1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象有曲线，其图象的特征为.
当$k＞0$时，图象位于第象限；当$k＜0$时图象位于第象限.

1. 两支 不连续,在$x=0$时断开,当自变量$x$的取值越大或越小,图象越靠近$x$轴,当自变量$x$的取值越趋向于零时,图象越靠近$y$轴,但图象永远不与坐标轴相交 一、三 二、四

【分析】
拿到本题首先回忆反比例函数的基础知识点：首先从反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的自变量取值范围入手，$x≠0$，因此函数值$y$也不可能为0，由此推导图象的基本形态与特征；再结合有理数乘法的符号规律，由$k$的正负判断$x$、$y$的符号关系，进而确定图象所在的象限：
1. 首先确定图象的支数：$x$可正可负，因此图象被$y$轴分成两部分，共两支；
2. 推导图象特征：因为$x≠0$、$y≠0$，所以图象不连续、在$x=0$处断开，且永远不与坐标轴相交；再结合$y$随$x$的变化规律，可得到图象靠近坐标轴的特征；
3. 判断象限：由$xy=k$，当$k＞0$时$x$、$y$同号，对应一、三象限；当$k＜0$时$x$、$y$异号，对应二、四象限。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的自变量取值范围是$x≠0$，因此函数值$y=\frac{k}{x}$也恒不为0：
1. 其图象是被$y$轴分隔开的两支曲线，称为双曲线；
2. 图象特征：因为$x$不能取0，所以图象在$x=0$处断开，是不连续的；当$x$的绝对值越来越大时，$y$的绝对值越来越小，图象越靠近$x$轴；当$x$的绝对值越趋近于0时，$y$的绝对值越来越大，图象越靠近$y$轴；又因为$x≠0$、$y≠0$，所以图象永远不与坐标轴相交；
3. 象限判断：由$xy=k$可知，当$k＞0$时，$x$和$y$符号相同，$x＞0、y＞0$对应第一象限，$x＜0、y＜0$对应第三象限，因此图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，$x$和$y$符号相反，$x＜0、y＞0$对应第二象限，$x＞0、y＜0$对应第四象限，因此图象位于第二、四象限。
【答案】
两支；不连续,在$x=0$时断开,当自变量$x$的取值越大或越小,图象越靠近$x$轴,当自变量$x$的取值越趋向于零时,图象越靠近$y$轴,但图象永远不与坐标轴相交；一、三；二、四
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；象限判断规律
【点评】
本题是对反比例函数基础概念的直接考查，属于基础题，要求学生熟练掌握反比例函数的图象特征以及$k$的符号对图象所在象限的影响，是后续学习反比例函数相关应用的核心基础。
【难度系数】
0.9

2. 在表述反比例函数增减性时，特别要强调.

2. 在每个象限的增减情况

【分析】
首先回忆反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，分为两个不连续的分支，分别位于两个不同的象限。如果直接笼统表述函数的增减性，跨象限取点时会不符合增减规律，因此思考时要结合图象的不连续性，明确增减性的适用范围，就能想到需要强调的前提条件。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象是两个不相连的双曲线分支，分别在两个象限内。以$k＞0$为例，若取跨象限的点$x_1=-1$、$x_2=1$，满足$x_1＜x_2$，但对应的$y_1=-k＜y_2=k$，和“$y$随$x$的增大而减小”的结论矛盾，只有当两点在同一象限内时，增减性的结论才成立。因此表述反比例函数增减性时，要明确适用范围。
【答案】
在每个象限的增减情况
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数的图象特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的易错点，属于基础题，不少同学容易忽略象限限制直接表述增减性导致失分，提示大家学习函数性质时要结合图象特征理解记忆，不要遗漏适用的前提条件。
【难度系数】
0.7

3. 反比例函数与一次函数的图象有无交点取决于.

3. 联立方程组有无解

【分析】
要判断两个函数图象是否有交点，首先需明确函数图象交点的本质：交点的横、纵坐标同时满足两个函数的解析式。因此我们可以把两个函数的解析式联立得到方程组，若方程组有实数解，说明存在符合要求的横、纵坐标，即图象有交点；若方程组无实数解，说明不存在这样的点，即图象无交点，由此可推出判断依据。
【解析】
函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此将反比例函数和一次函数的解析式联立组成方程组：
若该方程组有实数解，则两个函数图象有交点，解的个数对应交点的个数；
若该方程组无实数解，则两个函数图象没有交点。
因此反比例函数与一次函数的图象有无交点取决于联立方程组有无解。
【答案】
联立方程组有无解
【知识点】
函数图象交点的本质；函数与方程的转化
【点评】
本题考查函数交点问题的基础处理思路，核心是掌握数形结合的转化思想，将图象的位置关系问题转化为方程解的问题，该方法是解决所有函数交点类问题的通用基础思路。
【难度系数】
0.8

1. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$P(-1,2)$，则这个函数的图象位于 （）

A.第二、三象限
B.第一、三象限
C.第三、四象限
D.第二、四象限

1. D

【分析】
要判断反比例函数图象所在的象限，首先需要确定比例系数k的正负。解题思路为：第一步，利用函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，将点P的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值；第二步，根据反比例函数的图象性质：当k＞0时，图象位于第一、三象限，当k＜0时，图象位于第二、四象限，结合k的符号即可判断图象所在象限。
【解析】
将点$P(-1,2)$代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{-1}$
解得$k=-1×2=-2$
$\because k=-2＜0$
$\therefore$ 该反比例函数的图象位于第二、四象限。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，考查核心是反比例函数系数k与图象位置的对应关系，解题的关键是正确代入点坐标求出k值，熟记反比例函数的图象性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 已知点A在双曲线$y=-\dfrac{2}{x}$上，点B在直线$y=x-4$上，且A，B两点关于y轴对称，设点A的坐标为$(m,n)$，则$\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}$的值是 （）

A.$-10$
B.$-8$
C.$6$
D.$4$

2. A

【分析】
要解这道题可按以下思路思考：①先根据关于y轴对称的点的坐标规律，由点A的坐标推出点B的坐标；②将A点坐标代入反比例函数解析式、B点坐标代入一次函数解析式，得到m、n的数量关系，求出mn和m+n的值；③将待求代数式$\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}$通分化简，转化为用mn和m+n表示的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(m,n)$，且A、B两点关于y轴对称，
∴点B的坐标为$(-m,n)$。
∵点A在双曲线$y=-\dfrac{2}{x}$上，
∴将$(m,n)$代入解析式得：$n=-\dfrac{2}{m}$，整理得$mn=-2$。
∵点B在直线$y=x-4$上，
∴将$(-m,n)$代入解析式得：$n=-m-4$，整理得$m+n=-4$。
对所求代数式变形：
$\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}=\dfrac{(m+n)^2-2mn}{mn}$
将$mn=-2$、$m+n=-4$代入上式：
原式$=\dfrac{(-4)^2-2×(-2)}{-2}=\dfrac{16+4}{-2}=-10$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、分式化简求值
【点评】
本题属于综合基础题，结合了对称性质、函数图象点的坐标性质和代数式化简知识点考查，解题核心是熟练掌握相关性质，灵活运用整体代入思想计算，可避免单独求解m、n的复杂运算。
【难度系数】
0.6

3. 在反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）

A.$k＞1$
B.$k＞0$
C.$k≥1$
D.$k＜1$

3. A

【分析】
拿到这道题首先明确考查反比例函数的增减性，思考步骤如下：第一步，回忆反比例函数的核心性质：对于$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＞0$时，每一支曲线上$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，每一支曲线上$y$随$x$的增大而增大。第二步，对应本题的函数解析式，确定比例系数为$k-1$，结合题目给出的增减性要求，可得到比例系数的取值范围要求。第三步，列不等式求解，同时注意反比例函数比例系数不能为0，本题中比例系数要求大于0，自然满足不为0的条件，无需额外考虑等于的情况，即可得出$k$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的性质：
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），若图象每一支上$y$随$x$的增大而减小，则比例系数$m＞0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{k-1}{x}$，对应比例系数$m=k-1$，结合题意列不等式：
$k-1＞0$
解得：$k＞1$
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性和比例系数的对应关系，解题时注意牢记反比例函数比例系数不为0的前提，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85

4. 函数$y=\frac{k}{x}$与$y=-kx^2 + k$（$k≠0$）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

4. B

【分析】
本题是同一坐标系中反比例函数与二次函数图象的判断问题，解题思路为：两个函数解析式含共同参数k，因此分k＞0和k＜0两种情况，分别结合两类函数的图象性质，判断两种情况下两个函数对应的图象特征，再和选项对比，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论参数k的正负：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
二次函数$y=-kx^2 + k$中，二次项系数$-k＜0$，因此抛物线开口向下，且抛物线顶点为$(0,k)$，位于y轴正半轴，对应选项B的图象特征，初步符合。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
二次函数$y=-kx^2 + k$中，二次项系数$-k＞0$，因此抛物线开口向上，且抛物线顶点为$(0,k)$，位于y轴负半轴，选项中无符合该特征的图象。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型基础题，解题核心是抓住两个函数共有的参数分类讨论，结合两类函数的图象特征逐一排除错误选项，考察对函数基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

5. 已知反比例函数的图象$y=-\dfrac{2}{x}$上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若$y_1＞y_2$，则$x_1-x_2$的值是（）

A.正数
B.负数
C.非正数
D.不能确定

5. D

【分析】
要解决这道题，首先需明确反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象性质：$k=-2＜0$，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。注意该增减性的前提是“在同一象限内”，因此需要分两点在同一象限、两点在不同象限两种情况讨论，结合$y_1＞y_2$的条件判断$x_1$与$x_2$的大小关系，最终确定$x_1-x_2$的符号是否唯一。
【解析】
已知反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$中$k=-2＜0$，因此：
1. 图象位于第二、四象限，第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0；
2. 在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
分情况讨论：
情况1：$A、B$两点在同一象限
根据同一象限内的增减性，若$y_1＞y_2$，则$x_1＞x_2$，因此$x_1-x_2＞0$，为正数；
情况2：$A、B$两点在不同象限
此时若$y_1＞y_2$，则$A$在第二象限（$y_1＞0$），$B$在第四象限（$y_2＜0$），满足$y_1＞y_2$，此时$x_1＜0$，$x_2＞0$，因此$x_1-x_2＜0$，为负数。
综上，$x_1-x_2$可能为正数也可能为负数，符号不能确定。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提“在同一象限内”，直接根据函数增减性判断$x_1、x_2$的大小，漏考虑跨象限的情况，解题时需注意全面分析所有可能的情况，避免思维定势。
【难度系数】
0.6