7. 如图，点A,B,C,D,E均在$\odot O$上，且BD经过圆心O，连接AB,AE,CE，若$∠ B+∠ E=150°$，则$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角的度数为 （）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

7.D

8.如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，且四边形OABC是菱形.若D是圆上异于A，B，C的另一点，则$∠ ADC$的度数是.

8.$60°或120°$

9.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.

9.$52°$

10.如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,BC是$\odot O$的直径,$BC=2CD$,则$∠ BAD$的度数是.

10.$120°$

11. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，延长BC到点E，使$CE=AB$，连接BD，ED。
(1)求证：$BD=ED$；
(2)若$∠ ABC=60°$，$AD=5$，求$\odot O$的半径。

11.(1)证明:
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,即AD=DC.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠ECD+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠ECD.
在△ABD和△CED中,$\begin{cases} AB=CE, \\ ∠BAD=∠ECD, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED(SAS),
∴BD=ED.
(2)解:如答图,连接DO并延长交⊙O于点F,连接CF,
则∠FCD=90°.
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ABD=∠CBD,AD=CD=5.
∵∠ABC=60°,
∴∠CBD=30°,
∴∠F=∠CBD=30°,
∴DF=2CD=10,
∴⊙O的半径为5.

12.(2025·南京模拟)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,∠ADC＜∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.
求证:(1)EF//BC;
(2)EF=BD.

12.证明:(1)如答图,延长AB.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠CBM=∠ADC.
又
∵∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE=∠CBM,
∴EF//BC.
(2)如答图,过点D作DG//BC交⊙O于点G,连接AG,CG.
∵DG//BC,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$,
∴BD=CG.
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE=∠ACG.
∵EF//DG,
∴∠DEF=∠GDE,
∴∠DEF=∠ACG.
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC.
又
∵AE=AC,
∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,
∴EF=BD.