就能得到直线CD的函数表达式。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，
∵直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+1$，互相平行的一次函数图象的一次项系数相等，
∴设直线CD的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+b$，
将点$C(2,-2)$代入上述表达式得：
$-2=\frac{3}{2}×2 + b$，
计算得$-2=3+b$，
解得$b=-5$，
∴直线CD的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x-5$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x-5$
【知识点】
平行四边形的性质；一次函数图象平行的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数与几何图形的基础综合题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质，结合平行直线的一次项系数相等的特点快速确定待求函数的一次项系数，再通过待定系数法求解即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行四边形的性质，平行四边形对边平行，可得AB与CD平行；再根据一次函数的性质，两条互相平行的一次函数图象的一次项系数k相等，即可确定直线CD的k值与直线AB的k值相同，都为$\frac{3}{2}$；最后已知直线CD经过点C(2,-2)，使用待定系数法，设出CD的函数表达式，代入点C的坐标求出常数项b，就能得到直线CD的函数表达式。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，
∵直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+1$，互相平行的一次函数图象的一次项系数相等，
∴设直线CD的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+b$，
将点$C(2,-2)$代入上述表达式得：
$-2=\frac{3}{2}×2 + b$，
计算得$-2=3+b$，
解得$b=-5$，
∴直线CD的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x-5$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x-5$
【知识点】
平行四边形的性质；一次函数图象平行的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数与几何图形的基础综合题，解题核心是利用平行四边形对边平行的性质，结合平行直线的一次项系数相等的特点快速确定待求函数的一次项系数，再通过待定系数法求解即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
6.已知直线$ l $与$ y $轴负半轴交于点$ A $，且$ OA=8 $，点$ B(1,-5) $在直线$ l $上.
(1)求直线$ l $所对应的函数表达式；
(2)若点$ P(m,n) $在直线$ l $上，求代数式$(n-3)(m+1)-mn$的值.
(1)求直线$ l $所对应的函数表达式；
(2)若点$ P(m,n) $在直线$ l $上，求代数式$(n-3)(m+1)-mn$的值.
答案
6.【解】(1)设直线$l$所对应的函数表达式为$y=kx+b$，根据题意，可得$b=-8$.
因为点$B(1,-5)$在直线$l$上，所以$k-8=-5$，解得$k=3$.
所以直线$l$所对应的函数表达式为$y=3x-8$.
(2)把点$P(m,n)$的坐标代入$y=3x-8$，得$n=3m-8$，所以$n-3m=-8$. 所以$(n-3)(m+1)-mn=mn+n-3m-3-mn=n-3m-3=-8-3=-11$.
因为点$B(1,-5)$在直线$l$上，所以$k-8=-5$，解得$k=3$.
所以直线$l$所对应的函数表达式为$y=3x-8$.
(2)把点$P(m,n)$的坐标代入$y=3x-8$，得$n=3m-8$，所以$n-3m=-8$. 所以$(n-3)(m+1)-mn=mn+n-3m-3-mn=n-3m-3=-8-3=-11$.
解析
【分析】
(1)求一次函数的表达式通常使用待定系数法，需要确定表达式$y=kx+b$中的$k$和$b$两个参数。已知直线$l$与$y$轴负半轴交于$A$，$OA=8$，可得交点$A$的坐标为$(0,-8)$，即解析式中的常数项$b=-8$；再将点$B$的坐标代入解析式，即可求出$k$的值，得到直线$l$的函数表达式。
(2)点$P(m,n)$在直线$l$上，因此其坐标满足直线的函数表达式，可得到$m$与$n$的数量关系；将所求代数式展开、合并同类项后，即可把得到的$m$、$n$的数量关系整体代入计算，无需单独求解$m$、$n$的值，简化计算过程。
【解析】
(1)设直线$l$所对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$）。
∵直线$l$与$y$轴负半轴交于点$A$，$OA=8$，
∴当$x=0$时，$y=-8$，即$b=-8$。
∵点$B(1,-5)$在直线$l$上，将$x=1$，$y=-5$代入解析式得：$k-8=-5$，解得$k=3$。
∴直线$l$所对应的函数表达式为$y=3x-8$。
(2)
∵点$P(m,n)$在直线$l$上，将$x=m$，$y=n$代入$y=3x-8$得：$n=3m-8$，整理得$n-3m=-8$。
化简代数式：
$(n-3)(m+1)-mn=mn+n-3m-3-mn=n-3m-3$
将$n-3m=-8$代入上式得：原式$=-8-3=-11$。
【答案】
(1)$y=3x-8$；(2)$-11$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；整式化简求值
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，第一问考查待定系数法的常规使用，需要先根据几何条件确定函数与$y$轴的交点坐标，第二问运用整体代入的思想解题，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考查学生对一次函数性质和整式运算的掌握情况。
【难度系数】
0.8
(1)求一次函数的表达式通常使用待定系数法，需要确定表达式$y=kx+b$中的$k$和$b$两个参数。已知直线$l$与$y$轴负半轴交于$A$，$OA=8$，可得交点$A$的坐标为$(0,-8)$，即解析式中的常数项$b=-8$；再将点$B$的坐标代入解析式，即可求出$k$的值，得到直线$l$的函数表达式。
(2)点$P(m,n)$在直线$l$上，因此其坐标满足直线的函数表达式，可得到$m$与$n$的数量关系；将所求代数式展开、合并同类项后，即可把得到的$m$、$n$的数量关系整体代入计算，无需单独求解$m$、$n$的值，简化计算过程。
【解析】
(1)设直线$l$所对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$）。
∵直线$l$与$y$轴负半轴交于点$A$，$OA=8$，
∴当$x=0$时，$y=-8$，即$b=-8$。
∵点$B(1,-5)$在直线$l$上，将$x=1$，$y=-5$代入解析式得：$k-8=-5$，解得$k=3$。
∴直线$l$所对应的函数表达式为$y=3x-8$。
(2)
∵点$P(m,n)$在直线$l$上，将$x=m$，$y=n$代入$y=3x-8$得：$n=3m-8$，整理得$n-3m=-8$。
化简代数式：
$(n-3)(m+1)-mn=mn+n-3m-3-mn=n-3m-3$
将$n-3m=-8$代入上式得：原式$=-8-3=-11$。
【答案】
(1)$y=3x-8$；(2)$-11$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；整式化简求值
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，第一问考查待定系数法的常规使用，需要先根据几何条件确定函数与$y$轴的交点坐标，第二问运用整体代入的思想解题，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考查学生对一次函数性质和整式运算的掌握情况。
【难度系数】
0.8
7.[2025 苏州] 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度$v(\mathrm{m/s})$与温度$t(°\mathrm{C})$部分对应数值如下表：
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b(a,b$为常数，且$a≠0)$.当温度$t$为$15°\mathrm{C}$时，声音传播的速度$v$为（
A.$333\ \mathrm{m/s}$
B.$339\ \mathrm{m/s}$
C.$341\ \mathrm{m/s}$
D.$342\ \mathrm{m/s}$
研究发现$v,t$满足公式$v=at+b(a,b$为常数，且$a≠0)$.当温度$t$为$15°\mathrm{C}$时，声音传播的速度$v$为（
B
）A.$333\ \mathrm{m/s}$
B.$339\ \mathrm{m/s}$
C.$341\ \mathrm{m/s}$
D.$342\ \mathrm{m/s}$
答案
7.B 【点拨】因为$v,t$满足公式$v=at+b$，所以由题中表格数据可得$10a+b=336$，$b=330$，所以$a=0.6$，所以$v=0.6t+330$. 当温度$t$为$15\ °\mathrm{C}$时，$v=0.6×15+330=339(\mathrm{m/s})$.
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先已知v与t满足一次函数关系$v=at+b$，要求$t=15℃$时的v值，需要先求出a、b的值确定函数解析式。我们可以从表格中选取两组方便计算的t、v对应值，代入函数式得到关于a、b的方程，解出a、b后得到完整的函数表达式，最后将$t=15$代入表达式计算即可得到对应的v值。
【解析】
已知v与t的函数关系为$v=at+b$，从表格中选取两组对应值计算：
1. 求常数b：当$t=0℃$时，$v=330m/s$，代入$v=at+b$可得：
$0× a + b = 330$，解得$b=330$。
2. 求常数a：选取$t=10℃$时，$v=336m/s$，将$b=330$代入$v=at+b$得：
$10a + 330 = 336$，解得$a=0.6$。
3. 得到函数表达式：$v=0.6t + 330$。
4. 代入$t=15℃$计算v：
$v=0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(m/s)$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合声速与温度的物理现象考查一次函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，再代入数值求解，题目将数学知识与生活实际结合，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：首先已知v与t满足一次函数关系$v=at+b$，要求$t=15℃$时的v值，需要先求出a、b的值确定函数解析式。我们可以从表格中选取两组方便计算的t、v对应值，代入函数式得到关于a、b的方程，解出a、b后得到完整的函数表达式，最后将$t=15$代入表达式计算即可得到对应的v值。
【解析】
已知v与t的函数关系为$v=at+b$，从表格中选取两组对应值计算：
1. 求常数b：当$t=0℃$时，$v=330m/s$，代入$v=at+b$可得：
$0× a + b = 330$，解得$b=330$。
2. 求常数a：选取$t=10℃$时，$v=336m/s$，将$b=330$代入$v=at+b$得：
$10a + 330 = 336$，解得$a=0.6$。
3. 得到函数表达式：$v=0.6t + 330$。
4. 代入$t=15℃$计算v：
$v=0.6×15 + 330 = 9 + 330 = 339(m/s)$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合声速与温度的物理现象考查一次函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，再代入数值求解，题目将数学知识与生活实际结合，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
8. [2026青岛期中] 为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用. 经调查，某公司有A,B两种健身器材可供选择，每套A型健身器材售价为1.7万元，每套B型健身器材售价为2万元. 经协商，该公司承诺：每套A型健身器材在售价的基础上减免0.3万元；每套B型健身器材在售价的基础上打七五折. 学校想购进A,B两种健身器材共80套，若A型健身器材购买x套，共花费y元.
(1)y与x的函数关系式为
(2)若购买A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？
(1)y与x的函数关系式为
$y=-0.1x+120$
.(2)若购买A型健身器材的数量不超过53套，学校应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？
答案
8.【解】(1)$y=-0.1x+120$ 【点拨】由题意知，A型健身器材购买$x$套，则B型健身器材购买$(80-x)$套. 所以$y=(1.7-0.3)x+2×0.75×(80-x)=-0.1x+120$. 所以$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.1x+120$.
(2)由(1)得总费用$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.1x+120$，所以$y$随$x$的增大而减小. 所以$x$最大时，$y$最小，即总费用最少.
因为购买A型健身器材的数量不超过53套，即$x≤53$，所以当$x=53$时，$y$最小，总费用最少为$-0.1×53+120=114.7$(万元)，此时$80-x=27$.
因此，学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，总费用最少，最少费用为114.7万元.
(2)由(1)得总费用$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.1x+120$，所以$y$随$x$的增大而减小. 所以$x$最大时，$y$最小，即总费用最少.
因为购买A型健身器材的数量不超过53套，即$x≤53$，所以当$x=53$时，$y$最小，总费用最少为$-0.1×53+120=114.7$(万元)，此时$80-x=27$.
因此，学校应购买A型健身器材53套，B型健身器材27套，总费用最少，最少费用为114.7万元.
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数关系式，核心逻辑是总费用=A型器材总花费+B型器材总花费。首先明确两类器材的实际单价和购买数量：A型器材实际单价为(1.7-0.3)万元/套，购买x套；B型器材实际单价为2×0.75万元/套，购买(80-x)套，代入总费用公式化简即可得到函数式。
(2) 求总费用最少的方案，首先分析一次函数的增减性：该函数一次项系数为负，y随x的增大而减小，因此要让总费用最小，需要x取允许范围内的最大值。结合A型购买数量不超过53套的限制，确定x的最大值后代入函数即可算出最小费用，再求出对应B型器材的数量即可。
【解析】
(1) 由题意得，A型健身器材购买x套，则B型健身器材购买(80-x)套。
A型器材每套实际费用：$1.7-0.3=1.4$（万元）
B型器材每套实际费用：$2×0.75=1.5$（万元）
总费用$y=1.4x + 1.5(80-x)$
化简得：$y=1.4x + 120 - 1.5x=-0.1x + 120$
即y与x的函数关系式为$y=-0.1x+120$。
(2) 由(1)得函数关系式为$y=-0.1x+120$，其中一次项系数$k=-0.1＜0$，因此y随x的增大而减小，当x取最大值时，总费用y最小。
已知A型健身器材购买数量不超过53套，即$x≤53$，因此当$x=53$时，y取得最小值。
最小费用为：$y=-0.1×53 + 120=114.7$（万元）
此时B型健身器材购买数量为：$80-53=27$（套）
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-0.1x+120}$
(2) 购买A型健身器材53套，B型健身器材27套时总费用最少，最少费用为114.7万元。
【知识点】
一次函数解析式确定，一次函数的性质，方案优化问题
【点评】
本题结合实际采购场景命题，是一次函数实际应用的典型题型，解题核心是先梳理数量关系正确列出函数式，再结合一次函数增减性和自变量取值范围求解最值，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数关系式，核心逻辑是总费用=A型器材总花费+B型器材总花费。首先明确两类器材的实际单价和购买数量：A型器材实际单价为(1.7-0.3)万元/套，购买x套；B型器材实际单价为2×0.75万元/套，购买(80-x)套，代入总费用公式化简即可得到函数式。
(2) 求总费用最少的方案，首先分析一次函数的增减性：该函数一次项系数为负，y随x的增大而减小，因此要让总费用最小，需要x取允许范围内的最大值。结合A型购买数量不超过53套的限制，确定x的最大值后代入函数即可算出最小费用，再求出对应B型器材的数量即可。
【解析】
(1) 由题意得，A型健身器材购买x套，则B型健身器材购买(80-x)套。
A型器材每套实际费用：$1.7-0.3=1.4$（万元）
B型器材每套实际费用：$2×0.75=1.5$（万元）
总费用$y=1.4x + 1.5(80-x)$
化简得：$y=1.4x + 120 - 1.5x=-0.1x + 120$
即y与x的函数关系式为$y=-0.1x+120$。
(2) 由(1)得函数关系式为$y=-0.1x+120$，其中一次项系数$k=-0.1＜0$，因此y随x的增大而减小，当x取最大值时，总费用y最小。
已知A型健身器材购买数量不超过53套，即$x≤53$，因此当$x=53$时，y取得最小值。
最小费用为：$y=-0.1×53 + 120=114.7$（万元）
此时B型健身器材购买数量为：$80-53=27$（套）
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-0.1x+120}$
(2) 购买A型健身器材53套，B型健身器材27套时总费用最少，最少费用为114.7万元。
【知识点】
一次函数解析式确定，一次函数的性质，方案优化问题
【点评】
本题结合实际采购场景命题，是一次函数实际应用的典型题型，解题核心是先梳理数量关系正确列出函数式，再结合一次函数增减性和自变量取值范围求解最值，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
9. 如图，四边形AOCB是长方形，B(9,3)，将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的函数表达式为（
A.$y=\dfrac{4}{5}x$
B.$y=\dfrac{5}{4}x$
C.$y=\dfrac{3}{4}x$
D.$y=\dfrac{4}{3}x$
C
）A.$y=\dfrac{4}{5}x$
B.$y=\dfrac{5}{4}x$
C.$y=\dfrac{3}{4}x$
D.$y=\dfrac{4}{3}x$
答案
9.C 【点拨】因为四边形AOCB是长方形，$B(9,3)$，所以$∠ OCE=∠ OAB=90°$，$AB=OC=3$，$BC=9$. 由折叠可得$BD=AB$，$∠ D=∠ OAB$，所以$OC=BD$，$∠ OCE=∠ D$. 又因为$∠ OEC=∠ BED$，所以$△ OCE≌△ BDE$，所以$OE=BE$. 设点$E$的坐标为$(m,3)$，则$OE=BE=9-m$，$CE=m$. 在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=3$，$CE=m$，$OE=9-m$，所以$(9-m)^2=3^2+m^2$，所以$m=4$，所以点$E$的坐标为$(4,3)$. 设OD所在直线的函数表达式为$y=kx$，将点$E(4,3)$的坐标代入$y=kx$，得$3=4k$，解得$k=\dfrac{3}{4}$，所以OD所在直线的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x$.
点方法 本题考查了求一次函数表达式，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键.
点方法 本题考查了求一次函数表达式，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键.
解析
【分析】
要确定OD所在直线的函数表达式，首先观察到OD过原点，因此解析式为正比例函数形式$y=kx$，只需求出OD上任意一个非原点的点坐标即可求出$k$。观察图形可知OD与BC边交于点E，由于四边形AOCB是长方形，BC平行于x轴，B点纵坐标为3，因此E点纵坐标固定为3，只需算出E点的横坐标即可。接下来利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，通过证明三角形全等得到$OE=BE$，设E点横坐标为$m$，结合线段长度关系用勾股定理列方程求解$m$，得到E点坐标后代入正比例函数解析式即可求出$k$，得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵四边形AOCB是长方形，$B(9,3)$，
∴$∠ OCE=∠ OAB=90°$，$AB=OC=3$，$BC=OA=9$，$BC// x$轴，
由折叠的性质可得：$∠ D=∠ OAB=90°$，$BD=AB$，
∴$OC=BD$，$∠ OCE=∠ D$，
在$△ OCE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ OCE=∠ D\\∠ OEC=∠ BED\\OC=BD\end{cases}$
∴$△ OCE≌△ BDE(\mathrm{AAS})$，
∴$OE=BE$，
设点E的坐标为$(m,3)$，则$CE=m$，$BE=9-m$，
∴$OE=9-m$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2+CE^2=OE^2$，
即$3^2+m^2=(9-m)^2$，
展开整理得$18m=72$，解得$m=4$，
∴E点坐标为$(4,3)$，
设OD所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，
将$E(4,3)$代入得$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$，
∴OD所在直线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了长方形性质、折叠变换的特点、全等三角形判定与性质以及一次函数的应用，解题核心是通过几何关系推导得到直线上已知点的坐标，体现了数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
要确定OD所在直线的函数表达式，首先观察到OD过原点，因此解析式为正比例函数形式$y=kx$，只需求出OD上任意一个非原点的点坐标即可求出$k$。观察图形可知OD与BC边交于点E，由于四边形AOCB是长方形，BC平行于x轴，B点纵坐标为3，因此E点纵坐标固定为3，只需算出E点的横坐标即可。接下来利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，通过证明三角形全等得到$OE=BE$，设E点横坐标为$m$，结合线段长度关系用勾股定理列方程求解$m$，得到E点坐标后代入正比例函数解析式即可求出$k$，得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵四边形AOCB是长方形，$B(9,3)$，
∴$∠ OCE=∠ OAB=90°$，$AB=OC=3$，$BC=OA=9$，$BC// x$轴，
由折叠的性质可得：$∠ D=∠ OAB=90°$，$BD=AB$，
∴$OC=BD$，$∠ OCE=∠ D$，
在$△ OCE$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ OCE=∠ D\\∠ OEC=∠ BED\\OC=BD\end{cases}$
∴$△ OCE≌△ BDE(\mathrm{AAS})$，
∴$OE=BE$，
设点E的坐标为$(m,3)$，则$CE=m$，$BE=9-m$，
∴$OE=9-m$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得$OC^2+CE^2=OE^2$，
即$3^2+m^2=(9-m)^2$，
展开整理得$18m=72$，解得$m=4$，
∴E点坐标为$(4,3)$，
设OD所在直线的函数表达式为$y=kx(k≠0)$，
将$E(4,3)$代入得$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$，
∴OD所在直线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了长方形性质、折叠变换的特点、全等三角形判定与性质以及一次函数的应用，解题核心是通过几何关系推导得到直线上已知点的坐标，体现了数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
