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1. 函数解析式 $y=\frac{2400}{x}$ 可表示多种实际问题.
如:假期中小芹去市体育馆游泳,她的家距市体育馆2400 m,若她骑车的速度为x m/min,则她到达体育馆所用的时间可表示为 $y=\frac{2400}{x}$.
请你设计一个生活中符合 $y=\frac{2400}{x}$ 的实际问题.
如:假期中小芹去市体育馆游泳,她的家距市体育馆2400 m,若她骑车的速度为x m/min,则她到达体育馆所用的时间可表示为 $y=\frac{2400}{x}$.
请你设计一个生活中符合 $y=\frac{2400}{x}$ 的实际问题.
答案
答案不唯一,如:小明去买书,若所买书的平均价格为 $x$ 元/本,2 400 元买了 $y$ 本书,则 $y=\frac{2400}{x}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的本质特征：两个变量$x$、$y$的乘积为定值$k$。本题中$k=2400$，因此只需要结合生活场景，找到总量为2400的数量关系，将$x$设为单位量（如单价、工作效率、速度等），$y$设为对应的份数（如数量、工作时间、时间等），保证$x× y=2400$，且场景符合现实逻辑即可。
【解析】
我们可以借助常见的“总价=单价×数量”的数量关系构造场景：
设定总花费为2400元，设所购物品的平均单价为$x$元/单位，2400元能购买的该物品总数量为$y$，根据“数量=总价÷单价”的关系，即可推导出$y=\frac{2400}{x}$，符合题目要求。也可结合总路程、总工作量等其他总量为2400的场景构造，逻辑合理均成立。
【答案】
答案不唯一，如:小明去买书,若所买书的平均价格为 $x$ 元/本,2 400 元买了 $y$ 本书,则 $y=\frac{2400}{x}$.
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.反比例函数的实际意义
【点评】
本题属于开放性试题，贴近日常生活，核心考查对反比例函数本质的理解，解题时只要抓住“两个变量乘积为定值2400”的核心特征，结合常见的生活数量关系即可轻松作答，构造的场景需符合现实逻辑，注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的本质特征：两个变量$x$、$y$的乘积为定值$k$。本题中$k=2400$，因此只需要结合生活场景，找到总量为2400的数量关系，将$x$设为单位量（如单价、工作效率、速度等），$y$设为对应的份数（如数量、工作时间、时间等），保证$x× y=2400$，且场景符合现实逻辑即可。
【解析】
我们可以借助常见的“总价=单价×数量”的数量关系构造场景：
设定总花费为2400元，设所购物品的平均单价为$x$元/单位，2400元能购买的该物品总数量为$y$，根据“数量=总价÷单价”的关系，即可推导出$y=\frac{2400}{x}$，符合题目要求。也可结合总路程、总工作量等其他总量为2400的场景构造，逻辑合理均成立。
【答案】
答案不唯一，如:小明去买书,若所买书的平均价格为 $x$ 元/本,2 400 元买了 $y$ 本书,则 $y=\frac{2400}{x}$.
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.反比例函数的实际意义
【点评】
本题属于开放性试题，贴近日常生活，核心考查对反比例函数本质的理解，解题时只要抓住“两个变量乘积为定值2400”的核心特征，结合常见的生活数量关系即可轻松作答，构造的场景需符合现实逻辑，注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
2. 如图,有一长度为20 m的篱笆,现计划一面靠墙,其他三面围成面积为150 m²的鸡舍.设鸡舍的一边AB=x m,另一边为y m,求y与x之间的函数解析式,并指出其中自变量的取值范围.
答案
$y=\frac{150}{x}\ (0＜x＜20)$
解析
【分析】
解题时先从已知的面积条件入手，利用矩形面积公式建立x和y的等量关系，变形后就能得到函数解析式。再结合实际意义确定自变量的取值范围：一是边长必须为正数，二是AB是用篱笆围成的边，长度不能超过篱笆总长度，综合两个限制条件即可得到x的取值范围。
【解析】
∵ 鸡舍为矩形，AB为x m，邻边长为y m，面积为150 m²
根据矩形面积公式可得：$xy=150$
变形得：$y=\frac{150}{x}$
再确定自变量x的取值范围：
① x表示线段长度，因此$x＞0$；
② 篱笆总长度为20 m，AB是篱笆围成的边，因此$x＜20$。
综上，自变量x的取值范围为$0＜x＜20$。
【答案】
$y=\frac{150}{x}\ (0＜x＜20)$
【知识点】
反比例函数的概念、函数自变量的取值范围、矩形的面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数解析式的求解，属于基础题，解题时要注意除了保证代数式有意义外，还要结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的面积条件入手，利用矩形面积公式建立x和y的等量关系，变形后就能得到函数解析式。再结合实际意义确定自变量的取值范围：一是边长必须为正数，二是AB是用篱笆围成的边，长度不能超过篱笆总长度，综合两个限制条件即可得到x的取值范围。
【解析】
∵ 鸡舍为矩形，AB为x m，邻边长为y m，面积为150 m²
根据矩形面积公式可得：$xy=150$
变形得：$y=\frac{150}{x}$
再确定自变量x的取值范围：
① x表示线段长度，因此$x＞0$；
② 篱笆总长度为20 m，AB是篱笆围成的边，因此$x＜20$。
综上，自变量x的取值范围为$0＜x＜20$。
【答案】
$y=\frac{150}{x}\ (0＜x＜20)$
【知识点】
反比例函数的概念、函数自变量的取值范围、矩形的面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数解析式的求解，属于基础题，解题时要注意除了保证代数式有意义外，还要结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
3. 设函数$y=y_1+y_2$，已知$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，且当$x=1$时，$y=4$，当$x=2$时，$y=5$。
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2) 当$x=4$时，求函数$y$的值。
(1) 求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2) 当$x=4$时，求函数$y$的值。
答案
(1) 由题意知 $y_1=k_1 x,y_2=\frac{k_2}{x}$,则 $y=k_1 x+\frac{k_2}{x}$,当 $x=1,y=4$ 时,$4=k_1 +k_2 \quad ①$,当 $x=2,y=5$ 时,$5=2k_1 +\frac{1}{2}k_2 \quad ②$,①②联立,得$\begin{cases} 4=k_1 +k_2 ,\\ 5=2k_1 +\frac{1}{2}k_2 , \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_1=2,\\ k_2=2. \end{cases}$ 所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=2x+\frac{2}{x}$.
(2) 当 $x=4$ 时,$y=2×4+\frac{2}{4}=8.5$.
(2) 当 $x=4$ 时,$y=2×4+\frac{2}{4}=8.5$.
解析
【分析】
(1) 求解y与x的函数表达式时，首先根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，相加得到y关于x的含未知系数的表达式；再将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数值，即可确定函数表达式。(2) 求$x=4$时的y值，只需将$x=4$代入第(1)问求出的函数表达式直接计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），由$y=y_1+y_2$可得：
$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$
将$x=1$，$y=4$代入上式得：$4=k_1+k_2$ ①
将$x=2$，$y=5$代入上式得：$5=2k_1+\frac{k_2}{2}$ ②
联立①②组成方程组：
$\begin{cases} 4=k_1 +k_2 \\ 5=2k_1 +\frac{1}{2}k_2 \end{cases}$
解方程组：将②式两边同乘2得$10=4k_1+k_2$ ③，用③-①得$6=3k_1$，解得$k_1=2$，将$k_1=2$代入①得$k_2=2$。
因此y与x之间的函数表达式为$y=2x+\frac{2}{x}$。
(2) 把$x=4$代入$y=2x+\frac{2}{x}$得：
$y=2×4+\frac{2}{4}=8+0.5=8.5$
【答案】
(1) $y=2x+\frac{2}{x}$；(2) $8.5$
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，核心考查正、反比例函数的表达形式，以及待定系数法的应用，解题关键是准确设出函数表达式、正确求解二元一次方程组，掌握该类题的通用解法即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求解y与x的函数表达式时，首先根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，相加得到y关于x的含未知系数的表达式；再将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数值，即可确定函数表达式。(2) 求$x=4$时的y值，只需将$x=4$代入第(1)问求出的函数表达式直接计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），由$y=y_1+y_2$可得：
$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$
将$x=1$，$y=4$代入上式得：$4=k_1+k_2$ ①
将$x=2$，$y=5$代入上式得：$5=2k_1+\frac{k_2}{2}$ ②
联立①②组成方程组：
$\begin{cases} 4=k_1 +k_2 \\ 5=2k_1 +\frac{1}{2}k_2 \end{cases}$
解方程组：将②式两边同乘2得$10=4k_1+k_2$ ③，用③-①得$6=3k_1$，解得$k_1=2$，将$k_1=2$代入①得$k_2=2$。
因此y与x之间的函数表达式为$y=2x+\frac{2}{x}$。
(2) 把$x=4$代入$y=2x+\frac{2}{x}$得：
$y=2×4+\frac{2}{4}=8+0.5=8.5$
【答案】
(1) $y=2x+\frac{2}{x}$；(2) $8.5$
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，核心考查正、反比例函数的表达形式，以及待定系数法的应用，解题关键是准确设出函数表达式、正确求解二元一次方程组，掌握该类题的通用解法即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
