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6. 在同一平面直角坐标系中，函数$y=mx+m$与$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象可能是（
A
）答案
6. A
解析
【分析】
本题是同参数下一次函数与反比例函数的图象共存判断题，解题思路为：对参数m的正负进行分类讨论，分别推导两种情况下一次函数、反比例函数的图象所在象限，再逐一比对选项，排除矛盾的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数m的取值：
1. 当$ m＞0 $时：
一次函数$ y=mx+m $：斜率$ m＞0 $，图象呈上升趋势，截距$ m＞0 $，与y轴交于正半轴，因此图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$ y=\frac{m}{x} $：$ m＞0 $，因此图象分布在第一、三象限，对应选项A的图象符合该情况。
2. 当$ m＜0 $时：
一次函数$ y=mx+m $：斜率$ m＜0 $，图象呈下降趋势，截距$ m＜0 $，与y轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限；
反比例函数$ y=\frac{m}{x} $：$ m＜0 $，因此图象分布在第二、四象限，观察其余选项：
选项B：反比例函数图象在一、三象限，说明$ m＞0 $，与$ m＜0 $矛盾，排除；
选项C：一次函数与y轴交于正半轴，说明$ m＞0 $，但一次函数呈下降趋势说明$ m＜0 $，矛盾，排除；
选项D：一次函数与y轴交于负半轴，说明$ m＜0 $，但一次函数呈上升趋势说明$ m＞0 $，矛盾，排除。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于函数图象判断的基础题型，核心考查学生对一次函数、反比例函数图象和性质的掌握程度，通过分类讨论参数的正负即可快速排除错误选项，解题时要注意两个函数的参数是同一个，取值需保持一致。
【难度系数】
0.7
本题是同参数下一次函数与反比例函数的图象共存判断题，解题思路为：对参数m的正负进行分类讨论，分别推导两种情况下一次函数、反比例函数的图象所在象限，再逐一比对选项，排除矛盾的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数m的取值：
1. 当$ m＞0 $时：
一次函数$ y=mx+m $：斜率$ m＞0 $，图象呈上升趋势，截距$ m＞0 $，与y轴交于正半轴，因此图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$ y=\frac{m}{x} $：$ m＞0 $，因此图象分布在第一、三象限，对应选项A的图象符合该情况。
2. 当$ m＜0 $时：
一次函数$ y=mx+m $：斜率$ m＜0 $，图象呈下降趋势，截距$ m＜0 $，与y轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限；
反比例函数$ y=\frac{m}{x} $：$ m＜0 $，因此图象分布在第二、四象限，观察其余选项：
选项B：反比例函数图象在一、三象限，说明$ m＞0 $，与$ m＜0 $矛盾，排除；
选项C：一次函数与y轴交于正半轴，说明$ m＞0 $，但一次函数呈下降趋势说明$ m＜0 $，矛盾，排除；
选项D：一次函数与y轴交于负半轴，说明$ m＜0 $，但一次函数呈上升趋势说明$ m＞0 $，矛盾，排除。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于函数图象判断的基础题型，核心考查学生对一次函数、反比例函数图象和性质的掌握程度，通过分类讨论参数的正负即可快速排除错误选项，解题时要注意两个函数的参数是同一个，取值需保持一致。
【难度系数】
0.7
1. 已知点$A(1,y_1)$，$B(-2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象上，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
1. $＞$
解析
【分析】
解题时可从两个角度思考：一是利用反比例函数的图象性质，先根据k＞0判断函数图象所在象限，再确定两个点分别所在的象限，结合各象限内点的坐标符号特征比较y值大小；二是直接将两个点的横坐标代入函数解析式，分别表示出y₁和y₂，再根据k＞0的条件比较大小。
【解析】
方法一：利用图象性质求解
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 函数图象分布在第一、三象限，第一象限内点的纵坐标为正，第三象限内点的纵坐标为负。
点$A(1,y_1)$的横坐标$1＞0$，故A在第一象限，可得$y_1＞0$；
点$B(-2,y_2)$的横坐标$-2＜0$，故B在第三象限，可得$y_2＜0$。
∵ 正数大于负数，
∴ $y_1＞y_2$。
方法二：代入计算求解
将$A(1,y_1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y_1=\frac{k}{1}=k$；
将$B(-2,y_2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y_2=\frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$。
∵ $k＞0$，
∴ $k＞-\frac{k}{2}$，即$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，两种解题方法都较为简便，核心是掌握反比例函数的图象与系数k的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时可从两个角度思考：一是利用反比例函数的图象性质，先根据k＞0判断函数图象所在象限，再确定两个点分别所在的象限，结合各象限内点的坐标符号特征比较y值大小；二是直接将两个点的横坐标代入函数解析式，分别表示出y₁和y₂，再根据k＞0的条件比较大小。
【解析】
方法一：利用图象性质求解
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 函数图象分布在第一、三象限，第一象限内点的纵坐标为正，第三象限内点的纵坐标为负。
点$A(1,y_1)$的横坐标$1＞0$，故A在第一象限，可得$y_1＞0$；
点$B(-2,y_2)$的横坐标$-2＜0$，故B在第三象限，可得$y_2＜0$。
∵ 正数大于负数，
∴ $y_1＞y_2$。
方法二：代入计算求解
将$A(1,y_1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y_1=\frac{k}{1}=k$；
将$B(-2,y_2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y_2=\frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$。
∵ $k＞0$，
∴ $k＞-\frac{k}{2}$，即$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，两种解题方法都较为简便，核心是掌握反比例函数的图象与系数k的对应关系。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$A(a,b)$在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，若$a$，$b$都是正整数，则图象经过$B(a,0)$，$C(0,b)$两点的一次函数的解析式为________。
答案
2. $y=-5x+5$或$y=-\dfrac{1}{5}x+1$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，利用反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质，将点$A(a,b)$代入反比例函数$y=\frac{5}{x}$，得到a与b的乘积关系；第二步，结合a、b均为正整数的条件，求出所有符合条件的a、b的取值组合；第三步，运用待定系数法，分情况代入B、C两点的坐标，求解一次函数的系数，得到最终解析式，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，
∴ 将$A(a,b)$代入解析式得：$b=\frac{5}{a}$，即$ab=5$。
∵ $a$、$b$都是正整数，5的正整数因数只有1和5，
∴ 存在两组符合条件的解：
① 当$a=1$时，$b=5$，此时$B(1,0)$，$C(0,5)$；
② 当$a=5$时，$b=1$，此时$B(5,0)$，$C(0,1)$。
设经过B、C两点的一次函数解析式为$y=kx+m$（$k≠0$），分两种情况计算：
1. 代入$B(1,0)$、$C(0,5)$：
将$x=0,y=5$代入得：$m=5$；
再将$x=1,y=0,m=5$代入得：$0=k×1 +5$，解得$k=-5$，
∴ 此时解析式为$y=-5x+5$。
2. 代入$B(5,0)$、$C(0,1)$：
将$x=0,y=1$代入得：$m=1$；
再将$x=5,y=0,m=1$代入得：$0=5k +1$，解得$k=-\frac{1}{5}$，
∴ 此时解析式为$y=-\frac{1}{5}x+1$。
【答案】
$y=-5x+5$或$y=-\dfrac{1}{5}x+1$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合基础题，解题的核心是先根据反比例函数的性质确定a、b的取值，再分类求解一次函数解析式，需要注意避免漏掉其中一种情况。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，利用反比例函数图象上点的坐标满足解析式的性质，将点$A(a,b)$代入反比例函数$y=\frac{5}{x}$，得到a与b的乘积关系；第二步，结合a、b均为正整数的条件，求出所有符合条件的a、b的取值组合；第三步，运用待定系数法，分情况代入B、C两点的坐标，求解一次函数的系数，得到最终解析式，注意分类讨论不要漏解。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$在双曲线$y=\frac{5}{x}$上，
∴ 将$A(a,b)$代入解析式得：$b=\frac{5}{a}$，即$ab=5$。
∵ $a$、$b$都是正整数，5的正整数因数只有1和5，
∴ 存在两组符合条件的解：
① 当$a=1$时，$b=5$，此时$B(1,0)$，$C(0,5)$；
② 当$a=5$时，$b=1$，此时$B(5,0)$，$C(0,1)$。
设经过B、C两点的一次函数解析式为$y=kx+m$（$k≠0$），分两种情况计算：
1. 代入$B(1,0)$、$C(0,5)$：
将$x=0,y=5$代入得：$m=5$；
再将$x=1,y=0,m=5$代入得：$0=k×1 +5$，解得$k=-5$，
∴ 此时解析式为$y=-5x+5$。
2. 代入$B(5,0)$、$C(0,1)$：
将$x=0,y=1$代入得：$m=1$；
再将$x=5,y=0,m=1$代入得：$0=5k +1$，解得$k=-\frac{1}{5}$，
∴ 此时解析式为$y=-\frac{1}{5}x+1$。
【答案】
$y=-5x+5$或$y=-\dfrac{1}{5}x+1$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合基础题，解题的核心是先根据反比例函数的性质确定a、b的取值，再分类求解一次函数解析式，需要注意避免漏掉其中一种情况。
【难度系数】
0.7
3. 已知一次函数$y=x+1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交，其中一个交点的横坐标是2，则k的值为
6
。答案
3. 6
解析
【分析】
解题思路如下：首先，函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，已知其中一个交点的横坐标是2，我们可以先将x=2代入一次函数解析式，求出该交点的纵坐标，得到完整的交点坐标；再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
第一步：求交点的纵坐标
已知交点横坐标为2，将x=2代入一次函数$y=x+1$，得：
$y=2+1=3$
因此，两个函数的交点坐标为$(2,3)$。
第二步：求k的值
因为交点$(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将x=2，y=3代入反比例函数解析式，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.一次函数点坐标特征
2.反比例函数点坐标特征
3.函数交点性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数交点的坐标特性：交点坐标同时满足相交的所有函数的解析式，熟练掌握该特性即可快速完成求解。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先，函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，已知其中一个交点的横坐标是2，我们可以先将x=2代入一次函数解析式，求出该交点的纵坐标，得到完整的交点坐标；再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
第一步：求交点的纵坐标
已知交点横坐标为2，将x=2代入一次函数$y=x+1$，得：
$y=2+1=3$
因此，两个函数的交点坐标为$(2,3)$。
第二步：求k的值
因为交点$(2,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将x=2，y=3代入反比例函数解析式，得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1.一次函数点坐标特征
2.反比例函数点坐标特征
3.函数交点性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数交点的坐标特性：交点坐标同时满足相交的所有函数的解析式，熟练掌握该特性即可快速完成求解。
【难度系数】
0.85
4. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知一次函数$y=10-x$的图象与函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A,B$，设点$A$的坐标为$(x_1,y_1)$，则长为$x_1$，宽为$y_1$的矩形的面积为
（第4题）
6
，周长为20
。（第4题）答案
4. 6 20
解析
【分析】
本题可利用函数图象上点的坐标特征求解，不需要计算交点的具体坐标：①矩形面积为$x_1 · y_1$，点A在反比例函数图象上，代入反比例函数解析式即可直接得到$x_1y_1$的值；②矩形周长为$2(x_1+y_1)$，点A同时在一次函数图象上，代入一次函数解析式可得到$x_1+y_1$的值，再计算周长即可。
【解析】
1. 求矩形面积：
因为点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，将点A坐标代入解析式得：
$y_1=\dfrac{6}{x_1}$，变形可得$x_1y_1=6$，即矩形面积为6。
2. 求矩形周长：
因为点$A(x_1,y_1)$在一次函数$y=10-x$的图象上，将点A坐标代入解析式得：
$y_1=10-x_1$，移项可得$x_1+y_1=10$，因此矩形周长为$2(x_1+y_1)=2×10=20$。
【答案】
6；20
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数点的坐标特征，矩形周长与面积计算
【点评】
本题考查函数图象上点的坐标性质的应用，解题时运用整体代入思想，可避免求解方程组的复杂运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可利用函数图象上点的坐标特征求解，不需要计算交点的具体坐标：①矩形面积为$x_1 · y_1$，点A在反比例函数图象上，代入反比例函数解析式即可直接得到$x_1y_1$的值；②矩形周长为$2(x_1+y_1)$，点A同时在一次函数图象上，代入一次函数解析式可得到$x_1+y_1$的值，再计算周长即可。
【解析】
1. 求矩形面积：
因为点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，将点A坐标代入解析式得：
$y_1=\dfrac{6}{x_1}$，变形可得$x_1y_1=6$，即矩形面积为6。
2. 求矩形周长：
因为点$A(x_1,y_1)$在一次函数$y=10-x$的图象上，将点A坐标代入解析式得：
$y_1=10-x_1$，移项可得$x_1+y_1=10$，因此矩形周长为$2(x_1+y_1)=2×10=20$。
【答案】
6；20
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数点的坐标特征，矩形周长与面积计算
【点评】
本题考查函数图象上点的坐标性质的应用，解题时运用整体代入思想，可避免求解方程组的复杂运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与以原点$(0,0)$为圆心的圆交于$A,B$两点,且点$A$的坐标是$(1,\sqrt{3})$,求图中阴影部分的面积.(结果保留$π$)
答案
5. $\dfrac{π}{3}$
解析
【分析】
解题时首先从已知点A的坐标入手，先计算圆的半径OA的长度，再求出∠AOx的度数；接下来根据反比例函数和圆均关于直线y=x对称的性质，得到点B的坐标特征，求出∠BOx的度数，进而得到∠AOB的度数；最后利用中心对称的性质，对不规则的阴影部分进行割补，将阴影面积转化为规则扇形AOB的面积计算即可。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∴$OA=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，即圆的半径$r=2$，
$tan∠AOx=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，故$∠AOx=60°$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与圆均关于直线$y=x$对称，
∴交点A、B关于直线$y=x$对称，可得点B坐标为$(\sqrt{3},1)$，
∴$tan∠BOx=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$∠BOx=30°$，
∴$∠AOB=∠AOx-∠BOx=60°-30°=30°$。
又
∵反比例函数和圆均关于原点中心对称，
∴左下角阴影部分的面积与弧AB上方的弓形面积相等，
因此阴影部分总面积等于扇形AOB的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB}=\frac{30°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{12}×π×4=\frac{π}{3}$。
【答案】
$\dfrac{π}{3}$
【知识点】
反比例函数的对称性，扇形面积计算，中心对称的性质
【点评】
本题将反比例函数与圆的知识结合，解题的核心是利用对称性对不规则阴影进行割补转化，把不规则图形面积转化为熟悉的扇形面积求解，有效考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知点A的坐标入手，先计算圆的半径OA的长度，再求出∠AOx的度数；接下来根据反比例函数和圆均关于直线y=x对称的性质，得到点B的坐标特征，求出∠BOx的度数，进而得到∠AOB的度数；最后利用中心对称的性质，对不规则的阴影部分进行割补，将阴影面积转化为规则扇形AOB的面积计算即可。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(1,\sqrt{3})$，
∴$OA=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，即圆的半径$r=2$，
$tan∠AOx=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，故$∠AOx=60°$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与圆均关于直线$y=x$对称，
∴交点A、B关于直线$y=x$对称，可得点B坐标为$(\sqrt{3},1)$，
∴$tan∠BOx=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$∠BOx=30°$，
∴$∠AOB=∠AOx-∠BOx=60°-30°=30°$。
又
∵反比例函数和圆均关于原点中心对称，
∴左下角阴影部分的面积与弧AB上方的弓形面积相等，
因此阴影部分总面积等于扇形AOB的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB}=\frac{30°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{12}×π×4=\frac{π}{3}$。
【答案】
$\dfrac{π}{3}$
【知识点】
反比例函数的对称性，扇形面积计算，中心对称的性质
【点评】
本题将反比例函数与圆的知识结合，解题的核心是利用对称性对不规则阴影进行割补转化，把不规则图形面积转化为熟悉的扇形面积求解，有效考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
