8.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ A=32°$,点$B$,$C$在$\odot O$上,边$AB$,$AC$分别交$\odot O$于点$D$,$E$.若$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点,则$∠ ABE$的度数是.

8.$13°$

9.如图,在半径为3的$\odot O$中,AB是直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是.

9.$4\sqrt{2}$

10.如图，AB是$\odot O$的弦，$AB=4$，C是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ACB=45°$.若M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是.

10.$2\sqrt{2}$

11.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB为直径，$∠ CBA$的平分线交AC于点F，交$\odot O$于点D，$DE⊥ AB$于点E，且交AC于点P，连接AD.
求证:(1)$PD=PA$；
(2)P是线段AF的中点.

11. 证明:(1)$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ DEB=90°$,
$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°,∠ ABD+∠ EDB=90°$,
$\therefore ∠ ADE=∠ ABD$.
∵BD平分$∠ CBA,\therefore ∠ CBD=∠ ABD$.
∵$∠ DAC=∠ CBD,\therefore ∠ DAC=∠ ABD$.
$\therefore ∠ ADE=∠ DAP,\therefore PD=PA$.
(2)$\because ∠ ADB=90°$,
$\therefore ∠ DFA+∠ DAP=∠ ADE+∠ PDF=90°$.
∵$∠ ADE=∠ DAP$,
$\therefore ∠ PDF=∠ PFD,\therefore PD=PF$.
∵$PD=PA,\therefore PA=PF$,即 P 是线段 AF 的中点.

12.已知点A,B,C在$\odot O$上,将圆沿着弦BC折叠交直径AB于点D.若$AB=10$,$BC=4\sqrt{5}$,求AD的长.

12. 解:如答图,连接 AC,CD,过点 C 作$CE⊥ AB$于点 E.
$\because ∠ CBD=∠ ABC,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD},\therefore AC=CD$.
又$\because CE⊥ AD,\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD$.
∵AB 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-(4\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$,
$\therefore CE=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}× 4\sqrt{5}}{10}=4$.
$\because CE⊥ AD,\therefore AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$,
$\therefore AD=2AE=4$.