登录
15. 二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象如图所示，下列结论：① $ b＜2a $；② $ a+2c-b＞0 $；③ $ b＞a＞c $；④ $ b^2+2ac＜3ab $。其中正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
15. C
解析
【分析】
首先从二次函数图像提取核心信息：开口向上可得$a＞0$；对称轴在$x=-1$和$x=0$之间，可得$-1＜-\frac{b}{2a}＜0$；抛物线与y轴交于正半轴可得$c＞0$；$x=-1$时对应抛物线上的点在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$。结合以上信息，利用二次函数性质和不等式变形逐一验证四个结论即可。
【解析】
由图像可得以下已知条件：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，且$-1＜-\frac{b}{2a}＜0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$；
4. 当$x=-1$时，$y=a-b+c＜0$。
逐一判断结论：
① 对$-1＜-\frac{b}{2a}$，两边同乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-2a＜-b$，两边同乘$-1$（不等号方向改变）得$b＜2a$，故①正确；
② 由$a-b+c＜0$可得$a-b＜-c$，则$a+2c-b = (a-b+c)+c ＜ c$，仅已知$c＞0$，无法确定$a+2c-b$的符号，存在$a+2c-b＜0$的情况，故②错误；
③ 由$-\frac{b}{2a}＜0$得$b＞0$，结合①的$b＜2a$，再由$a-b+c＜0$得$c＜b-a$，因$c＞0$，故$b-a＞0$即$b＞a$；又两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}＜1$（两个零点均为负，且绝对值大的零点小于$-1$），故$c＜a$，综上$b＞a＞c$，③正确；
④ 要证$b^2+2ac＜3ab$，由$a-b+c＜0$得$c＜b-a$，代入左边得：
$b^2+2ac ＜ b^2+2a(b-a)=b^2+2ab-2a^2$
只需证$b^2+2ab-2a^2＜3ab$，整理得$b^2-ab-2a^2＜0$，因式分解为$(b-2a)(b+a)＜0$。
由①知$b-2a＜0$，又$a＞0,b＞0$故$b+a＞0$，因此$(b-2a)(b+a)＜0$成立，故$b^2+2ac＜3ab$，④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系、不等式性质、二次函数零点性质
【点评】
本题是二次函数系数判断的经典综合题，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、特殊点函数值和系数的对应关系，结合不等式变形推导结论，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先从二次函数图像提取核心信息：开口向上可得$a＞0$；对称轴在$x=-1$和$x=0$之间，可得$-1＜-\frac{b}{2a}＜0$；抛物线与y轴交于正半轴可得$c＞0$；$x=-1$时对应抛物线上的点在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$。结合以上信息，利用二次函数性质和不等式变形逐一验证四个结论即可。
【解析】
由图像可得以下已知条件：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；
2. 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，且$-1＜-\frac{b}{2a}＜0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$；
4. 当$x=-1$时，$y=a-b+c＜0$。
逐一判断结论：
① 对$-1＜-\frac{b}{2a}$，两边同乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-2a＜-b$，两边同乘$-1$（不等号方向改变）得$b＜2a$，故①正确；
② 由$a-b+c＜0$可得$a-b＜-c$，则$a+2c-b = (a-b+c)+c ＜ c$，仅已知$c＞0$，无法确定$a+2c-b$的符号，存在$a+2c-b＜0$的情况，故②错误；
③ 由$-\frac{b}{2a}＜0$得$b＞0$，结合①的$b＜2a$，再由$a-b+c＜0$得$c＜b-a$，因$c＞0$，故$b-a＞0$即$b＞a$；又两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}＜1$（两个零点均为负，且绝对值大的零点小于$-1$），故$c＜a$，综上$b＞a＞c$，③正确；
④ 要证$b^2+2ac＜3ab$，由$a-b+c＜0$得$c＜b-a$，代入左边得：
$b^2+2ac ＜ b^2+2a(b-a)=b^2+2ab-2a^2$
只需证$b^2+2ab-2a^2＜3ab$，整理得$b^2-ab-2a^2＜0$，因式分解为$(b-2a)(b+a)＜0$。
由①知$b-2a＜0$，又$a＞0,b＞0$故$b+a＞0$，因此$(b-2a)(b+a)＜0$成立，故$b^2+2ac＜3ab$，④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系、不等式性质、二次函数零点性质
【点评】
本题是二次函数系数判断的经典综合题，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、特殊点函数值和系数的对应关系，结合不等式变形推导结论，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
16. 若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为$x=-1$，与$x$轴的一个交点在$(-3,0)$和$(-2,0)$之间，其部分图象如图所示，则下列结论：① $b^2 -4ac ＞0$；② $2a = b$；③ 点$(-\dfrac{7}{2},y_1),(-\dfrac{3}{2},y_2),(\dfrac{5}{4},y_3)$是该抛物线上的点，且$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$；④ $3b +2c ＜0$；⑤ $t(at +b) ≤ a -b$（$t$为任意实数）。其中正确结论的个数是（
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
C
）A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
16. C
解析
【分析】
解题时先结合二次函数图象提取已知信息：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴有两个交点，其中一个交点在$(-3,0)$和$(-2,0)$之间，再结合二次函数性质逐个判断结论：
1. 依据判别式和$x$轴交点个数的关系判断①；
2. 利用对称轴公式推导$a$和$b$的关系判断②；
3. 开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，计算三个点到对称轴的距离判断③；
4. 利用抛物线对称性得$x=1$的函数值和$x=-3$相等，结合$x=-3$时$y＜0$，代入$x=1$的函数式结合$b=2a$推导判断④；
5. 将不等式变形后，结合开口向下时顶点为函数最大值的性质判断⑤。
【解析】
逐个分析结论：
① $\because$抛物线与$x$轴有两个交点，$\therefore$一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，$\therefore b^2-4ac＞0$，故①正确；
② $\because$抛物线对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，即$2a=b$，故②正确；
③ 抛物线开口向下，离对称轴$x=-1$越近的点函数值越大：
点$(-\dfrac{7}{2},y_1)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{7}{2} - (-1)\right|=\dfrac{5}{2}=2.5$；
点$(-\dfrac{3}{2},y_2)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{3}{2} - (-1)\right|=\dfrac{1}{2}=0.5$；
点$(\dfrac{5}{4},y_3)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{5}{4} - (-1)\right|=\dfrac{9}{4}=2.25$；
距离大小：$0.5＜2.25＜2.5$，$\therefore y_2＞y_3＞y_1$，即$y_1＜y_3＜y_2$，故③错误；
④ 由对称轴$x=-1$可知，$x=1$和$x=-3$关于对称轴对称，由图象得$x=-3$时$y＜0$，$\therefore x=1$时$y=a+b+c＜0$，
又$\because b=2a$，即$a=\dfrac{b}{2}$，代入得：$\dfrac{b}{2} + b + c ＜0$，整理得$\dfrac{3b}{2} +c ＜0$，两边乘2得$3b+2c＜0$，故④正确；
⑤ 不等式$t(at+b)≤a-b$整理得：$at^2+bt ≤a-b$，移项得$at^2+bt+c ≤a -b +c$，
右边$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，即抛物线顶点的纵坐标，$\because$抛物线开口向下，顶点是函数的最大值点，
$\therefore$对任意实数$t$，都有$at^2+bt+c ≤a -b +c$，即$t(at+b)≤a-b$，故⑤正确。
综上，正确的结论是①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数综合类题型，解题关键是结合图象提取有效信息，熟练运用对称轴、函数最值、对称性等性质分析判断，能有效考查对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合二次函数图象提取已知信息：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴有两个交点，其中一个交点在$(-3,0)$和$(-2,0)$之间，再结合二次函数性质逐个判断结论：
1. 依据判别式和$x$轴交点个数的关系判断①；
2. 利用对称轴公式推导$a$和$b$的关系判断②；
3. 开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，计算三个点到对称轴的距离判断③；
4. 利用抛物线对称性得$x=1$的函数值和$x=-3$相等，结合$x=-3$时$y＜0$，代入$x=1$的函数式结合$b=2a$推导判断④；
5. 将不等式变形后，结合开口向下时顶点为函数最大值的性质判断⑤。
【解析】
逐个分析结论：
① $\because$抛物线与$x$轴有两个交点，$\therefore$一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，$\therefore b^2-4ac＞0$，故①正确；
② $\because$抛物线对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，即$2a=b$，故②正确；
③ 抛物线开口向下，离对称轴$x=-1$越近的点函数值越大：
点$(-\dfrac{7}{2},y_1)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{7}{2} - (-1)\right|=\dfrac{5}{2}=2.5$；
点$(-\dfrac{3}{2},y_2)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{3}{2} - (-1)\right|=\dfrac{1}{2}=0.5$；
点$(\dfrac{5}{4},y_3)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{5}{4} - (-1)\right|=\dfrac{9}{4}=2.25$；
距离大小：$0.5＜2.25＜2.5$，$\therefore y_2＞y_3＞y_1$，即$y_1＜y_3＜y_2$，故③错误；
④ 由对称轴$x=-1$可知，$x=1$和$x=-3$关于对称轴对称，由图象得$x=-3$时$y＜0$，$\therefore x=1$时$y=a+b+c＜0$，
又$\because b=2a$，即$a=\dfrac{b}{2}$，代入得：$\dfrac{b}{2} + b + c ＜0$，整理得$\dfrac{3b}{2} +c ＜0$，两边乘2得$3b+2c＜0$，故④正确；
⑤ 不等式$t(at+b)≤a-b$整理得：$at^2+bt ≤a-b$，移项得$at^2+bt+c ≤a -b +c$，
右边$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，即抛物线顶点的纵坐标，$\because$抛物线开口向下，顶点是函数的最大值点，
$\therefore$对任意实数$t$，都有$at^2+bt+c ≤a -b +c$，即$t(at+b)≤a-b$，故⑤正确。
综上，正确的结论是①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数综合类题型，解题关键是结合图象提取有效信息，熟练运用对称轴、函数最值、对称性等性质分析判断，能有效考查对二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
17. 已知二次函数$y=ax^2 - bx - 2(a≠0)$的图象的顶点在第四象限，且过点$(-1,0)$，当$a - b$为整数时，$ab$的值为（
A.$\frac{3}{4}$或1
B.$\frac{1}{4}$或1
C.$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$
A
）A.$\frac{3}{4}$或1
B.$\frac{1}{4}$或1
C.$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$
答案
17. A
解析
【分析】
首先将已知点$(-1,0)$代入二次函数解析式，得到$a$与$b$的等量关系；再结合顶点在第四象限的条件，推导$a$的取值范围；然后根据$a-b$为整数的限制，确定$a$的可能取值，最后计算$ab$的值即可。
【解析】
第一步：将点$(-1,0)$代入$y=ax^2 - bx - 2$，得：
$a· (-1)^2 - b· (-1) - 2 = 0$
化简得：$a + b = 2$，即$b = 2 - a$。
第二步：分析顶点位置条件：
二次函数顶点横坐标为$\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4a· (-2) - (-b)^2}{4a}=\frac{-8a - b^2}{4a}$。
∵顶点在第四象限，
∴横坐标＞0，纵坐标＜0，且二次函数开口向上，即$a＞0$。
由横坐标$\frac{b}{2a}＞0$，$a＞0$，得$b＞0$，代入$b=2-a$得：$2 - a ＞ 0$，即$a ＜ 2$。
综上，$0 ＜ a ＜ 2$。
第三步：结合$a-b$为整数的条件：
将$b=2-a$代入$a-b$得：$a - (2 - a) = 2a - 2$。
∵$0 ＜ a ＜ 2$，
∴$-2 ＜ 2a - 2 ＜ 2$。
∵$2a-2$为整数，
∴$2a-2$的可能取值为$-1、0、1$。
①当$2a - 2 = -1$时，$a=\frac{1}{2}$，则$b=2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$ab=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$；
②当$2a - 2 = 0$时，$a=1$，则$b=2 - 1=1$，$ab=1×1=1$；
③当$2a - 2 = 1$时，$a=\frac{3}{2}$，则$b=2 - \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，$ab=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
综上，$ab$的值为$\frac{3}{4}$或$1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的应用
【点评】
本题综合考查了二次函数的图象性质、点与函数解析式的关系，解题的关键是通过已知条件推导出$a$的取值范围，再结合整数的限制求出$a$的可能值，计算过程中要注意顶点坐标公式的正确应用。
【难度系数】
0.65
首先将已知点$(-1,0)$代入二次函数解析式，得到$a$与$b$的等量关系；再结合顶点在第四象限的条件，推导$a$的取值范围；然后根据$a-b$为整数的限制，确定$a$的可能取值，最后计算$ab$的值即可。
【解析】
第一步：将点$(-1,0)$代入$y=ax^2 - bx - 2$，得：
$a· (-1)^2 - b· (-1) - 2 = 0$
化简得：$a + b = 2$，即$b = 2 - a$。
第二步：分析顶点位置条件：
二次函数顶点横坐标为$\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4a· (-2) - (-b)^2}{4a}=\frac{-8a - b^2}{4a}$。
∵顶点在第四象限，
∴横坐标＞0，纵坐标＜0，且二次函数开口向上，即$a＞0$。
由横坐标$\frac{b}{2a}＞0$，$a＞0$，得$b＞0$，代入$b=2-a$得：$2 - a ＞ 0$，即$a ＜ 2$。
综上，$0 ＜ a ＜ 2$。
第三步：结合$a-b$为整数的条件：
将$b=2-a$代入$a-b$得：$a - (2 - a) = 2a - 2$。
∵$0 ＜ a ＜ 2$，
∴$-2 ＜ 2a - 2 ＜ 2$。
∵$2a-2$为整数，
∴$2a-2$的可能取值为$-1、0、1$。
①当$2a - 2 = -1$时，$a=\frac{1}{2}$，则$b=2 - \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$ab=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$；
②当$2a - 2 = 0$时，$a=1$，则$b=2 - 1=1$，$ab=1×1=1$；
③当$2a - 2 = 1$时，$a=\frac{3}{2}$，则$b=2 - \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，$ab=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。
综上，$ab$的值为$\frac{3}{4}$或$1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；不等式的应用
【点评】
本题综合考查了二次函数的图象性质、点与函数解析式的关系，解题的关键是通过已知条件推导出$a$的取值范围，再结合整数的限制求出$a$的可能值，计算过程中要注意顶点坐标公式的正确应用。
【难度系数】
0.65
18. 若$ m,n(n＜m) $是关于$ x $的一元二次方程$ 1-(x-a)(x-b)=0 $的两个根，且$ b＜a $，则$ m,n,b,a $的大小关系是（
A.$ m＜a＜b＜n $
B.$ a＜m＜n＜b $
C.$ b＜n＜m＜a $
D.$ n＜b＜a＜m $
D
）A.$ m＜a＜b＜n $
B.$ a＜m＜n＜b $
C.$ b＜n＜m＜a $
D.$ n＜b＜a＜m $
答案
18. D
解析
【分析】
本题可通过数形结合的方法求解：首先将原方程变形为两个函数相等的形式，构造对应的二次函数与常数函数，方程的根就是两个函数交点的横坐标。再结合二次函数的开口方向、与x轴的交点位置，就能判断交点横坐标和a、b的大小关系，最终得到四个数的排序。
【解析】
1. 方程变形：将原方程$1-(x-a)(x-b)=0$整理为$(x-a)(x-b)=1$。
2. 构造函数：设二次函数$y=(x-a)(x-b)$，该函数二次项系数为正，因此抛物线开口向上。
3. 确定二次函数与x轴交点：令$y=0$，解得$x=b$或$x=a$，结合$b＜a$，可知抛物线与x轴的两个交点从左到右依次为$(b,0)$、$(a,0)$。
4. 分析函数值为1时的x范围：抛物线开口向上，仅当$x＜b$或$x＞a$时，函数值$y＞0$。而$1＞0$，因此直线$y=1$与抛物线的两个交点分别位于x轴两个交点的外侧，即一个交点横坐标小于$b$，另一个交点横坐标大于$a$。
5. 结合$n＜m$的条件，可得较小的根$n＜b$，较大的根$m＞a$，因此大小关系为$n＜b＜a＜m$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质，函数与方程的关系，数形结合法
【点评】
本题无需通过解方程求根，利用函数图像的直观性即可快速判断根的大小，是数形结合思想在代数问题中的典型应用，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6
本题可通过数形结合的方法求解：首先将原方程变形为两个函数相等的形式，构造对应的二次函数与常数函数，方程的根就是两个函数交点的横坐标。再结合二次函数的开口方向、与x轴的交点位置，就能判断交点横坐标和a、b的大小关系，最终得到四个数的排序。
【解析】
1. 方程变形：将原方程$1-(x-a)(x-b)=0$整理为$(x-a)(x-b)=1$。
2. 构造函数：设二次函数$y=(x-a)(x-b)$，该函数二次项系数为正，因此抛物线开口向上。
3. 确定二次函数与x轴交点：令$y=0$，解得$x=b$或$x=a$，结合$b＜a$，可知抛物线与x轴的两个交点从左到右依次为$(b,0)$、$(a,0)$。
4. 分析函数值为1时的x范围：抛物线开口向上，仅当$x＜b$或$x＞a$时，函数值$y＞0$。而$1＞0$，因此直线$y=1$与抛物线的两个交点分别位于x轴两个交点的外侧，即一个交点横坐标小于$b$，另一个交点横坐标大于$a$。
5. 结合$n＜m$的条件，可得较小的根$n＜b$，较大的根$m＞a$，因此大小关系为$n＜b＜a＜m$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质，函数与方程的关系，数形结合法
【点评】
本题无需通过解方程求根，利用函数图像的直观性即可快速判断根的大小，是数形结合思想在代数问题中的典型应用，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6
19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,3)，它的对称轴是直线$x=-\frac{1}{2}$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标。
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标。
答案
19. （1）设抛物线的解析式为$y=a(x+\frac{1}{2})^2 +k$,把$A(2,0),C(0,3)$代入,得$\begin{cases}\frac{25}{4}a +k=0,\\\frac{1}{4}a +k=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\k=\frac{25}{8}.\end{cases}$ $\therefore y=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}$,即$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +3.$
（2）令$y=0$,即$-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}=0$,解得$x_1=2,x_2=-3.$ $\therefore B(-3,0).$ ① 当$CM=BM$时，$\because BO=CO=3$,即$△ BOC$是等腰直角三角形,$\therefore$当点$M$与原点$O$重合时,$△ MBC$是等腰三角形.$\therefore$点$M$的坐标为$(0,0)$;② 当$BC=BM$时,在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$BO=CO=3$,由勾股定理,得$BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.$ $\therefore BM=3\sqrt{2}.$ $\therefore$点$M$的坐标为$(3\sqrt{2}-3,0)$;③ 当$CM=CB$时,$\because CO⊥ BM,\therefore MO=BO=3.$ 又$\because$点$M$在线段$AB$上,$\therefore$不合题意,舍去.综上,点$M$的坐标为$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0).$
（2）令$y=0$,即$-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}=0$,解得$x_1=2,x_2=-3.$ $\therefore B(-3,0).$ ① 当$CM=BM$时，$\because BO=CO=3$,即$△ BOC$是等腰直角三角形,$\therefore$当点$M$与原点$O$重合时,$△ MBC$是等腰三角形.$\therefore$点$M$的坐标为$(0,0)$;② 当$BC=BM$时,在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$BO=CO=3$,由勾股定理,得$BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.$ $\therefore BM=3\sqrt{2}.$ $\therefore$点$M$的坐标为$(3\sqrt{2}-3,0)$;③ 当$CM=CB$时,$\because CO⊥ BM,\therefore MO=BO=3.$ 又$\because$点$M$在线段$AB$上,$\therefore$不合题意,舍去.综上,点$M$的坐标为$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0).$
解析
【分析】
（1）已知抛物线的对称轴，可优先设顶点式解析式，再将已知点A、C的坐标代入，得到关于参数的二元一次方程组，解出参数即可得到抛物线解析式。
（2）先求出抛物线与x轴交点B的坐标，再分三类讨论△MBC为等腰三角形的情况：CM=BM、BC=BM、CM=CB，结合M在线段AB上的限制，排除不合题意的解，最终得到M的坐标。
【解析】
（1）设抛物线的解析式为$y=a(x+\frac{1}{2})^2 +k$，
把$A(2,0),C(0,3)$代入解析式，得：
$\begin{cases}\frac{25}{4}a +k=0\\\frac{1}{4}a +k=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\k=\frac{25}{8}\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}$，整理为一般式得$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +3$。
（2）令$y=0$，即$-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}=0$，
解得$x_1=2,x_2=-3$，$\therefore B(-3,0)$。
分三种情况讨论：
① 当$CM=BM$时：
$\because BO=CO=3$，$△ BOC$是等腰直角三角形，当点M与原点O重合时，满足$CM=BM$，此时$M(0,0)$，且在线段AB上，符合条件；
② 当$BC=BM$时：
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
$\therefore BM=3\sqrt{2}$，结合B点坐标得M坐标为$(3\sqrt{2}-3,0)$，在线段AB上，符合条件；
③ 当$CM=CB$时：
$\because CO⊥ BM$，由等腰三角形三线合一得$MO=BO=3$，此时M坐标为$(3,0)$，不在线段AB上，故舍去。
综上，点M的坐标为$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +3$
（2）$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$
【知识点】
二次函数解析式求解，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，既考查了用待定系数法求二次函数解析式，又考查了等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意结合点的取值范围排除不符合条件的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
（1）已知抛物线的对称轴，可优先设顶点式解析式，再将已知点A、C的坐标代入，得到关于参数的二元一次方程组，解出参数即可得到抛物线解析式。
（2）先求出抛物线与x轴交点B的坐标，再分三类讨论△MBC为等腰三角形的情况：CM=BM、BC=BM、CM=CB，结合M在线段AB上的限制，排除不合题意的解，最终得到M的坐标。
【解析】
（1）设抛物线的解析式为$y=a(x+\frac{1}{2})^2 +k$，
把$A(2,0),C(0,3)$代入解析式，得：
$\begin{cases}\frac{25}{4}a +k=0\\\frac{1}{4}a +k=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\k=\frac{25}{8}\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}$，整理为一般式得$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +3$。
（2）令$y=0$，即$-\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{25}{8}=0$，
解得$x_1=2,x_2=-3$，$\therefore B(-3,0)$。
分三种情况讨论：
① 当$CM=BM$时：
$\because BO=CO=3$，$△ BOC$是等腰直角三角形，当点M与原点O重合时，满足$CM=BM$，此时$M(0,0)$，且在线段AB上，符合条件；
② 当$BC=BM$时：
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
$\therefore BM=3\sqrt{2}$，结合B点坐标得M坐标为$(3\sqrt{2}-3,0)$，在线段AB上，符合条件；
③ 当$CM=CB$时：
$\because CO⊥ BM$，由等腰三角形三线合一得$MO=BO=3$，此时M坐标为$(3,0)$，不在线段AB上，故舍去。
综上，点M的坐标为$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{2}x +3$
（2）$(0,0)$或$(3\sqrt{2}-3,0)$
【知识点】
二次函数解析式求解，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，既考查了用待定系数法求二次函数解析式，又考查了等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意结合点的取值范围排除不符合条件的解，避免多解错误。
【难度系数】
0.6
