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1.(2025·徐州模拟)如图,四边形ABCD内接于⊙O,E是BC延长线上一点,∠BOD=100°,则∠DCE的度数为 (
A.50°
B.130°
C.25°
D.40°
A
)A.50°
B.130°
C.25°
D.40°
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件∠BOD=100°入手，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出劣弧BD对应的圆周角∠BAD的度数；再结合圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角，即可直接得到∠DCE的度数，也可先求出∠BCD的度数，再利用邻补角的关系计算∠DCE。
【解析】
方法1：
∵ ∠BOD是劣弧BD所对的圆心角，∠BAD是劣弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，且∠BOD=100°
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×100° = 50°$
又
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角
∴ $∠ DCE = ∠ BAD = 50°$
方法2：
优弧BD对应的圆心角为$360° - ∠ BOD = 360° - 100° = 260°$
∵ $∠ BCD$是优弧BD所对的圆周角
∴ $∠ BCD = \frac{1}{2}×260° = 130°$
∵ $∠ BCD$与$∠ DCE$互为邻补角，即$∠ BCD + ∠ DCE = 180°$
∴ $∠ DCE = 180° - 130° = 50°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，选择合适的角度转化路径即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件∠BOD=100°入手，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出劣弧BD对应的圆周角∠BAD的度数；再结合圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角，即可直接得到∠DCE的度数，也可先求出∠BCD的度数，再利用邻补角的关系计算∠DCE。
【解析】
方法1：
∵ ∠BOD是劣弧BD所对的圆心角，∠BAD是劣弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，且∠BOD=100°
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×100° = 50°$
又
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质，外角等于它的内对角
∴ $∠ DCE = ∠ BAD = 50°$
方法2：
优弧BD对应的圆心角为$360° - ∠ BOD = 360° - 100° = 260°$
∵ $∠ BCD$是优弧BD所对的圆周角
∴ $∠ BCD = \frac{1}{2}×260° = 130°$
∵ $∠ BCD$与$∠ DCE$互为邻补角，即$∠ BCD + ∠ DCE = 180°$
∴ $∠ DCE = 180° - 130° = 50°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，选择合适的角度转化路径即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.(2025·甘肃)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接BD,若$∠ ABC=70°$,则$∠ BDC$的度数为
（
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
（
C
）A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合同圆中等弧对等弦，得到AB=BC，确定△ABC为等腰三角形；第二步，利用等腰三角形内角和性质，计算出底角∠BAC的度数；第三步，观察到∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AB=BC（同圆中，相等的弧所对的弦相等），即△ABC是等腰三角形。
∵ ∠ABC=70°，
∴ $∠ BAC=\frac{1}{2}×(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
又
∵ ∠BAC与∠BDC均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC=∠ BAC=55°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；弧与弦的关系
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是利用等弧的性质转化边角关系，再通过圆周角定理将未知角和已求角关联起来，整体计算量小，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合同圆中等弧对等弦，得到AB=BC，确定△ABC为等腰三角形；第二步，利用等腰三角形内角和性质，计算出底角∠BAC的度数；第三步，观察到∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ AB=BC（同圆中，相等的弧所对的弦相等），即△ABC是等腰三角形。
∵ ∠ABC=70°，
∴ $∠ BAC=\frac{1}{2}×(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$。
又
∵ ∠BAC与∠BDC均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC=∠ BAC=55°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；弧与弦的关系
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是利用等弧的性质转化边角关系，再通过圆周角定理将未知角和已求角关联起来，整体计算量小，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
3.(2025·广安)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,⊙O的半径为6,则BD的长为
$6\sqrt{3}$
.答案
3.$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求弦BD的长，已知圆的半径，只需求出BD所对的圆心角的度数，再结合垂径定理和解直角三角形求解即可。首先根据圆周角定理，∠BCD是对应优弧BD的圆周角，可先求出优弧BD的度数，进而得到劣弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；再通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数求出BD的一半，最终得到BD的长度。
【解析】
连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，已知∠BCD=120°，∠BCD对应优弧BD，因此优弧BD的度数为$2×120°=240°$。
2. 劣弧BD的度数为$360°-240°=120°$，故圆心角$∠ BOD=120°$。
3. 因为OB=OD=⊙O的半径=6，$OE⊥ BD$，根据垂径定理，E为BD中点，且OE平分∠BOD，因此$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$，$BD=2BE$。
4. 在$Rt△ BOE$中，$BE=OB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，因此$BD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是利用圆周角定理求出弦对应的圆心角度数，再结合垂径定理将问题转化为直角三角形的边长计算，是圆中求弦长的典型考法。
【难度系数】
0.7
要求弦BD的长，已知圆的半径，只需求出BD所对的圆心角的度数，再结合垂径定理和解直角三角形求解即可。首先根据圆周角定理，∠BCD是对应优弧BD的圆周角，可先求出优弧BD的度数，进而得到劣弧BD对应的圆心角∠BOD的度数；再通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数求出BD的一半，最终得到BD的长度。
【解析】
连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，已知∠BCD=120°，∠BCD对应优弧BD，因此优弧BD的度数为$2×120°=240°$。
2. 劣弧BD的度数为$360°-240°=120°$，故圆心角$∠ BOD=120°$。
3. 因为OB=OD=⊙O的半径=6，$OE⊥ BD$，根据垂径定理，E为BD中点，且OE平分∠BOD，因此$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$，$BD=2BE$。
4. 在$Rt△ BOE$中，$BE=OB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，因此$BD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是利用圆周角定理求出弦对应的圆心角度数，再结合垂径定理将问题转化为直角三角形的边长计算，是圆中求弦长的典型考法。
【难度系数】
0.7
4.在圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D=3:5:6:m，则m=
4
，∠D的度数是$80°$
。答案
4.4 80°
解析
【分析】
解题首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和均为180°，因此两组对角所占的比例份数和也相等。我们可以先利用这一规律列出关于m的等式，求出m的值，再根据角度和与份数的对应关系，计算每份对应的角度，进而求出∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=3:5:6:m$，角度比的每份大小相同，因此两组对角的份数和相等：
$3+6=5+m$
解得$m=4$
接下来计算每份对应的角度：由$∠ A+∠ C=3份+6份=9份=180°$，可得1份对应的角度为$180°÷9=20°$
$∠ D$占4份，因此$∠ D=4×20°=80°$
【答案】
4；$80°$
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 按比例分配计算角度
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补性质的应用，解题的关键是利用对角和相等先求出比例中的未知参数m，再结合比例关系计算对应角度，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，即两组对角的和均为180°，因此两组对角所占的比例份数和也相等。我们可以先利用这一规律列出关于m的等式，求出m的值，再根据角度和与份数的对应关系，计算每份对应的角度，进而求出∠D的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形
∴ 圆内接四边形对角互补，即$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 180°$
已知$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=3:5:6:m$，角度比的每份大小相同，因此两组对角的份数和相等：
$3+6=5+m$
解得$m=4$
接下来计算每份对应的角度：由$∠ A+∠ C=3份+6份=9份=180°$，可得1份对应的角度为$180°÷9=20°$
$∠ D$占4份，因此$∠ D=4×20°=80°$
【答案】
4；$80°$
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 按比例分配计算角度
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆内接四边形对角互补性质的应用，解题的关键是利用对角和相等先求出比例中的未知参数m，再结合比例关系计算对应角度，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
5.如图，A,B,C,D是$\odot O$上的四个点，延长DC,AB相交于点E，若$DA=DE$，求证：$△ BCE$是等腰三角形。
答案
5.证明:
∵A,B,C,D是⊙O上的四个点，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠BCE=∠A.
∵DA=DE,
∴∠A=∠E,
∴∠BCE=∠E，
∴△BCE是等腰三角形.
∵A,B,C,D是⊙O上的四个点，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠BCE=∠A.
∵DA=DE,
∴∠A=∠E,
∴∠BCE=∠E，
∴△BCE是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△BCE是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等，可通过角的等量代换推导。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合邻补角和为180°的特点，可推出∠BCE=∠A；再根据已知DA=DE，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠E，通过等量代换即可得到△BCE中两个内角相等，进而判定它是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵A,B,C,D是⊙O上的四个点，
∴∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠BCE+∠BCD=180°（平角的定义），
∴∠BCE=∠A（同角的补角相等）。
∵DA=DE，
∴∠A=∠E（等腰三角形等边对等角），
∴∠BCE=∠E（等量代换），
∴BC=BE，即△BCE是等腰三角形。
【答案】
证明:
∵A,B,C,D是⊙O上的四个点，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠BCE=∠A.
∵DA=DE,
∴∠A=∠E,
∴∠BCE=∠E，
∴△BCE是等腰三角形.
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用圆内接四边形的性质和补角的性质完成角的等量代换，再结合等腰三角形的判定即可得证，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明△BCE是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等，可通过角的等量代换推导。首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合邻补角和为180°的特点，可推出∠BCE=∠A；再根据已知DA=DE，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠E，通过等量代换即可得到△BCE中两个内角相等，进而判定它是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵A,B,C,D是⊙O上的四个点，
∴∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠BCE+∠BCD=180°（平角的定义），
∴∠BCE=∠A（同角的补角相等）。
∵DA=DE，
∴∠A=∠E（等腰三角形等边对等角），
∴∠BCE=∠E（等量代换），
∴BC=BE，即△BCE是等腰三角形。
【答案】
证明:
∵A,B,C,D是⊙O上的四个点，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠BCE=∠A.
∵DA=DE,
∴∠A=∠E,
∴∠BCE=∠E，
∴△BCE是等腰三角形.
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用圆内接四边形的性质和补角的性质完成角的等量代换，再结合等腰三角形的判定即可得证，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E=54°41′，∠F=43°19′，则∠A的度数为（
A.42°
B.41°20′
C.41°
D.40°20′
C
）A.42°
B.41°20′
C.41°
D.40°20′
答案
6.C
解析
【分析】
本题可利用圆内接四边形的性质与三角形内角和定理求解。首先设∠A的度数为x，先根据三角形内角和分别表示出△ADE和△ABF中对应内角的度数，再利用邻补角的性质得到圆内接四边形ABCD的一组对角∠ADC、∠ABC的表达式，最后根据圆内接四边形对角互补的性质列方程求解即可。
【解析】
设∠A = x。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ADE = 180° - ∠ E - ∠ A = 180° - 54°41' - x$
∵∠ADE与∠ADC互为邻补角，
∴$∠ ADC = 180° - ∠ ADE = 54°41' + x$
同理，在△ABF中：
$∠ ABF = 180° - ∠ F - ∠ A = 180° - 43°19' - x$
∵∠ABF与∠ABC互为邻补角，
∴$∠ ABC = 180° - ∠ ABF = 43°19' + x$
∵四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得：
$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
代入得：$(54°41' + x) + (43°19' + x) = 180°$
计算角度和：$54°41' + 43°19' = 98°$
∴$98° + 2x = 180°$
解得：$2x = 82°$，$x = 41°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题综合考查了圆内接四边形性质和三角形内角和的应用，通过设未知数列方程的方法求解角度，是几何中求角度常用的方法，解题关键是准确找到角度之间的等量关系。
【难度系数】
0.65
本题可利用圆内接四边形的性质与三角形内角和定理求解。首先设∠A的度数为x，先根据三角形内角和分别表示出△ADE和△ABF中对应内角的度数，再利用邻补角的性质得到圆内接四边形ABCD的一组对角∠ADC、∠ABC的表达式，最后根据圆内接四边形对角互补的性质列方程求解即可。
【解析】
设∠A = x。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ADE = 180° - ∠ E - ∠ A = 180° - 54°41' - x$
∵∠ADE与∠ADC互为邻补角，
∴$∠ ADC = 180° - ∠ ADE = 54°41' + x$
同理，在△ABF中：
$∠ ABF = 180° - ∠ F - ∠ A = 180° - 43°19' - x$
∵∠ABF与∠ABC互为邻补角，
∴$∠ ABC = 180° - ∠ ABF = 43°19' + x$
∵四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得：
$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$
代入得：$(54°41' + x) + (43°19' + x) = 180°$
计算角度和：$54°41' + 43°19' = 98°$
∴$98° + 2x = 180°$
解得：$2x = 82°$，$x = 41°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题综合考查了圆内接四边形性质和三角形内角和的应用，通过设未知数列方程的方法求解角度，是几何中求角度常用的方法，解题关键是准确找到角度之间的等量关系。
【难度系数】
0.65
