8.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ A=32°$,点$B$,$C$在$\odot O$上,边$AB$,$AC$分别交$\odot O$于点$D$,$E$.若$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点,则$∠ ABE$的度数是.

8.$13°$

【分析】
解题时首先考虑作辅助线连接CD：①由∠ABC=90°即∠DBC=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得CD是⊙O的直径，因此弧CD的度数为180°；②结合B是弧CD的中点，可推出弧BC的度数为90°，再根据圆周角定理，算出弧BC所对的圆周角∠BEC的度数为45°；③最后利用三角形外角的性质，∠BEC是△ABE的外角，等于∠A与∠ABE的和，代入已知角度即可求出∠ABE的度数。
【解析】
连接CD，
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠DBC=90°，
∴ CD是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ 弧CD的度数为180°，
∵ B是$\overset{\frown}{CD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$\frac{1}{2}×180°=90°$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴ $\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角∠BEC=$\frac{1}{2}×90°=45°$，
又
∵ ∠BEC是△ABE的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠BEC=∠A + ∠ABE，
∵ ∠A=32°，
∴ ∠ABE=∠BEC - ∠A=45° - 32°=13°。
【答案】
$13°$
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，直径的判定
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线CD，结合90°圆周角判定直径，再利用弧中点的性质和圆周角定理求出对应角的度数，考查了学生对基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

9.如图,在半径为3的$\odot O$中,AB是直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是.

9.$4\sqrt{2}$

【分析】
解题时首先利用直径的性质，直径所对圆周角为直角，可得∠ACB=90°；再结合D是弧AC中点的条件，连接OD交AC于F，根据垂径定理可得OD垂直平分AC，进而推出OD//BC；接着利用E是BD中点的条件，证明△DEF与△BEC全等，得到DF=BC；再结合中位线性质得到OF与BC的数量关系，求出BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
解：连接OD，交AC于点F。
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴由垂径定理得：$OD⊥ AC$，$AF=CF$，
∴$∠ DFE=90°$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∴$∠ DFE=∠ ACB$，
∴$OD// BC$，即$∠ EDF=∠ EBC$。
∵E是BD的中点，
∴$DE=BE$。
在$△ DEF$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ EDF=∠ EBC \\DE=BE \\∠ DEF=∠ BEC（对顶角相等）\end{cases}$
∴$△ DEF≌△ BEC(\mathrm{ASA})$，
∴$DF=BC$。
已知$\odot O$半径为3，故$OD=3$，$AB=6$。
设$OF=x$，则$DF=OD-OF=3-x$，即$BC=3-x$。
∵O是AB中点，F是AC中点，
∴OF是$△ ABC$的中位线，
∴$BC=2OF$，即$3-x=2x$，解得$x=1$，
∴$BC=3-1=2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的核心是合理作出辅助线OD，将弧中点的条件转化为垂直、平行关系，再结合全等、中位线的性质建立线段的数量关系，最终用勾股定理求解，对辅助线构造的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

10.如图，AB是$\odot O$的弦，$AB=4$，C是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ACB=45°$.若M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是.

10.$2\sqrt{2}$

【分析】
首先观察到M、N分别是AB、BC的中点，可联想三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系为$MN=\frac{1}{2}AC$，因此求MN的最大值可转化为求AC的最大值。根据圆的性质，圆内最长的弦是直径，因此当AC为直径时，AC取得最大值。接下来结合已知的圆周角$∠ ACB=45°$，利用圆周角定理求出同弧AB所对的圆心角为$90°$，再结合AB的长度求出圆的直径，即可得到AC的最大值，进而算出MN的最大值。
【解析】
解：
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是$△ ABC$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AC$，
因此要使MN最长，需使AC最长。
∵圆中最长的弦是直径，
∴当AC为$\odot O$的直径时，AC取得最大值。
连接OA、OB，
∵$∠ ACB=45°$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=90°$，
在$Rt△ AOB$中，OA=OB（都是$\odot O$的半径），AB=4，
由勾股定理得：$OA^2+OB^2=AB^2$，即$2OA^2=4^2$，
解得$OA=2\sqrt{2}$，
∴$\odot O$的直径为$2OA=4\sqrt{2}$，即AC的最大值为$4\sqrt{2}$，
∴MN的最大值为$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，圆的弦的性质
【点评】
本题解题的核心是利用中位线定理将MN的最值转化为弦AC的最值，再结合圆周角定理和圆的基本性质求解，很好地考查了转化思想的应用，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6

11.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB为直径，$∠ CBA$的平分线交AC于点F，交$\odot O$于点D，$DE⊥ AB$于点E，且交AC于点P，连接AD.
求证:(1)$PD=PA$；
(2)P是线段AF的中点.

11. 证明:(1)$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ DEB=90°$,
$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°,∠ ABD+∠ EDB=90°$,
$\therefore ∠ ADE=∠ ABD$.
∵BD平分$∠ CBA,\therefore ∠ CBD=∠ ABD$.
∵$∠ DAC=∠ CBD,\therefore ∠ DAC=∠ ABD$.
$\therefore ∠ ADE=∠ DAP,\therefore PD=PA$.
(2)$\because ∠ ADB=90°$,
$\therefore ∠ DFA+∠ DAP=∠ ADE+∠ PDF=90°$.
∵$∠ ADE=∠ DAP$,
$\therefore ∠ PDF=∠ PFD,\therefore PD=PF$.
∵$PD=PA,\therefore PA=PF$,即 P 是线段 AF 的中点.

【分析】
(1)要证$PD=PA$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠ADE=∠DAP$即可：首先利用直径所对圆周角为直角得到$∠ADB=90°$，结合$DE⊥AB$，通过同角的余角相等推出$∠ADE=∠ABD$；再根据角平分线定义得$∠CBD=∠ABD$，结合同弧所对的圆周角相等得$∠DAC=∠CBD$，等量代换即可得到$∠ADE=∠DAP$，完成证明。
(2)要证$P$是$AF$的中点，只需证明$PA=PF$即可，由(1)已得$PA=PD$，因此只需证$PD=PF$：同样利用等角对等边，结合直角三角形两锐角互余的性质和(1)的结论，推出$∠PDF=∠PFD$，即可得到$PD=PF$，进而得$PA=PF$，证明$P$是$AF$中点。
【解析】
(1)$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ DEB=90°$,
$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°,∠ ABD+∠ EDB=90°$,
$\therefore ∠ ADE=∠ ABD$.
∵BD平分$∠ CBA,\therefore ∠ CBD=∠ ABD$.
∵$∠ DAC=∠ CBD$（同弧所对的圆周角相等）,$\therefore ∠ DAC=∠ ABD$.
$\therefore ∠ ADE=∠ DAP,\therefore PD=PA$.
(2)$\because ∠ ADB=90°$,
$\therefore ∠ DFA+∠ DAP=∠ ADE+∠ PDF=90°$.
∵$∠ ADE=∠ DAP$,
$\therefore ∠ PDF=∠ PFD,\therefore PD=PF$.
∵$PD=PA,\therefore PA=PF$,即 P 是线段 AF 的中点.
【答案】
(1) 证明成立，$PD=PA$；
(2) 证明成立，$P$是线段$AF$的中点。
（证明过程见解析）
【知识点】
圆周角定理及推论，等腰三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中证明线段相等的典型题型，核心是通过角的等量代换结合等腰三角形判定完成证明，解题关键是熟练运用同角（等角）的余角相等、同弧所对圆周角相等的性质进行角的转化。
【难度系数】
0.7

12.已知点A,B,C在$\odot O$上,将圆沿着弦BC折叠交直径AB于点D.若$AB=10$,$BC=4\sqrt{5}$,求AD的长.

12. 解:如答图,连接 AC,CD,过点 C 作$CE⊥ AB$于点 E.
$\because ∠ CBD=∠ ABC,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD},\therefore AC=CD$.
又$\because CE⊥ AD,\therefore AE=DE=\frac{1}{2}AD$.
∵AB 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-(4\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$,
$\therefore CE=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}× 4\sqrt{5}}{10}=4$.
$\because CE⊥ AD,\therefore AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$,
$\therefore AD=2AE=4$.

【分析】
解题时可按以下思路推导：①看到圆的直径AB，优先利用“直径所对的圆周角为直角”的推论，连接AC得到Rt△ACB，可先通过勾股定理计算AC的长度；②结合折叠的性质可得∠CBD=∠ABC，根据“相等的圆周角所对的弧相等，弧相等则对应弦相等”，推出AC=CD，即△ACD为等腰三角形；③过C作CE⊥AB，利用等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE，即AD=2AE，只需算出AE即可求AD；④利用直角三角形面积的两种表示方法求出高CE的长度，再在Rt△ACE中用勾股定理求出AE，最终计算得到AD的长度。
【解析】
如答图，连接AC，CD，过点C作$CE ⊥ AB$于点E。
由折叠的性质得$∠CBD=∠ABC$，根据圆周角定理的推论，相等的圆周角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，可得$AC=CD$。
又$\because CE ⊥ AD$，由等腰三角形三线合一的性质，得$AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90°$，
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-(4\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$。
$\because △ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CE$，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CE$，
代入数值计算得：$CE=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}}{10}=4$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=2$，
因此$AD=2AE=4$。
【答案】
$AD=4$
【知识点】
圆周角定理推论，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合了圆、折叠变换、三角形的相关知识进行考查，解题的突破口是利用直径的性质构造直角三角形，结合折叠性质得到相等的弦，再通过面积法和勾股定理逐步求解，能较好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65