12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1=∠2.

12.(1)解:
∵BC=DC,
∴∠CDB=∠CBD=39°.
∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°.
(2)证明:
∵EC=BC,
∴∠CEB=∠CBE.
又
∵∠CEB=∠2+∠BAC,∠CBE=∠1+∠CBD,
∴∠2+∠BAC=∠1+∠CBD.
∵∠BAC=∠BDC=∠CBD,
∴∠1=∠2.

【分析】
(1) 求解∠BAD的度数时，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由BC=DC推出∠CDB与∠CBD相等；再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，分别得到与∠CDB相等的∠BAC、与∠CBD相等的∠CAD，将两个角相加即可得到∠BAD的度数。
(2) 证明∠1=∠2时，首先由EC=BC得到∠CEB=∠CBE；再利用三角形外角的性质，把∠CEB、∠CBE分别拆分为两个小角的和；最后结合圆周角定理和等腰三角形性质推出∠BAC=∠CBD，对等式做等量减等量的变形即可证得结论。
【解析】
(1) 解：
∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=39°，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°。
(2) 证明：
∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵∠CEB是△ABE的外角，
∴∠CEB=∠2+∠BAC，且∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAC=∠1+∠CBD，
∵同弧BC所对的圆周角相等，
∴∠BAC=∠CDB，
又
∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD，即∠BAC=∠CBD，
等式两边同时减去相等的角，可得∠1=∠2。
【答案】
(1) $\boxed{78°}$
(2) 已证得$\boxed{∠1=∠2}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查角的等量代换能力，解题关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等的性质，结合等腰三角形、三角形外角的性质建立角之间的等量关系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.75

13. 如图，A,P,B,C是$\odot O$上的四个点，$∠ APC=∠ CPB=60°$.
(1)$△ ABC$的形状为；
(2)试探究线段$PA,PB,PC$之间的等量关系，并证明你的结论.

13.(1)等边三角形
(2)解:$PC=PB+PA$.证明如下:
如答图,在PC上截取$PD=AP$,连接AD.
∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又
∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB.
在△APB和△ADC中,$\begin{cases}∠APB=∠ADC,\\∠ABP=∠ACD,\\AP=AD,\end{cases}$
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD.
又
∵PD=AP,
∴PC=DC+PD=PB+PA.

【分析】
(1) 判断△ABC的形状可通过推导其内角的度数完成：利用圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，结合已知的∠APC=∠CPB=60°，可得到△ABC的两个内角为60°，进而判定三角形的形状。
(2) 探究线段和差关系通常用截长补短法：本题要证PC等于PA、PB的和，可在较长的PC上截取一段等于PA，结合∠APC=60°可构造等边三角形，再通过证明三角形全等，将PB转化为PC上剩余的线段，即可得到三者的等量关系。
【解析】
(1) 由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等：
弧AC所对的圆周角∠ABC=∠APC=60°，弧BC所对的圆周角∠BAC=∠CPB=60°，
因此△ABC中，∠ACB=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，故△ABC为等边三角形。
(2) 线段等量关系为$PC=PB+PA$，证明过程如下：
在PC上截取$PD=AP$，连接AD，
∵∠APC=60°，$PD=AP$，
∴△APD是等边三角形，
∴$AD=AP=PD$，$∠ADP=60°$，即$∠ADC=120°$，
∵$∠APB=∠APC+∠BPC=60°+60°=120°$，
∴$∠ADC=∠APB$，
又
∵同弧AP所对的圆周角$∠ABP=∠ACD$，
在△APB和△ADC中：
$\begin{cases}∠APB=∠ADC\\∠ABP=∠ACD\\AP=AD\end{cases}$
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴$BP=CD$，
∵$PC=PD+DC$，$PD=AP$，
∴$PC=PB+PA$。
【答案】
(1) 等边三角形
(2) $PC=PB+PA$，证明如下：
如答图，在PC上截取$PD=AP$，连接AD.
∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又
∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB.
在△APB和△ADC中,$\begin{cases}∠APB=∠ADC,\\∠ABP=∠ACD,\\AP=AD,\end{cases}$
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD.
又
∵PD=AP,
∴PC=DC+PD=PB+PA.
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合常考题，解题核心是利用圆周角定理得到相等的角，同时熟练掌握截长补短法构造全等三角形，以此解决线段和差的证明问题。
【难度系数】
0.6