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6. 如图，直线AB与坐标轴分别交于A(-2,0),B(0,1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n)，求一次函数和反比例函数的解析式.
答案
6. 设一次函数的解析式为$y=kx+b$,反比例函数的解析式为$y=\dfrac{m}{x}$. 把$A(-2,0),B(0,1)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-2k+b=0,\\b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=1.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$. 把$C(4,n)$代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$,得$n=3$.
∴点$C$的坐标为$(4,3)$. 把$C(4,3)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=12$.
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{12}{x}$.
∴一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$. 把$C(4,n)$代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$,得$n=3$.
∴点$C$的坐标为$(4,3)$. 把$C(4,3)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=12$.
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{12}{x}$.
解析
【分析】
我们需要求一次函数和反比例函数的解析式，采用待定系数法求解即可。首先一次函数已知A、B两个点的坐标，可先设一次函数一般式$y=kx+b$，将两个点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组就能得到一次函数解析式。之后点C在一次函数图象上，将C点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到C点完整坐标。最后反比例函数过点C，设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$，代入C点坐标求出m，即可得到反比例函数解析式。
【解析】
设一次函数的解析式为$y=kx+b$，反比例函数的解析式为$y=\dfrac{m}{x}$。
把$A(-2,0),B(0,1)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k+b=0\\b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$。
把$C(4,n)$代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$，得$n=\dfrac{1}{2}×4+1=3$，
∴点$C$的坐标为$(4,3)$。
把$C(4,3)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$3=\dfrac{m}{4}$，解得$m=12$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
【答案】
一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+1}$，反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{12}{x}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数基础题，重点考查待定系数法的应用，解题逻辑清晰连贯，掌握待定系数法的基本步骤就能顺利求解，是巩固函数解析式求解方法的典型习题。
【难度系数】
0.8
我们需要求一次函数和反比例函数的解析式，采用待定系数法求解即可。首先一次函数已知A、B两个点的坐标，可先设一次函数一般式$y=kx+b$，将两个点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组就能得到一次函数解析式。之后点C在一次函数图象上，将C点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到C点完整坐标。最后反比例函数过点C，设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$，代入C点坐标求出m，即可得到反比例函数解析式。
【解析】
设一次函数的解析式为$y=kx+b$，反比例函数的解析式为$y=\dfrac{m}{x}$。
把$A(-2,0),B(0,1)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k+b=0\\b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$。
把$C(4,n)$代入$y=\dfrac{1}{2}x+1$，得$n=\dfrac{1}{2}×4+1=3$，
∴点$C$的坐标为$(4,3)$。
把$C(4,3)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$3=\dfrac{m}{4}$，解得$m=12$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
【答案】
一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x+1}$，反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{12}{x}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数基础题，重点考查待定系数法的应用，解题逻辑清晰连贯，掌握待定系数法的基本步骤就能顺利求解，是巩固函数解析式求解方法的典型习题。
【难度系数】
0.8
7. 如图，一次函数$y=kx+b(k＜0)$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于A，B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4,1)。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB(O是坐标原点)，若$△ BOC$的面积为3，求该一次函数的解析式。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB(O是坐标原点)，若$△ BOC$的面积为3，求该一次函数的解析式。
答案
7. (1) 把$A(4,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=4$,
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$.
(2) 过点$B$作$BE⊥ y$轴,垂足为$E$. 根据题意可得点$C$的坐标为$(0,b)$. 又
∵$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}· OC· BE=3$,
∴$\dfrac{1}{2}· b· BE=3$,解得$BE=\dfrac{6}{b}$.
∴点$B$的横坐标为$\dfrac{6}{b}$. 把$x=\dfrac{6}{b}$代入$y=\dfrac{4}{x}$,得$y=\dfrac{2}{3}b$,
∴点$B$的坐标为$(\dfrac{6}{b},\dfrac{2}{3}b)$. 分别把点$A$和点$B$的坐标代入一次函数$y=kx+b$,得$\begin{cases}4k+b=1,\\\dfrac{6k}{b}+b=\dfrac{2}{3}b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{8},\\b_1=\dfrac{3}{2}.\end{cases}$(此时点$B$和点$A$重合,舍去) $\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2},\\b_2=3.\end{cases}$
∴该一次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$.
(2) 过点$B$作$BE⊥ y$轴,垂足为$E$. 根据题意可得点$C$的坐标为$(0,b)$. 又
∵$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}· OC· BE=3$,
∴$\dfrac{1}{2}· b· BE=3$,解得$BE=\dfrac{6}{b}$.
∴点$B$的横坐标为$\dfrac{6}{b}$. 把$x=\dfrac{6}{b}$代入$y=\dfrac{4}{x}$,得$y=\dfrac{2}{3}b$,
∴点$B$的坐标为$(\dfrac{6}{b},\dfrac{2}{3}b)$. 分别把点$A$和点$B$的坐标代入一次函数$y=kx+b$,得$\begin{cases}4k+b=1,\\\dfrac{6k}{b}+b=\dfrac{2}{3}b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{8},\\b_1=\dfrac{3}{2}.\end{cases}$(此时点$B$和点$A$重合,舍去) $\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2},\\b_2=3.\end{cases}$
∴该一次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
解析
【分析】
（1）反比例函数的解析式仅含一个未知常数$m$，已知点$A$在反比例函数图象上，将点$A$坐标代入解析式即可求出$m$，得到反比例函数解析式。
（2）一次函数解析式含两个未知参数$k$、$b$，已知其过点$A$，还需得到另一组坐标即点$B$的坐标求解：首先一次函数与$y$轴交点$C$的坐标为$(0,b)$，过$B$作$y$轴的垂线，$BE$的长度为点$B$的横坐标，结合$△ BOC$的面积可求出点$B$的横坐标，代入反比例函数可得点$B$的纵坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数解析式联立求解，舍去点$B$与$A$重合的不合理解，即可得到一次函数解析式。
【解析】
（1）把$A(4,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得：
$1=\dfrac{m}{4}$，解得$m=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$。
（2）过点$B$作$BE⊥ y$轴，垂足为$E$。
一次函数$y=kx+b$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，得$y=b$，
∴点$C$的坐标为$(0,b)$，$OC=b$。
∵$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}· OC· BE=3$，
∴$\dfrac{1}{2}· b· BE=3$，解得$BE=\dfrac{6}{b}$，即点$B$的横坐标为$\dfrac{6}{b}$。
把$x=\dfrac{6}{b}$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{\dfrac{6}{b}}=\dfrac{2}{3}b$，
∴点$B$的坐标为$(\dfrac{6}{b},\dfrac{2}{3}b)$。
分别把点$A$和点$B$的坐标代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}4k+b=1\\\dfrac{6k}{b}+b=\dfrac{2}{3}b\end{cases}$
解方程组得：
$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{8}\\b_1=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，此时代入得点$B$坐标为$(4,1)$，与点$A$重合，不符合题意，舍去；
$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2}\\b_2=3\end{cases}$，符合题意。
∴该一次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{4}{x}$；（2）$y=-\dfrac{1}{2}x+3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、结合三角形面积推导点坐标的能力，解题时需注意检验解的合理性，舍去不符合题意的结果，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
（1）反比例函数的解析式仅含一个未知常数$m$，已知点$A$在反比例函数图象上，将点$A$坐标代入解析式即可求出$m$，得到反比例函数解析式。
（2）一次函数解析式含两个未知参数$k$、$b$，已知其过点$A$，还需得到另一组坐标即点$B$的坐标求解：首先一次函数与$y$轴交点$C$的坐标为$(0,b)$，过$B$作$y$轴的垂线，$BE$的长度为点$B$的横坐标，结合$△ BOC$的面积可求出点$B$的横坐标，代入反比例函数可得点$B$的纵坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数解析式联立求解，舍去点$B$与$A$重合的不合理解，即可得到一次函数解析式。
【解析】
（1）把$A(4,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得：
$1=\dfrac{m}{4}$，解得$m=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$。
（2）过点$B$作$BE⊥ y$轴，垂足为$E$。
一次函数$y=kx+b$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，得$y=b$，
∴点$C$的坐标为$(0,b)$，$OC=b$。
∵$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}· OC· BE=3$，
∴$\dfrac{1}{2}· b· BE=3$，解得$BE=\dfrac{6}{b}$，即点$B$的横坐标为$\dfrac{6}{b}$。
把$x=\dfrac{6}{b}$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{\dfrac{6}{b}}=\dfrac{2}{3}b$，
∴点$B$的坐标为$(\dfrac{6}{b},\dfrac{2}{3}b)$。
分别把点$A$和点$B$的坐标代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}4k+b=1\\\dfrac{6k}{b}+b=\dfrac{2}{3}b\end{cases}$
解方程组得：
$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{8}\\b_1=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，此时代入得点$B$坐标为$(4,1)$，与点$A$重合，不符合题意，舍去；
$\begin{cases}k_2=-\dfrac{1}{2}\\b_2=3\end{cases}$，符合题意。
∴该一次函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
【答案】
（1）$y=\dfrac{4}{x}$；（2）$y=-\dfrac{1}{2}x+3$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、结合三角形面积推导点坐标的能力，解题时需注意检验解的合理性，舍去不符合题意的结果，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
