登录
1. 如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ CDB=60°$，则$∠ ABC$的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，可知△ABC是直角三角形，两锐角互余；②再根据同弧所对的圆周角相等，找到与∠CDB相等的角∠CAB，得出∠CAB的度数；③最后利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠ABC的度数即可。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC = 90°。
∵∠CDB和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CDB=60°（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABC=90° - 60°=30°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是能准确识别同弧对应的圆周角，熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，整体计算量小，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按照以下思路推导：①先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，可知△ABC是直角三角形，两锐角互余；②再根据同弧所对的圆周角相等，找到与∠CDB相等的角∠CAB，得出∠CAB的度数；③最后利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠ABC的度数即可。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴在Rt△ACB中，∠CAB + ∠ABC = 90°。
∵∠CDB和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CAB=∠CDB=60°（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABC=90° - 60°=30°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是能准确识别同弧对应的圆周角，熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，整体计算量小，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，若$∠ A=60°$，$BC=2\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径长为（
A.4
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.1
C
）A.4
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.1
答案
2.C
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，可通过构造直径得到直角三角形求解：首先作过点B的直径，连接直径另一端点与点C，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等得到直角三角形中一个锐角的度数，最后通过解直角三角形求出直径长度，除以2即可得到半径。
【解析】
解：作$\odot O$的直径$BD$，连接$CD$。
∵$BD$是$\odot O$的直径，
∴$∠ BCD=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ D$和$∠ A$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ D=∠ A=60°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$Rt△ BCD$中，$\sin∠ D=\frac{BC}{BD}$，
将$BC=2\sqrt{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$BD=\frac{BC}{\sin∠ D}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，
∴$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质与解直角三角形结合的基础题型，解题的关键是掌握“遇弦求半径时，构造直径得到直角三角形”的常见辅助线作法，熟练运用圆周角相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求$\odot O$的半径，可通过构造直径得到直角三角形求解：首先作过点B的直径，连接直径另一端点与点C，利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等得到直角三角形中一个锐角的度数，最后通过解直角三角形求出直径长度，除以2即可得到半径。
【解析】
解：作$\odot O$的直径$BD$，连接$CD$。
∵$BD$是$\odot O$的直径，
∴$∠ BCD=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ D$和$∠ A$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ D=∠ A=60°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$Rt△ BCD$中，$\sin∠ D=\frac{BC}{BD}$，
将$BC=2\sqrt{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：
$BD=\frac{BC}{\sin∠ D}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，
∴$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质与解直角三角形结合的基础题型，解题的关键是掌握“遇弦求半径时，构造直径得到直角三角形”的常见辅助线作法，熟练运用圆周角相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图，AD是$\odot O$的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC.若$∠ BAD=30°$，则$∠ ACB$的度数是
$60°$
.答案
3.$60°$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：AD是圆的直径，由此联想到“直径所对的圆周角为直角”这一推论，我们可以连接辅助线BD，构造直角三角形ABD；先在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠ACB与∠ADB相等，从而求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AD是$\odot O$的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴∠ADB=90°-∠BAD=90°-30°=60°，
又
∵∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠ADB=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质，直角三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础计算题，解题核心是通过构造辅助线将已知角度和所求角度建立关联，熟练掌握圆周角定理及其推论是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：AD是圆的直径，由此联想到“直径所对的圆周角为直角”这一推论，我们可以连接辅助线BD，构造直角三角形ABD；先在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，再根据“同弧所对的圆周角相等”，即可得到∠ACB与∠ADB相等，从而求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AD是$\odot O$的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴∠ADB=90°-∠BAD=90°-30°=60°，
又
∵∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠ADB=60°。
【答案】
$60°$
【知识点】
直径所对圆周角的性质，直角三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础计算题，解题核心是通过构造辅助线将已知角度和所求角度建立关联，熟练掌握圆周角定理及其推论是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.(2025·陕西)如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CDB=24°$，则$∠ ACD$的度数为
$66°$
。答案
4.$66°$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，观察已知∠CDB的度数，根据同弧所对的圆周角相等，可推出它所对弧BC对应的另一个圆周角∠CAB的度数；第二步，结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$、AB是直径的条件，利用垂径定理的推论，可得出AB垂直于弦CD，得到直角关系；第三步，在直角三角形中，利用两锐角互余即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB和∠CAB都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDB=24°$。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB为$\odot O$的直径，
∴AB⊥CD（平分非直径的弧的直径垂直于弧所对的弦）。
设AB与CD交于点E，则$∠ AEC=90°$，
在$Rt△ AEC$中，$∠ ACD=90°-∠ CAB=90°-24°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心是利用圆周角定理完成角度转换，再结合垂径定理得到直角关系求解，解题关键是找准同弧对应的圆周角，熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，观察已知∠CDB的度数，根据同弧所对的圆周角相等，可推出它所对弧BC对应的另一个圆周角∠CAB的度数；第二步，结合$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$、AB是直径的条件，利用垂径定理的推论，可得出AB垂直于弦CD，得到直角关系；第三步，在直角三角形中，利用两锐角互余即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB和∠CAB都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDB=24°$。
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB为$\odot O$的直径，
∴AB⊥CD（平分非直径的弧的直径垂直于弧所对的弦）。
设AB与CD交于点E，则$∠ AEC=90°$，
在$Rt△ AEC$中，$∠ ACD=90°-∠ CAB=90°-24°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理；垂径定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心是利用圆周角定理完成角度转换，再结合垂径定理得到直角关系求解，解题关键是找准同弧对应的圆周角，熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.7
5.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AD$是$△ ABC$的高，$AE$是$\odot O$的直径.求证：$∠ BAE=∠ CAD$. 
第5题图
第5题图答案
5. 证明:如答图,连接 BE.
∵AE是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ABE=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ E=90°$.
∵AD是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ CAD+∠ ACB=90°$.
∵$∠ E=∠ ACB,\therefore ∠ BAE=∠ CAD$.
解析
【分析】
要证明∠BAE=∠CAD，可通过“等角的余角相等”的思路推导：首先观察已知条件，AE是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可连接BE构造直角三角形ABE，得到∠BAE与∠E互余；又AD是△ABC的高，可得∠CAD与∠ACB互余；再根据同弧所对的圆周角相等，可证∠E=∠ACB，最终即可推出两个待证角相等。
【解析】
证明：如答图，连接BE。
∵AE是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ABE=90°$，
$\therefore ∠BAE+∠E=90°$。
∵AD是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ADC=90°$，
$\therefore ∠CAD+∠ACB=90°$。
∵∠E和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠E=∠ACB$，
$\therefore ∠BAE=∠CAD$。
【答案】
证明:如答图,连接 BE.
∵AE是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ABE=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ E=90°$.
∵AD是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ CAD+∠ ACB=90°$.
∵$∠ E=∠ ACB,\therefore ∠ BAE=∠ CAD$.
【知识点】
圆周角定理及推论，直角三角形性质，等角的余角相等
【点评】
本题是圆中证明角相等的常规基础题，核心考查圆的基本性质和直角三角形的性质，解题的关键是结合直径的特征合理添加辅助线构造直角三角形，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
要证明∠BAE=∠CAD，可通过“等角的余角相等”的思路推导：首先观察已知条件，AE是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可连接BE构造直角三角形ABE，得到∠BAE与∠E互余；又AD是△ABC的高，可得∠CAD与∠ACB互余；再根据同弧所对的圆周角相等，可证∠E=∠ACB，最终即可推出两个待证角相等。
【解析】
证明：如答图，连接BE。
∵AE是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ABE=90°$，
$\therefore ∠BAE+∠E=90°$。
∵AD是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ADC=90°$，
$\therefore ∠CAD+∠ACB=90°$。
∵∠E和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠E=∠ACB$，
$\therefore ∠BAE=∠CAD$。
【答案】
证明:如答图,连接 BE.
∵AE是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ABE=90°$,
$\therefore ∠ BAE+∠ E=90°$.
∵AD是$△ ABC$的高,$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ CAD+∠ ACB=90°$.
∵$∠ E=∠ ACB,\therefore ∠ BAE=∠ CAD$.
【知识点】
圆周角定理及推论，直角三角形性质，等角的余角相等
【点评】
本题是圆中证明角相等的常规基础题，核心考查圆的基本性质和直角三角形的性质，解题的关键是结合直径的特征合理添加辅助线构造直角三角形，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
6.(张家港模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径.若∠CAD=∠B，AD=8，则AC的长为（
A.5
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.5
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AD是直径入手，回忆直径对应的圆周角为直角，可得∠ACD=90°；再利用同弧所对的圆周角相等，将∠B转化为∠ADC，结合已知∠CAD=∠B，可推出△ACD是等腰直角三角形，最后结合AD的长度用勾股定理计算AC即可。
【解析】
解：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠B和∠ADC都为弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠ADC，
又
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠ADC，
∴AC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
在Rt△ACD中，AD=8，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∵AC=CD，
∴$2AC^2 = 8^2 = 64$，
解得$AC^2=32$，
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题核心是通过圆周角相等进行角的转化，判断出三角形的形状，是圆中求线段长度的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件AD是直径入手，回忆直径对应的圆周角为直角，可得∠ACD=90°；再利用同弧所对的圆周角相等，将∠B转化为∠ADC，结合已知∠CAD=∠B，可推出△ACD是等腰直角三角形，最后结合AD的长度用勾股定理计算AC即可。
【解析】
解：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠B和∠ADC都为弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠ADC，
又
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠ADC，
∴AC=CD，即△ACD为等腰直角三角形，
在Rt△ACD中，AD=8，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$，
∵AC=CD，
∴$2AC^2 = 8^2 = 64$，
解得$AC^2=32$，
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题核心是通过圆周角相等进行角的转化，判断出三角形的形状，是圆中求线段长度的常见考法。
【难度系数】
0.7
7.如图，半径为5的$\odot A$中，弦$BC$，$ED$所对的圆心角分别是$∠ BAC$，$∠ EAD$，若$DE=6$，$∠ BAC+∠ EAD=180°$，则弦$BC$的长为（
A.8
B.10
C.11
D.12
A
）A.8
B.10
C.11
D.12
答案
7.A
解析
【分析】
解题时可通过构造辅助线转化已知条件：首先利用两个圆心角互补的特点，延长BA得到直径，构造出与∠EAD相等的圆心角，通过全等三角形将DE的长度转化为新直角三角形的直角边，再结合直径所对圆周角为直角的性质，用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：延长BA交$\odot A$于点F，连接CF。
1. 由直径的性质可知：BF为$\odot A$的直径，因此$BF=2×5=10$，且直径所对的圆周角为直角，即$∠ BCF=90°$。
2. 由平角定义得$∠ BAC+∠ CAF=180°$，结合已知$∠ BAC+∠ EAD=180°$，可推出$∠ CAF=∠ EAD$。
3. 在$△ CAF$和$△ DAE$中：$AC=AD$，$AF=AE$（均为$\odot A$的半径），$∠ CAF=∠ EAD$，因此$△ CAF≌△ DAE$（SAS），得$CF=DE=6$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BF^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题核心是通过构造直径将互补的圆心角转化为相等的圆心角，运用转化思想将已知线段和待求线段放到同一个直角三角形中计算，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时可通过构造辅助线转化已知条件：首先利用两个圆心角互补的特点，延长BA得到直径，构造出与∠EAD相等的圆心角，通过全等三角形将DE的长度转化为新直角三角形的直角边，再结合直径所对圆周角为直角的性质，用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：延长BA交$\odot A$于点F，连接CF。
1. 由直径的性质可知：BF为$\odot A$的直径，因此$BF=2×5=10$，且直径所对的圆周角为直角，即$∠ BCF=90°$。
2. 由平角定义得$∠ BAC+∠ CAF=180°$，结合已知$∠ BAC+∠ EAD=180°$，可推出$∠ CAF=∠ EAD$。
3. 在$△ CAF$和$△ DAE$中：$AC=AD$，$AF=AE$（均为$\odot A$的半径），$∠ CAF=∠ EAD$，因此$△ CAF≌△ DAE$（SAS），得$CF=DE=6$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BF^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】A
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题核心是通过构造直径将互补的圆心角转化为相等的圆心角，运用转化思想将已知线段和待求线段放到同一个直角三角形中计算，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
