登录
20. 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位: m),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O,已知AB=8 m,设抛物线解析式为$y=ax^2 -4$.
(1) 求a的值;
(2) 点$C(-1,m)$是抛物线上一点,连接CO并延长到点D,使$OD=OC$,连接BC,BD,求$△ BCD$的面积.
(1) 求a的值;
(2) 点$C(-1,m)$是抛物线上一点,连接CO并延长到点D,使$OD=OC$,连接BC,BD,求$△ BCD$的面积.
答案
20. （1）$\because AB=8$,由抛物线的对称性可知$OB=4$,$\therefore B(4,0)$,将$B(4,0)$代入抛物线解析式,得$0=16a-4$,$\therefore a=\frac{1}{4}.$
（2）如图,过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$,$\therefore ∠ CEO=∠ DFO=90°. \because a=\frac{1}{4}$,$\therefore$抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}x^2 -4.$ 令$x=-1$,$\therefore m=\frac{1}{4}×(-1)^2 -4=-\frac{15}{4}$,$\therefore C(-1,-\frac{15}{4}).$ 在$△ COE$和$△ DOF$中,$∠ COE=∠ DOF$,$∠ CEO=∠ DFO$,$CO=DO$,$\therefore △ COE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$,$\therefore CE=DF=\frac{15}{4}$,$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ BOD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· DF+\frac{1}{2}OB· CE=\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}=15(\mathrm{m}^2).$ $\therefore △ BCD$的面积为$15\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
（1）求参数$a$需要已知抛物线上的点坐标代入计算，根据抛物线关于$y$轴对称，$AB=8$可得点$B$的坐标为$(4,0)$，代入解析式即可求解$a$。
（2）先将求得的$a$代入解析式，再把点$C$的横坐标代入求出$m$，得到$C$点坐标；由$OD=OC$，结合对顶角和垂直构造的直角，可证明$△ COE$和$△ DOF$全等，得到点$D$、$C$到$x$轴的距离相等；最后将$△ BCD$的面积拆分为$△ BOC$和$△ BOD$的面积和，代入对应数值计算即可。
【解析】
（1）$\because AB=8$，由抛物线关于$y$轴对称的性质可得$OB=\frac{1}{2}AB=4$，$\therefore$点$B$坐标为$(4,0)$。
将$B(4,0)$代入抛物线解析式$y=ax^2-4$，得：
$0=a×4^2-4$
$16a=4$
解得$a=\frac{1}{4}$。
（2）由（1）得抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-4$。
将$x=-1$代入解析式，得$m=\frac{1}{4}×(-1)^2-4=-\frac{15}{4}$，$\therefore C(-1,-\frac{15}{4})$。
如图，过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，则$∠ CEO=∠ DFO=90°$。
在$△ COE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}∠ CEO=∠ DFO\\∠ COE=∠ DOF\\OC=OD\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$，$\therefore DF=CE=\left|-\frac{15}{4}\right|=\frac{15}{4}$。
$\because S_{△ BCD}=S_{△ BOC}+S_{△ BOD}$
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× OB× CE+\frac{1}{2}× OB× DF=\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}=15(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）$a=\frac{1}{4}$；（2）$△ BCD$的面积为$15\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数与几何知识考查综合解题能力，解题时要灵活运用抛物线的对称性确定点坐标，通过全等三角形转化线段长度，利用面积拆分法求解不规则三角形的面积，掌握数形结合思想能大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
（1）求参数$a$需要已知抛物线上的点坐标代入计算，根据抛物线关于$y$轴对称，$AB=8$可得点$B$的坐标为$(4,0)$，代入解析式即可求解$a$。
（2）先将求得的$a$代入解析式，再把点$C$的横坐标代入求出$m$，得到$C$点坐标；由$OD=OC$，结合对顶角和垂直构造的直角，可证明$△ COE$和$△ DOF$全等，得到点$D$、$C$到$x$轴的距离相等；最后将$△ BCD$的面积拆分为$△ BOC$和$△ BOD$的面积和，代入对应数值计算即可。
【解析】
（1）$\because AB=8$，由抛物线关于$y$轴对称的性质可得$OB=\frac{1}{2}AB=4$，$\therefore$点$B$坐标为$(4,0)$。
将$B(4,0)$代入抛物线解析式$y=ax^2-4$，得：
$0=a×4^2-4$
$16a=4$
解得$a=\frac{1}{4}$。
（2）由（1）得抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-4$。
将$x=-1$代入解析式，得$m=\frac{1}{4}×(-1)^2-4=-\frac{15}{4}$，$\therefore C(-1,-\frac{15}{4})$。
如图，过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，则$∠ CEO=∠ DFO=90°$。
在$△ COE$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}∠ CEO=∠ DFO\\∠ COE=∠ DOF\\OC=OD\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$，$\therefore DF=CE=\left|-\frac{15}{4}\right|=\frac{15}{4}$。
$\because S_{△ BCD}=S_{△ BOC}+S_{△ BOD}$
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× OB× CE+\frac{1}{2}× OB× DF=\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}+\frac{1}{2}×4×\frac{15}{4}=15(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
（1）$a=\frac{1}{4}$；（2）$△ BCD$的面积为$15\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合二次函数与几何知识考查综合解题能力，解题时要灵活运用抛物线的对称性确定点坐标，通过全等三角形转化线段长度，利用面积拆分法求解不规则三角形的面积，掌握数形结合思想能大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+4$与x轴的一个交点为$A(-2,0)$，与y轴的交点为C，对称轴是直线$x=3$，对称轴与x轴交于点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）经过点B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得$△ PBD ≌ △ PBC$？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求抛物线的解析式；
（2）经过点B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得$△ PBD ≌ △ PBC$？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
21. （1）$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$x$轴的一个交点为$A(-2,0)$,对称轴是直线$x=3$,$\therefore\begin{cases}4a-2b+4=0,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4},\\b=\frac{3}{2}.\end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4.$
（2）如图,$\because$以$B,C,M,N$为顶点的四边形是平行四边形,$\therefore$应分$CM// BN$,$CN// BM$两种情况. ① 当$CM// BN$时,$\because$点$M$和点$C(0,4)$关于对称轴直线$x=3$对称,$\therefore$点$M$的坐标为$(6,4)$;② 当$CN// BM$时,$\because$点$M$的纵坐标是$-4$,点$M$在抛物线上,$\therefore -\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4=-4$,解得$x_1=3+\sqrt{41}$,$x_2=3-\sqrt{41}.\therefore$点$M$的坐标为$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4).$ 综上所述,点$M$的坐标为$(6,4)$或$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4).$
（3）点$D$在$x$轴上,在抛物线上存在点$P$,使得$△ PBD≌△ PBC$,点$P$的坐标是$(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2})$或$(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})$或$(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})$或$(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41}).$
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线过点$A(-2,0)$，且对称轴为直线$x=3$，可将点A坐标代入抛物线解析式，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列二元一次方程组，求解$a、b$的值即可得到解析式。
（2）判定以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形需分类讨论：①当$CM// BN$时，BN在x轴上，因此M的纵坐标与C点相同为4，代入解析式即可求横坐标；②当$CN// BM$时，平行四边形对边平行且相等，因此M的纵坐标为$-4$，代入抛物线解析式即可求解横坐标。
（3）要使$△ PBD≌△ PBC$，则$BD=BC$，PB为公共边，$∠ PBD=∠ PBC$，先确定D点的可能位置，再联立PB所在直线与抛物线解析式即可求解P点坐标，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
（1）$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$x$轴的一个交点为$A(-2,0)$，对称轴是直线$x=3$，
$\therefore\begin{cases}4a-2b+4=0,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4},\\b=\frac{3}{2}.\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4$。
（2）易知$C(0,4)$，$B(3,0)$，以$B,C,M,N$为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：
① 当$CM// BN$时，$\because$点$M$和点$C(0,4)$关于对称轴直线$x=3$对称，$\therefore$点$M$的坐标为$(6,4)$；
② 当$CN// BM$时，$\because$点$M$的纵坐标是$-4$，点$M$在抛物线上，
$\therefore -\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4=-4$，解得$x_1=3+\sqrt{41}$，$x_2=3-\sqrt{41}$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4)$。
综上所述，点$M$的坐标为$(6,4)$或$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4)$。
（3）先计算$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=5$，则$BD=BC=5$，D点坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$，再结合$∠ PBD=∠ PBC$确定PB所在直线，联立抛物线解析式求解，可得点P的坐标是$(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2})$或$(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})$或$(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})$或$(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41})$。
【答案】
（1）抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4}$；
（2）点M的坐标为$\boldsymbol{(6,4)}$、$\boldsymbol{(3+\sqrt{41},-4)}$、$\boldsymbol{(3-\sqrt{41},-4)}$；
（3）存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2})}$、$\boldsymbol{(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})}$、$\boldsymbol{(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})}$、$\boldsymbol{(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41})}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了二次函数、平行四边形、全等三角形的核心知识，解题过程中需要灵活运用分类讨论思想避免漏解，整体计算量较大，对综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.35
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线过点$A(-2,0)$，且对称轴为直线$x=3$，可将点A坐标代入抛物线解析式，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$列二元一次方程组，求解$a、b$的值即可得到解析式。
（2）判定以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形需分类讨论：①当$CM// BN$时，BN在x轴上，因此M的纵坐标与C点相同为4，代入解析式即可求横坐标；②当$CN// BM$时，平行四边形对边平行且相等，因此M的纵坐标为$-4$，代入抛物线解析式即可求解横坐标。
（3）要使$△ PBD≌△ PBC$，则$BD=BC$，PB为公共边，$∠ PBD=∠ PBC$，先确定D点的可能位置，再联立PB所在直线与抛物线解析式即可求解P点坐标，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
（1）$\because$抛物线$y=ax^2+bx+4$与$x$轴的一个交点为$A(-2,0)$，对称轴是直线$x=3$，
$\therefore\begin{cases}4a-2b+4=0,\\-\frac{b}{2a}=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{4},\\b=\frac{3}{2}.\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4$。
（2）易知$C(0,4)$，$B(3,0)$，以$B,C,M,N$为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：
① 当$CM// BN$时，$\because$点$M$和点$C(0,4)$关于对称轴直线$x=3$对称，$\therefore$点$M$的坐标为$(6,4)$；
② 当$CN// BM$时，$\because$点$M$的纵坐标是$-4$，点$M$在抛物线上，
$\therefore -\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4=-4$，解得$x_1=3+\sqrt{41}$，$x_2=3-\sqrt{41}$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4)$。
综上所述，点$M$的坐标为$(6,4)$或$(3+\sqrt{41},-4)$或$(3-\sqrt{41},-4)$。
（3）先计算$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=5$，则$BD=BC=5$，D点坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$，再结合$∠ PBD=∠ PBC$确定PB所在直线，联立抛物线解析式求解，可得点P的坐标是$(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2})$或$(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})$或$(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})$或$(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41})$。
【答案】
（1）抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}x +4}$；
（2）点M的坐标为$\boldsymbol{(6,4)}$、$\boldsymbol{(3+\sqrt{41},-4)}$、$\boldsymbol{(3-\sqrt{41},-4)}$；
（3）存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(4+\sqrt{26},-\frac{1+\sqrt{26}}{2})}$、$\boldsymbol{(4-\sqrt{26},\frac{\sqrt{26}-1}{2})}$、$\boldsymbol{(-1+\sqrt{41},-8+2\sqrt{41})}$、$\boldsymbol{(-1-\sqrt{41},-8-2\sqrt{41})}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了二次函数、平行四边形、全等三角形的核心知识，解题过程中需要灵活运用分类讨论思想避免漏解，整体计算量较大，对综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.35
