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3. 下列函数:① $y=\frac{1}{x}$；② $y=-\sqrt{3}x$；③ $y=-\frac{5}{2x}$；④ $y=\frac{1}{2}x$. 其中反比例函数有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确反比例函数的定义，再逐个对给出的函数进行判定，统计符合反比例函数定义的数量即可得到答案。首先回忆反比例函数的判定标准：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，注意要和正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式区分开。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，据此逐个分析：
1. 函数①$y=\frac{1}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=1\ne0$，属于反比例函数；
2. 函数②$y=-\sqrt{3}x$：符合正比例函数$y=kx$的形式，其中$k=-\sqrt{3}\ne0$，属于正比例函数，不是反比例函数；
3. 函数③$y=-\frac{5}{2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{5}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-\frac{5}{2}\ne0$，属于反比例函数；
4. 函数④$y=\frac{1}{2}x$：符合正比例函数$y=kx$的形式，其中$k=\frac{1}{2}\ne0$，属于正比例函数，不是反比例函数。
综上，是反比例函数的有①和③，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是准确区分反比例函数和正比例函数的表达形式，牢记反比例函数的核心特征是自变量x在分母位置，且分子为不为0的常数。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先明确反比例函数的定义，再逐个对给出的函数进行判定，统计符合反比例函数定义的数量即可得到答案。首先回忆反比例函数的判定标准：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，注意要和正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的形式区分开。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，据此逐个分析：
1. 函数①$y=\frac{1}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=1\ne0$，属于反比例函数；
2. 函数②$y=-\sqrt{3}x$：符合正比例函数$y=kx$的形式，其中$k=-\sqrt{3}\ne0$，属于正比例函数，不是反比例函数；
3. 函数③$y=-\frac{5}{2x}$：可变形为$y=\frac{-\frac{5}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-\frac{5}{2}\ne0$，属于反比例函数；
4. 函数④$y=\frac{1}{2}x$：符合正比例函数$y=kx$的形式，其中$k=\frac{1}{2}\ne0$，属于正比例函数，不是反比例函数。
综上，是反比例函数的有①和③，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是准确区分反比例函数和正比例函数的表达形式，牢记反比例函数的核心特征是自变量x在分母位置，且分子为不为0的常数。
【难度系数】
0.8
4. 下列函数中，$y$与$x$成反比例的是 （
A.$\frac{y}{x}=-1$
B.$xy=-\frac{3}{2}$
C.$y=x^{-2}$
D.$y=-\frac{1}{2}x$
B
）A.$\frac{y}{x}=-1$
B.$xy=-\frac{3}{2}$
C.$y=x^{-2}$
D.$y=-\frac{1}{2}x$
答案
B
解析
【分析】
要判断y与x是否成反比例，核心依据是反比例函数的定义：若两个变量x、y满足$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$xy=k$（$k≠0$），则y与x成反比例。解题时先明确该判定标准，再逐一将各选项的解析式变形，对照标准排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，即y与x成反比例，等价形式为$xy=k$（$k≠0$）。
选项A：对$\frac{y}{x}=-1$变形得$y=-x$，是正比例函数，y与x成正比例，不符合要求；
选项B：$xy=-\frac{3}{2}$，符合$xy=k$（$k=-\frac{3}{2}≠0$）的形式，变形可得$y=\frac{-\frac{3}{2}}{x}$，满足反比例函数定义，y与x成反比例，符合要求；
选项C：$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，此时y与$x^2$成反比例，不是与x成反比例，不符合要求；
选项D：$y=-\frac{1}{2}x$是正比例函数，y与x成正比例，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几种等价表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数，同时要注意反比例函数中自变量x的次数为-1，避免和其他幂函数混淆。
【难度系数】
0.8
要判断y与x是否成反比例，核心依据是反比例函数的定义：若两个变量x、y满足$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$xy=k$（$k≠0$），则y与x成反比例。解题时先明确该判定标准，再逐一将各选项的解析式变形，对照标准排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，即y与x成反比例，等价形式为$xy=k$（$k≠0$）。
选项A：对$\frac{y}{x}=-1$变形得$y=-x$，是正比例函数，y与x成正比例，不符合要求；
选项B：$xy=-\frac{3}{2}$，符合$xy=k$（$k=-\frac{3}{2}≠0$）的形式，变形可得$y=\frac{-\frac{3}{2}}{x}$，满足反比例函数定义，y与x成反比例，符合要求；
选项C：$y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，此时y与$x^2$成反比例，不是与x成反比例，不符合要求；
选项D：$y=-\frac{1}{2}x$是正比例函数，y与x成正比例，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几种等价表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数，同时要注意反比例函数中自变量x的次数为-1，避免和其他幂函数混淆。
【难度系数】
0.8
5. 当工作量$w$一定时，工作效率$p$与工作时间$t$之间的关系是 （
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.无法确定
B
）A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆工程问题的基本等量关系，明确工作量、工作效率、工作时间三者的计算关系，再结合题目给出的“工作量w一定”的条件，将关系式变形为用t表示p的形式，最后对照各类函数的定义判断所属的函数类型即可。
【解析】
解：根据工程问题的基本公式可得：$\boldsymbol{w = pt}$，
∵工作量$w$为定值，且$w ≠ 0$，
∴将式子变形可得：$p = \frac{w}{t}$，
根据反比例函数的定义：形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数叫做反比例函数，此处$w$就是不为0的常数，因此$p$是$t$的反比例函数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、工程问题数量关系
【点评】
本题是基础题型，既考查了常见数量关系的应用，也考查了对不同函数类型定义的区分，只要熟练掌握相关概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆工程问题的基本等量关系，明确工作量、工作效率、工作时间三者的计算关系，再结合题目给出的“工作量w一定”的条件，将关系式变形为用t表示p的形式，最后对照各类函数的定义判断所属的函数类型即可。
【解析】
解：根据工程问题的基本公式可得：$\boldsymbol{w = pt}$，
∵工作量$w$为定值，且$w ≠ 0$，
∴将式子变形可得：$p = \frac{w}{t}$，
根据反比例函数的定义：形如$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数叫做反比例函数，此处$w$就是不为0的常数，因此$p$是$t$的反比例函数。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义、工程问题数量关系
【点评】
本题是基础题型，既考查了常见数量关系的应用，也考查了对不同函数类型定义的区分，只要熟练掌握相关概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
6. 如果函数$y=(m-4)x^{m^2 -17}$是反比例函数，那么$m$的值是 （
A.1
B.4
C.$-4$
D.4和$-4$
C
）A.1
B.4
C.$-4$
D.4和$-4$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确反比例函数的两个核心成立条件：①函数可写成$y=kx^{-1}$（$k$为常数）的形式，即自变量$x$的指数为$-1$；②比例系数$k$不能为0。解题时第一步先根据$x$的指数为$-1$列方程求出$m$的所有可能取值，第二步再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的$m$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，因此本题需同时满足两个条件：
1. 自变量的指数为$-1$：
$m^2 - 17 = -1$
移项计算得$m^2=16$，解得$m=4$或$m=-4$；
2. 比例系数不为0：
$m-4≠0$，即$m≠4$。
结合两个条件，排除$m=4$，最终得$m=-4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念，一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要同时验证定义的两个要求，避免漏判限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确反比例函数的两个核心成立条件：①函数可写成$y=kx^{-1}$（$k$为常数）的形式，即自变量$x$的指数为$-1$；②比例系数$k$不能为0。解题时第一步先根据$x$的指数为$-1$列方程求出$m$的所有可能取值，第二步再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，最终得到正确的$m$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，因此本题需同时满足两个条件：
1. 自变量的指数为$-1$：
$m^2 - 17 = -1$
移项计算得$m^2=16$，解得$m=4$或$m=-4$；
2. 比例系数不为0：
$m-4≠0$，即$m≠4$。
结合两个条件，排除$m=4$，最终得$m=-4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念，一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要同时验证定义的两个要求，避免漏判限制条件。
【难度系数】
0.7
7. 已知$y$与$2x^2+1$成反比例，且当$x=1$时，$y=2$，求当$x=2$时，$y$的值.
答案
$y=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据“两个量成反比例”的定义，设出含有待定系数k的函数解析式，再将已知的x、y对应值代入解析式求出k的值，得到完整的函数表达式，最后将x=2代入表达式即可求出对应的y值。
【解析】
解：
∵ y与$2x^2+1$成反比例
∴ 设函数解析式为 $ y=\frac{k}{2x^2+1} $（$ k≠0 $，k为常数）
将$x=1$，$y=2$代入解析式，得：
$ 2=\frac{k}{2×1^2 +1} $
解得 $ k=6 $
∴ 函数解析式为 $ y=\frac{6}{2x^2+1} $
将$x=2$代入上述解析式，得：
$ y=\frac{6}{2×2^2 +1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} $
【答案】
$ y=\frac{2}{3} $
【知识点】
1. 反比例关系定义
2. 待定系数法
3. 函数值计算
【点评】
本题考查反比例相关概念的应用，解题核心是正确根据反比例关系设出解析式，准确计算待定系数，属于基础题型，掌握相关概念和计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“两个量成反比例”的定义，设出含有待定系数k的函数解析式，再将已知的x、y对应值代入解析式求出k的值，得到完整的函数表达式，最后将x=2代入表达式即可求出对应的y值。
【解析】
解：
∵ y与$2x^2+1$成反比例
∴ 设函数解析式为 $ y=\frac{k}{2x^2+1} $（$ k≠0 $，k为常数）
将$x=1$，$y=2$代入解析式，得：
$ 2=\frac{k}{2×1^2 +1} $
解得 $ k=6 $
∴ 函数解析式为 $ y=\frac{6}{2x^2+1} $
将$x=2$代入上述解析式，得：
$ y=\frac{6}{2×2^2 +1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} $
【答案】
$ y=\frac{2}{3} $
【知识点】
1. 反比例关系定义
2. 待定系数法
3. 函数值计算
【点评】
本题考查反比例相关概念的应用，解题核心是正确根据反比例关系设出解析式，准确计算待定系数，属于基础题型，掌握相关概念和计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $ y $ 与 $ x $ 成反比例，且当 $ x=-2 $ 时，$ y=3 $。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2) 当 $ x=1 $ 时，求 $ y $ 的值；
(3) 当 $ y=-6 $ 时，求 $ x $ 的值。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2) 当 $ x=1 $ 时，求 $ y $ 的值；
(3) 当 $ y=-6 $ 时，求 $ x $ 的值。
答案
(1) $y=\frac{-6}{x}$ (2) $-6$ (3) $1$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知y与x成反比例，首先回忆反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），我们可以先设出这个解析式，再将已知的$x=-2$、$y=3$代入解析式，求出未知常数$k$的值，即可得到y与x的函数表达式。
2. 第(2)问：将$x=1$直接代入第(1)问求出的函数表达式，计算即可得到对应的y值。
3. 第(3)问：将$y=-6$直接代入第(1)问求出的函数表达式，解关于x的方程即可得到对应的x值，注意检验分母不为0。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$k$为常数），
将$x=-2$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{-2}$，
解得$k=3×(-2)=-6$，
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{-6}{x}$。
(2) 当$x=1$时，将其代入$y=\frac{-6}{x}$，得：
$y=\frac{-6}{1}=-6$。
(3) 当$y=-6$时，将其代入$y=\frac{-6}{x}$，得：
$-6=\frac{-6}{x}$，
方程两边同时乘$x$（$x≠0$），得$-6x=-6$，
解得$x=1$，经检验$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=\frac{-6}{x}$；(2) $-6$；(3) $1$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数概念的理解，以及运用待定系数法求解函数解析式的能力，后续代入求值的计算难度较低，只要熟练掌握反比例函数的基本形式、计算时认真细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知y与x成反比例，首先回忆反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），我们可以先设出这个解析式，再将已知的$x=-2$、$y=3$代入解析式，求出未知常数$k$的值，即可得到y与x的函数表达式。
2. 第(2)问：将$x=1$直接代入第(1)问求出的函数表达式，计算即可得到对应的y值。
3. 第(3)问：将$y=-6$直接代入第(1)问求出的函数表达式，解关于x的方程即可得到对应的x值，注意检验分母不为0。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$，$k$为常数），
将$x=-2$，$y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{-2}$，
解得$k=3×(-2)=-6$，
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{-6}{x}$。
(2) 当$x=1$时，将其代入$y=\frac{-6}{x}$，得：
$y=\frac{-6}{1}=-6$。
(3) 当$y=-6$时，将其代入$y=\frac{-6}{x}$，得：
$-6=\frac{-6}{x}$，
方程两边同时乘$x$（$x≠0$），得$-6x=-6$，
解得$x=1$，经检验$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1) $y=\frac{-6}{x}$；(2) $-6$；(3) $1$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数概念的理解，以及运用待定系数法求解函数解析式的能力，后续代入求值的计算难度较低，只要熟练掌握反比例函数的基本形式、计算时认真细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
9. 在某一电路中,保持电压不变,电流$ I $(单位:A)与电阻$ R $(单位:$ \Omega $)成反比例,当电阻$ R=5\ \Omega $时,电流$ I=2\ \mathrm{A} $.
(1) 求$ I $与$ R $之间的函数解析式;
(2) 当电流$ I=0.5\ \mathrm{A} $时,求电阻$ R $的值.
(1) 求$ I $与$ R $之间的函数解析式;
(2) 当电流$ I=0.5\ \mathrm{A} $时,求电阻$ R $的值.
答案
(1) $I=\frac{10}{R}$ (2) $20\ \Omega$
解析
【分析】
首先根据题目给出的“电流I与电阻R成反比例”的条件，结合反比例函数的定义先设出函数的一般形式，再代入已知的R、I对应值求出常数k，即可得到I与R的函数解析式；第二问只需将给定的I值代入第一问求出的解析式中，解方程就能得到R的取值。
【解析】
(1) 由于电流I与电阻R成反比例，设I与R的函数解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0 $，电阻$ R＞0 $）。
将$ R=5\ \Omega $，$ I=2\ \mathrm{A} $代入解析式可得：
$ 2=\frac{k}{5} $
解得$ k=2×5=10 $
因此I与R之间的函数解析式为$ I=\frac{10}{R} $（$ R＞0 $）。
(2) 当$ I=0.5\ \mathrm{A} $时，将其代入$ I=\frac{10}{R} $得：
$ 0.5=\frac{10}{R} $
等式两边同乘R得$ 0.5R=10 $，解得$ R=10÷0.5=20\ \Omega $。
【答案】
(1) $ I=\frac{10}{R} $ (2) $ 20\ \Omega $
【知识点】
1. 反比例函数概念
2. 待定系数法
3. 函数值代入计算
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，主要考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的运用，解题时注意结合实际意义确定自变量的取值范围，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
首先根据题目给出的“电流I与电阻R成反比例”的条件，结合反比例函数的定义先设出函数的一般形式，再代入已知的R、I对应值求出常数k，即可得到I与R的函数解析式；第二问只需将给定的I值代入第一问求出的解析式中，解方程就能得到R的取值。
【解析】
(1) 由于电流I与电阻R成反比例，设I与R的函数解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0 $，电阻$ R＞0 $）。
将$ R=5\ \Omega $，$ I=2\ \mathrm{A} $代入解析式可得：
$ 2=\frac{k}{5} $
解得$ k=2×5=10 $
因此I与R之间的函数解析式为$ I=\frac{10}{R} $（$ R＞0 $）。
(2) 当$ I=0.5\ \mathrm{A} $时，将其代入$ I=\frac{10}{R} $得：
$ 0.5=\frac{10}{R} $
等式两边同乘R得$ 0.5R=10 $，解得$ R=10÷0.5=20\ \Omega $。
【答案】
(1) $ I=\frac{10}{R} $ (2) $ 20\ \Omega $
【知识点】
1. 反比例函数概念
2. 待定系数法
3. 函数值代入计算
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，主要考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的运用，解题时注意结合实际意义确定自变量的取值范围，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
