登录
1. 一名同学在计算一个面积为20 $\mathrm{cm}^2$ 的平行四边形的底和高时，列出了下表.
（1）请你帮这名同学完成此表；
（2）底和高的变化规律：$\underline{\hspace{10cm}}$ .
（1）请你帮这名同学完成此表；
（2）底和高的变化规律：$\underline{\hspace{10cm}}$ .
答案
(1) 20 10 $\frac{20}{3}$ 5 4 2 $\frac{4}{3}$ 1 (2) 当平行四边形的面积一定时，底和高成反比例关系
解析
【分析】
解决这道题首先回忆平行四边形的面积公式：平行四边形面积=底×高，已知面积固定为20$\mathrm{cm}^2$，因此高=面积÷底，利用这个公式就可以计算出对应底的高完成表格；再观察底和高的变化关系，结合反比例的定义判断两者的关系：两个相关联的量，若它们的乘积为定值，则这两个量成反比例关系。
【解析】
（1）已知平行四边形面积$S=20\mathrm{cm}^2$，由$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$可得：$\mathrm{高}=S÷\mathrm{底}=20÷\mathrm{底}$。
当底为1cm时，高$=20÷1=20\mathrm{cm}$；
当底为2cm时，高$=20÷2=10\mathrm{cm}$；
当底为3cm时，高$=20÷3=\frac{20}{3}\mathrm{cm}$；
当底为4cm时，高$=20÷4=5\mathrm{cm}$；
当底为5cm时，高$=20÷5=4\mathrm{cm}$；
当底为10cm时，高$=20÷10=2\mathrm{cm}$；
当底为15cm时，高$=20÷15=\frac{4}{3}\mathrm{cm}$；
当底为20cm时，高$=20÷20=1\mathrm{cm}$。
（2）观察计算结果可得：底和高的乘积始终为20（即平行四边形面积固定），底增大时高随之减小，符合反比例关系的特征。
【答案】
(1) 20、10、$\frac{20}{3}$、5、4、2、$\frac{4}{3}$、1
(2) 当平行四边形的面积一定时，底和高成反比例关系
【知识点】
平行四边形面积计算、反比例关系判定、反比例函数概念
【点评】
本题结合几何图形的面积公式考查反比例相关知识，解题关键是牢记面积公式和反比例的判定条件，属于基础类题目，注重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先回忆平行四边形的面积公式：平行四边形面积=底×高，已知面积固定为20$\mathrm{cm}^2$，因此高=面积÷底，利用这个公式就可以计算出对应底的高完成表格；再观察底和高的变化关系，结合反比例的定义判断两者的关系：两个相关联的量，若它们的乘积为定值，则这两个量成反比例关系。
【解析】
（1）已知平行四边形面积$S=20\mathrm{cm}^2$，由$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$可得：$\mathrm{高}=S÷\mathrm{底}=20÷\mathrm{底}$。
当底为1cm时，高$=20÷1=20\mathrm{cm}$；
当底为2cm时，高$=20÷2=10\mathrm{cm}$；
当底为3cm时，高$=20÷3=\frac{20}{3}\mathrm{cm}$；
当底为4cm时，高$=20÷4=5\mathrm{cm}$；
当底为5cm时，高$=20÷5=4\mathrm{cm}$；
当底为10cm时，高$=20÷10=2\mathrm{cm}$；
当底为15cm时，高$=20÷15=\frac{4}{3}\mathrm{cm}$；
当底为20cm时，高$=20÷20=1\mathrm{cm}$。
（2）观察计算结果可得：底和高的乘积始终为20（即平行四边形面积固定），底增大时高随之减小，符合反比例关系的特征。
【答案】
(1) 20、10、$\frac{20}{3}$、5、4、2、$\frac{4}{3}$、1
(2) 当平行四边形的面积一定时，底和高成反比例关系
【知识点】
平行四边形面积计算、反比例关系判定、反比例函数概念
【点评】
本题结合几何图形的面积公式考查反比例相关知识，解题关键是牢记面积公式和反比例的判定条件，属于基础类题目，注重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
2. 一条长为 800 km 的高速公路，一辆小汽车在上面行驶，行驶速度 $ v $（单位：km/h）是行驶时间 $ t $（单位：h）的 $\underline{\hspace{5cm}}$ 函数。
答案
反比例
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求是判断速度v和时间t的函数类型，第一步先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间，本题中高速公路总长度即路程为固定值800km，因此可推导出v和t的乘积为定值；第二步再对照反比例函数的定义，若两个变量的乘积为非零常数，则这两个变量满足反比例函数关系，由此即可得出结论。
【解析】
根据行程问题基本公式可得：路程$ s = vt $
已知高速公路总长固定为800km，即$ s=800\ \mathrm{km} $，代入得：
$ vt=800 $，变形为$ v=\frac{800}{t} $
根据反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数为反比例函数，此处$ k=800≠0 $，符合反比例函数的形式，因此v是t的反比例函数。
【答案】
反比例
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 行程问题基本关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，结合常见的行程场景考查反比例函数的识别，核心是抓住两个变量乘积为定值的特征，结合定义即可判断。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求是判断速度v和时间t的函数类型，第一步先回忆行程问题的核心等量关系：路程=速度×时间，本题中高速公路总长度即路程为固定值800km，因此可推导出v和t的乘积为定值；第二步再对照反比例函数的定义，若两个变量的乘积为非零常数，则这两个变量满足反比例函数关系，由此即可得出结论。
【解析】
根据行程问题基本公式可得：路程$ s = vt $
已知高速公路总长固定为800km，即$ s=800\ \mathrm{km} $，代入得：
$ vt=800 $，变形为$ v=\frac{800}{t} $
根据反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的函数为反比例函数，此处$ k=800≠0 $，符合反比例函数的形式，因此v是t的反比例函数。
【答案】
反比例
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 行程问题基本关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，结合常见的行程场景考查反比例函数的识别，核心是抓住两个变量乘积为定值的特征，结合定义即可判断。
【难度系数】
0.9
3. 反比例函数 $y=-\dfrac{4}{3x}$ 中的 $k=$
$-\dfrac{4}{3}$
.答案
$-\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数。接下来我们需要将题目给出的函数解析式变形为标准形式，将常数项合并后和标准形式对比，即可求出$k$的值，注意不要忽略分母中的系数3。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
将给定的函数变形：
$y=-\dfrac{4}{3x}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{x}$
对比反比例函数的一般形式，可得$k=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的一般形式
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题核心是将所给函数转化为反比例函数的标准形式后对应确定$k$值，属于常规基础题，容易因粗心忽略分母中的常数3直接取分子为$k$而失分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的标准形式：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数。接下来我们需要将题目给出的函数解析式变形为标准形式，将常数项合并后和标准形式对比，即可求出$k$的值，注意不要忽略分母中的系数3。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
将给定的函数变形：
$y=-\dfrac{4}{3x}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{x}$
对比反比例函数的一般形式，可得$k=-\dfrac{4}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数的概念，反比例函数的一般形式
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题核心是将所给函数转化为反比例函数的标准形式后对应确定$k$值，属于常规基础题，容易因粗心忽略分母中的常数3直接取分子为$k$而失分。
【难度系数】
0.9
4. 写出下列问题中的函数解析式：
（1）某商场推出免息分期付款购买电脑的活动，一台笔记本电脑售价为12 000万元，首期付款4 000元后，分n期（n为正整数，且n≤24）还清，每期付款相同. 求每期的付款数y（单位：元）与期数n之间的函数解析式；
（2）九年级（3）班同学要为校运动会制作小红花1 000朵. 求完成的天数y与该班同学每天能制作的朵数x（x为正整数）之间的函数的解析式.
（1）某商场推出免息分期付款购买电脑的活动，一台笔记本电脑售价为12 000万元，首期付款4 000元后，分n期（n为正整数，且n≤24）还清，每期付款相同. 求每期的付款数y（单位：元）与期数n之间的函数解析式；
（2）九年级（3）班同学要为校运动会制作小红花1 000朵. 求完成的天数y与该班同学每天能制作的朵数x（x为正整数）之间的函数的解析式.
答案
(1) $ny=8\ 000$（n 为正整数，且 $n≤24$） (2) $xy=1\ 000$（x 为正整数）
解析
【分析】
对于（1），先计算首付后剩余需要支付的欠款总额，再根据“每期付款数×付款期数=剩余欠款总额”的等量关系列等式，同时标注题目给出的n的取值范围；对于（2），根据“每天制作的朵数×完成天数=需制作的总朵数”的等量关系列等式，注意标注x为正整数的限定条件。
【解析】
（1）首先计算首付后剩余的欠款：总售价为12000元，首期付款4000元，剩余欠款为$12000-4000=8000$元。
已知分n期付清，每期付款y元，n期总付款等于剩余欠款，因此可得：$ny=8000$，其中n为正整数，且$n≤24$。
（2）已知总共要制作1000朵小红花，每天制作x朵，y天完成，根据“工作效率×工作时间=工作总量”的关系可得：$xy=1000$，其中x为正整数。
【答案】
(1) $ny=8\ 000$（n 为正整数，且 $n≤24$） (2) $xy=1\ 000$（x 为正整数）
【知识点】
列实际问题函数解析式，反比例函数的意义，自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题核心是找准题目中的等量关系，列关系式时要注意结合实际意义标注自变量的取值范围，避免漏写限定条件。
【难度系数】
0.9
对于（1），先计算首付后剩余需要支付的欠款总额，再根据“每期付款数×付款期数=剩余欠款总额”的等量关系列等式，同时标注题目给出的n的取值范围；对于（2），根据“每天制作的朵数×完成天数=需制作的总朵数”的等量关系列等式，注意标注x为正整数的限定条件。
【解析】
（1）首先计算首付后剩余的欠款：总售价为12000元，首期付款4000元，剩余欠款为$12000-4000=8000$元。
已知分n期付清，每期付款y元，n期总付款等于剩余欠款，因此可得：$ny=8000$，其中n为正整数，且$n≤24$。
（2）已知总共要制作1000朵小红花，每天制作x朵，y天完成，根据“工作效率×工作时间=工作总量”的关系可得：$xy=1000$，其中x为正整数。
【答案】
(1) $ny=8\ 000$（n 为正整数，且 $n≤24$） (2) $xy=1\ 000$（x 为正整数）
【知识点】
列实际问题函数解析式，反比例函数的意义，自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题核心是找准题目中的等量关系，列关系式时要注意结合实际意义标注自变量的取值范围，避免漏写限定条件。
【难度系数】
0.9
1. 若$y$与$x$成正比例，$y$与$z$成反比例，则$z$是$x$的
反比例
函数。答案
反比例
解析
【分析】
要判断z是x的什么函数，需先推导z与x的函数关系式。首先回忆正比例、反比例函数的定义，先根据题意分别写出y与x、y与z的函数表达式，再联立两个表达式消去中间变量y，整理得到z关于x的表达式，最后对照函数定义即可判断类型。
【解析】
1. 根据正比例函数的定义，
∵y与x成正比例，
∴设$ y = k_1x $（$ k_1 $为常数，且$ k_1 ≠ 0 $）；
2. 根据反比例函数的定义，
∵y与z成反比例，
∴设$ y = \frac{k_2}{z} $（$ k_2 $为常数，且$ k_2 ≠ 0 $）；
3. 联立两个表达式，得$ k_1x = \frac{k_2}{z} $，整理得$ z = \frac{k_2}{k_1x} $；
4. 令$ k = \frac{k_2}{k_1} $，
∵$ k_1 ≠ 0 $、$ k_2 ≠ 0 $，
∴$ k $为不等于0的常数，此时$ z = \frac{k}{x} $，符合反比例函数的定义，因此z是x的反比例函数。
【答案】
反比例
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题侧重考查对正比例、反比例函数定义的理解与应用，解题核心是通过设参数写出对应函数表达式，消去中间变量后判断函数类型，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要判断z是x的什么函数，需先推导z与x的函数关系式。首先回忆正比例、反比例函数的定义，先根据题意分别写出y与x、y与z的函数表达式，再联立两个表达式消去中间变量y，整理得到z关于x的表达式，最后对照函数定义即可判断类型。
【解析】
1. 根据正比例函数的定义，
∵y与x成正比例，
∴设$ y = k_1x $（$ k_1 $为常数，且$ k_1 ≠ 0 $）；
2. 根据反比例函数的定义，
∵y与z成反比例，
∴设$ y = \frac{k_2}{z} $（$ k_2 $为常数，且$ k_2 ≠ 0 $）；
3. 联立两个表达式，得$ k_1x = \frac{k_2}{z} $，整理得$ z = \frac{k_2}{k_1x} $；
4. 令$ k = \frac{k_2}{k_1} $，
∵$ k_1 ≠ 0 $、$ k_2 ≠ 0 $，
∴$ k $为不等于0的常数，此时$ z = \frac{k}{x} $，符合反比例函数的定义，因此z是x的反比例函数。
【答案】
反比例
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题侧重考查对正比例、反比例函数定义的理解与应用，解题核心是通过设参数写出对应函数表达式，消去中间变量后判断函数类型，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
2. 函数$y=\frac{m-1}{x}$，当$m$
≠1
时，$y$是$x$的反比例函数。答案
≠1
解析
【分析】
要判断函数是否为反比例函数，需紧扣反比例函数的定义核心：首先函数形式要符合$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数）的结构，其次比例系数$k$不能为0。本题给出的函数形式已经满足$y=\frac{k}{x}$的结构，因此只需令对应比例系数$m-1≠0$，解该不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对于函数$y=\frac{m-1}{x}$，其比例系数为$m-1$，根据定义要求：
$m-1≠0$
解得：$m≠1$
【答案】
≠1
【知识点】
反比例函数的概念，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记反比例函数定义中比例系数不为0的隐含限制条件，避免忽略该限制导致失分。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为反比例函数，需紧扣反比例函数的定义核心：首先函数形式要符合$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数）的结构，其次比例系数$k$不能为0。本题给出的函数形式已经满足$y=\frac{k}{x}$的结构，因此只需令对应比例系数$m-1≠0$，解该不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对于函数$y=\frac{m-1}{x}$，其比例系数为$m-1$，根据定义要求：
$m-1≠0$
解得：$m≠1$
【答案】
≠1
【知识点】
反比例函数的概念，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记反比例函数定义中比例系数不为0的隐含限制条件，避免忽略该限制导致失分。
【难度系数】
0.8
