10. 新考法 构造全等三角形法 如图，一次函数的图象交x轴于点A(4,0)，交y轴于点B(0,3)，过点A作AC⊥AB，且AC=AB。连接BC，当点C在第一象限时，直线BC的表达式为。

10.$y=\dfrac{1}{7}x+3$ 【点拨】过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$，则$∠ AOB=∠ ADC=90°$. 因为$A(4,0)$，$B(0,3)$，所以$OA=4$，$OB=3$. 因为$AC⊥ AB$，所以易知$∠ OAB+∠ CAD=90°$. 又因为$∠ OAB+∠ OBA=90°$，所以$∠ OBA=∠ CAD$. 又因为$AB=CA$，所以$△ OAB≌△ DCA$. 所以$OB=AD$，$OA=CD$. 所以$AD=3$，$CD=4$. 所以$OD=4+3=7$. 所以$C(7,4)$. 设直线BC的表达式为$y=kx+b$，分别将点$B(0,3)$，$C(7,4)$的坐标代入$y=kx+b$，得$b=3$，$7k+b=4$，所以$k=\dfrac{1}{7}$，所以直线BC的表达式为$y=\dfrac{1}{7}x+3$.

【分析】
要确定直线BC的表达式，已知点B的坐标，核心是先求出点C的坐标。已知AC⊥AB且AC=AB，这类等线段加垂直的条件可通过构造全等三角形求解：过点C作x轴的垂线CD，利用同角的余角相等可证明△OAB与△DCA全等，再根据全等三角形对应边相等计算出点C的横、纵坐标，最后代入B、C两点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的表达式。
【解析】
解：过点C作$CD⊥x$轴于点D，则$∠ AOB=∠ ADC=90°$。
$\because A(4,0)$，$B(0,3)$，$\therefore OA=4$，$OB=3$。
$\because AC⊥AB$，$\therefore ∠ BAC=90°$，即$∠ OAB+∠ CAD=90°$。
又$\because$在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB+∠ OBA=90°$，
$\therefore ∠ OBA=∠ CAD$。
在$△ OAB$和$△ DCA$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CDA \\∠ OBA=∠ DAC \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ OAB≌△ DCA(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OB=AD=3$，$OA=CD=4$。
$\therefore OD=OA+AD=4+3=7$，
$\because$点C在第一象限，$\therefore C(7,4)$。
设直线BC的表达式为$y=kx+b$，
将$B(0,3)$代入得$b=3$，
将$C(7,4)$代入$y=kx+3$得$7k+3=4$，解得$k=\dfrac{1}{7}$，
$\therefore$直线BC的表达式为$y=\dfrac{1}{7}x+3$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{7}x+3$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数表达式；余角的性质
【点评】
本题是一次函数与三角形全等结合的典型题型，解题关键是利用“一线三垂直”模型构造全等三角形求出未知点坐标，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了待定系数法的计算应用，能够很好地检验学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6

11. 在平面直角坐标系中，已知$A(2,3),B(0,2)$，在$x$轴上找一点$C$，使得$|AC-BC|$的值最大，则此时点$C$的坐标为。

11.$(-4,0)$ 【点拨】如图所示，连接AB并延长交$x$轴于点$C$，此时$|AC-BC|$的值最大，$|AC-BC|=AB$，设直线AB的表达式为$y=kx+b$，将点$A(2,3)$，$B(0,2)$的坐标代入，得$2k+b=3$，$b=2$，所以$k=\dfrac{1}{2}$. 故直线AB的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$. 令$y=0$，则$\dfrac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，故点$C$的坐标为$(-4,0)$.

【分析】
要解决|AC-BC|最大值的问题，首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边。若点C不在直线AB上，A、B、C三点构成三角形，此时|AC-BC|＜AB；当点C在直线AB与x轴的交点处时，A、B、C三点共线，此时|AC-BC|=AB，为最大值。因此解题步骤为：第一步求直线AB的函数表达式，第二步求直线AB与x轴的交点坐标，即为所求点C的坐标。
【解析】
1. 确定使|AC-BC|最大的点C的位置：连接AB并延长交x轴于点C，此时|AC-BC|=AB，取得最大值。
2. 求直线AB的表达式：设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(2,3)$、$B(0,2)$代入解析式：
把$B(0,2)$代入得$b=2$，
把$A(2,3)$和$b=2$代入得$2k+2=3$，解得$k=\frac{1}{2}$，
因此直线AB的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
3. 求直线AB与x轴的交点C的坐标：x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则$\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，即点C坐标为$(-4,0)$。
【答案】
$(-4,0)$
【知识点】
1. 一次函数表达式求解
2. 三角形三边关系
3. 线段差最值问题
【点评】
本题是一次函数与几何最值的结合类题型，解题的核心是利用三角形三边关系判断出三点共线时线段差的绝对值最大，再结合一次函数的性质求解交点坐标，是几何最值与函数结合的典型考法。
【难度系数】
0.6

12. ★★ 如图，平面直角坐标系中，直线AB:$y=kx+b$交y轴于点$A(0,3)$，交x轴于点$B(6,0)$，直线$x=2$交AB于点D.若点P的坐标为$(2,-4)$，连接AP，BP，则$△ ABP$的面积是.

12.18 【点拨】把$A(0,3)$，$B(6,0)$的坐标代入$y=kx+b$，得$b=3$，$6k+b=0$，所以$k=-\dfrac{1}{2}$，所以直线AB的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$. 因为点$D$在直线AB上，且点$D$的横坐标为2，所以把$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，得$y=2$，所以$D(2,2)$. 因为$P(2,-4)$，所以$PD=2-(-4)=6$，所以$S_{△ PAB}=S_{△ PDA}+S_{△ PDB}=\dfrac{1}{2}× PD×(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×6×6=18$.

【分析】
要计算△ABP的面积，观察到点P在竖直线x=2上，可通过割补法简化计算：首先用待定系数法求出直线AB的解析式，找到直线AB与x=2的交点D，以PD为公共底，将△ABP拆分为△APD和△BPD两个同底的三角形，两个三角形的高之和为A、B两点的水平距离，分别计算两个小三角形面积再求和即可得到结果。
【解析】
1. 求直线AB的表达式：
将A(0,3)、B(6,0)代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} b=3 \\ 6k+b=0 \end{cases}$
把$b=3$代入$6k+b=0$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，因此直线AB的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
2. 求交点D的坐标：
点D在直线AB上且横坐标为2，将$x=2$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，得$y=-\dfrac{1}{2}×2+3=2$，即$D(2,2)$。
3. 计算PD的长度：
已知$P(2,-4)$，D、P横坐标相同，因此$PD=2-(-4)=6$。
4. 计算△ABP的面积：
△APD的高为点A到直线x=2的水平距离2，△BPD的高为点B到直线x=2的水平距离4，两者之和为6：
$S_{△ ABP}=S_{△ PDA}+S_{△ PDB}=\dfrac{1}{2}× PD×2+\dfrac{1}{2}× PD×4=\dfrac{1}{2}×6×6=18$
【答案】
18
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是利用割补法将不易直接计算的三角形拆分为同底的两个小三角形，降低计算难度，熟练掌握一次函数解析式的求法是解题的前提。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=kx+b$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A(-1,0),B(0,2)$,过点$C(2,0)$作$x$轴的垂线,与直线$AB$交于点$D$.
(1)求直线$AB$的表达式及点$D$的坐标;
(2)点$E$是线段$CD$上一动点,直线$BE$与$x$轴交于点$F$.若$△ BDF$的面积为$8$,求点$F$的坐标.

13.【解】(1)因为点$A(-1,0)$，$B(0,2)$，所以直线AB的表达式为$y=2x+2$. 因为$CD⊥ x$轴，$C(2,0)$，所以点$D$的横坐标为2. 将$x=2$代入$y=2x+2$，得$y=6$. 所以点$D$的坐标为$(2,6)$.
(2)设$F(m,0)$，分情况讨论：
①如图①，当点$F$在点$C$右侧时，因为点$D(2,6)$，$A(-1,0)$，$B(0,2)$，$DC⊥ x$轴，所以$S_{△ ADF}=\dfrac{1}{2}AF· DC=\dfrac{1}{2}(m+1)×6=3(m+1)$，$S_{△ ABF}=\dfrac{1}{2}AF· OB=\dfrac{1}{2}(m+1)×2=m+1$. 因为$S_{△ BDF}=8$，$S_{△ ADF}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}$，所以$3(m+1)=m+1+8$，所以$m=3$. 所以$F(3,0)$.
②如图②，当点$F$在点$C$左侧时，因为点$A(-1,0)$，$B(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,6)$，所以$S_{△ ADF}=\dfrac{1}{2}AF× CD=\dfrac{1}{2}(-1-m)×6=-3-3m$，$S_{△ ABF}=\dfrac{1}{2}AF× OB=\dfrac{1}{2}(-1-m)×2=-1-m$. 因为$S_{△ BDF}=S_{△ ADF}-S_{△ ABF}=8$，所以$-3-3m-(-1-m)=8$，解得$m=-5$，所以$F(-5,0)$.
综上所述，点$F$的坐标为$(-5,0)$或$(3,0)$.

【分析】
(1) 求直线AB的表达式可使用待定系数法：已知直线过A(-1,0)、B(0,2)两点，将两点坐标代入一次函数通式$y=kx+b$，解出$k$、$b$的值即可得到解析式；点D是直线AB与过C点的x轴垂线的交点，因此D点横坐标与C点相同为2，将$x=2$代入直线AB的解析式即可求出D点纵坐标，得到D点坐标。
(2) 点F在x轴上，可设其坐标为$(m,0)$，由于F的位置不确定，需分两种情况讨论：①F在C点右侧，此时$△ ADF$的面积等于$△ ABF$与$△ BDF$的面积之和，据此列方程求解$m$；②F在A点左侧，此时$△ BDF$的面积等于$△ ADF$与$△ ABF$的面积之差，据此列方程求解$m$，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(0,2)$代入$y=kx+b$，可得：
$\begin{cases}0=-k+b\\b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=2\end{cases}$，因此直线AB的表达式为$y=2x+2$。
因为$CD⊥ x$轴，点C坐标为$(2,0)$，所以点D的横坐标为2，将$x=2$代入$y=2x+2$，得$y=2×2+2=6$，因此点D的坐标为$(2,6)$。
(2) 设点F的坐标为$(m,0)$，分两种情况讨论：
① 当点F在点C右侧时，如图①：
AF的长度为$m-(-1)=m+1$，$CD=6$，$OB=2$。
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AF· CD=\frac{1}{2}(m+1)×6=3(m+1)$
$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}· AF· OB=\frac{1}{2}(m+1)×2=m+1$
由$S_{△ ADF}=S_{△ ABF}+S_{△ BDF}$，且$S_{△ BDF}=8$，可得：
$3(m+1)=m+1+8$
解得$m=3$，即F点坐标为$(3,0)$。
② 当点F在点C左侧时，如图②：
AF的长度为$-1-m$，
$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AF· CD=\frac{1}{2}(-1-m)×6=-3-3m$
$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}· AF· OB=\frac{1}{2}(-1-m)×2=-1-m$
由$S_{△ BDF}=S_{△ ADF}-S_{△ ABF}=8$，可得：
$-3-3m-(-1-m)=8$
解得$m=-5$，即F点坐标为$(-5,0)$。
综上，点F的坐标为$(-5,0)$或$(3,0)$。
【答案】
(1) 直线AB的表达式为$\boldsymbol{y=2x+2}$，点D的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$；
(2) 点F的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$或$\boldsymbol{(3,0)}$。

【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数点坐标计算，坐标系面积计算
【点评】
本题将一次函数与几何面积问题结合，既考查了一次函数的基础求解方法，又需要运用分类讨论思想分析动点的不同位置，能有效提升学生数形结合、全面分析问题的能力。
【难度系数】
0.6

14. 新题型新定义题【了解概念】
将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴、y轴垂直的直线，叫作该定点的“友好线”.若点$P(1,0)$，则点$P$的“友好线”可记为$y=k(x-1)$.
【理解运用】
(1)已知点$A$的“友好线”可记为$y=kx-3k+\sqrt{3}$，则点$A$的坐标为；
(2)若点$B(3,2)$的“友好线”恰好经过点$(1,1)$，求该“友好线”的表达式；
【拓展提升】
(3)已知点$M$在点$Q$的“友好线”$y=k(x+2)-1$上，点$N$在直线$y=-\frac{1}{3}x+2$上，若$M(a,m)$，$N(a,n)$，且当$-3≤ a≤3$时，$m≤ n$，请确定$k$的取值范围.

14.【解】(1)$(3,\sqrt{3})$
(2)由题意可得点$B$的“友好线”的表达式为$y=k(x-3)+2$，将点$(1,1)$的坐标代入$y=k(x-3)+2$，得$1=-2k+2$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，所以该“友好线”的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-3)+2$.
(3)把$x=-3$代入$y=-\dfrac{1}{3}x+2$，得$y=3$，把$x=3$代入$y=-\dfrac{1}{3}x+2$，得$y=1$，所以直线$y=-\dfrac{1}{3}x+2$经过点$(-3,3)$，$(3,1)$. 把$(-3,3)$代入$y=k(x+2)-1$，得$-k-1=3$，解得$k=-4$，把$(3,1)$代入$y=k(x+2)-1$，得$5k-1=1$，解得$k=\dfrac{2}{5}$. 因为直线$y=k(x+2)-1$经过定点$(-2,-1)$，所以$k=-4$时，图象如图①所示；$k=\dfrac{2}{5}$时，图象如图②所示. 所以由题意得$k$的取值范围为$-4≤ k＜0$或$0＜k≤\dfrac{2}{5}$.

【分析】
(1) 根据“友好线”的定义，“友好线”表达式可整理为$y=k(x-x_0)+y_0$的形式，其中$(x_0,y_0)$为定点坐标，我们将给出的式子变形提取k，即可得到点A的坐标。
(2) 先根据点B的坐标写出其“友好线”的一般表达式，再将已知经过的点$(1,1)$代入表达式求解k值，即可得到对应函数表达式。
(3) M、N横坐标均为a，$m≤n$的含义是在$-3≤x≤3$范围内，直线$y=k(x+2)-1$的函数值始终不大于直线$y=-\frac{1}{3}x+2$的函数值。首先求出直线$y=-\frac{1}{3}x+2$在$x=-3$和$x=3$处的两个边界点，再将两个边界点代入“友好线”表达式求出临界k值，结合“友好线”过定点$(-2,-1)$的特征和图象即可确定k的取值范围，注意“友好线”不与坐标轴垂直，故$k≠0$。
【解析】
(1) 将$y=kx-3k+\sqrt{3}$变形为$y=k(x-3)+\sqrt{3}$，根据“友好线”的定义，可得点A的坐标为$(3,\sqrt{3})$。
(2) 根据“友好线”的定义，点$B(3,2)$的“友好线”表达式为$y=k(x-3)+2$（$k≠0$）。
将点$(1,1)$代入表达式得：
$1=k(1-3)+2$
即$1=-2k+2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此该“友好线”的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-3)+2$。
(3) 先求直线$y=-\frac{1}{3}x+2$的边界点：
当$x=-3$时，$y=-\frac{1}{3}×(-3)+2=3$，即直线过点$(-3,3)$；
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{3}×3+2=1$，即直线过点$(3,1)$。
点Q的“友好线”$y=k(x+2)-1$过定点$(-2,-1)$，$k≠0$，代入边界点求临界k值：
①将$(-3,3)$代入$y=k(x+2)-1$，得$3=k(-3+2)-1$，解得$k=-4$；
②将$(3,1)$代入$y=k(x+2)-1$，得$1=k(3+2)-1$，解得$k=\frac{2}{5}$。
结合图象可知，当$-4≤k＜0$或$0＜k≤\frac{2}{5}$时，满足$-3≤a≤3$时$m≤n$。
【答案】
(1)$(3,\sqrt{3})$
(2)$y=\dfrac{1}{2}(x-3)+2$
(3)$-4≤ k＜0$或$0＜k≤\dfrac{2}{5}$

【知识点】
新定义阅读理解，待定系数法求解析式，一次函数图象性质
【点评】
本题以新定义为载体考查一次函数相关知识，前两问侧重对新定义的理解和基础方法的应用，第三问需要结合数形结合思想分析临界情况确定参数范围，对知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6