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1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$），当$x≠0$时，$y$的取值范围是
y≠0的一切实数
；当自变量$x$在某一个小范围取值时，函数值$y$的取值范围需考虑函数的增减性
。答案
1. $y≠0$的一切实数；增减性
解析
【分析】
首先解决第一空：根据反比例函数的定义，$k$是不为0的常数，且自变量$x$的取值范围是$x≠0$，分式的分子、分母均不为0时，分式的值不可能为0，据此可推出$y$的取值范围。
再解决第二空：反比例函数的增减性具有分象限的特点，给定$x$的某一取值范围时，需要结合函数的增减性确定$y$的取值边界，才能得到$y$的取值范围。
【解析】
1. 求$y$的取值范围：
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$，且$x≠0$，因此$\frac{k}{x}$的分子不为0、分母也不为0，可得$y$的值永远不可能为0，即$y$的取值范围是$y≠0$的一切实数。
2. 分析第二空：
反比例函数的性质为：当$k＞0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。当自变量$x$在某一小范围取值时，需要结合函数的增减性，才能确定对应函数值$y$的取值范围，因此第二空填增减性。
【答案】
$y≠0$的一切实数；增减性
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念与性质，属于基础题，熟练掌握反比例函数的取值范围和增减性，是解决反比例函数取值范围类问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
首先解决第一空：根据反比例函数的定义，$k$是不为0的常数，且自变量$x$的取值范围是$x≠0$，分式的分子、分母均不为0时，分式的值不可能为0，据此可推出$y$的取值范围。
再解决第二空：反比例函数的增减性具有分象限的特点，给定$x$的某一取值范围时，需要结合函数的增减性确定$y$的取值边界，才能得到$y$的取值范围。
【解析】
1. 求$y$的取值范围：
已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$，且$x≠0$，因此$\frac{k}{x}$的分子不为0、分母也不为0，可得$y$的值永远不可能为0，即$y$的取值范围是$y≠0$的一切实数。
2. 分析第二空：
反比例函数的性质为：当$k＞0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。当自变量$x$在某一小范围取值时，需要结合函数的增减性，才能确定对应函数值$y$的取值范围，因此第二空填增减性。
【答案】
$y≠0$的一切实数；增减性
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念与性质，属于基础题，熟练掌握反比例函数的取值范围和增减性，是解决反比例函数取值范围类问题的核心基础。
【难度系数】
0.9
2. 不同函数的函数值大小比较最直观的方法是结合
图象看
.答案
2. 图象看
解析
【分析】
解题时先回忆函数的常见表示方法：解析式法、列表法、图象法，其中图象法是将函数的变化规律以几何图形的形式呈现，最为直观。比较不同函数的函数值大小时，只需在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，相同自变量取值对应的图象上点的纵坐标就是对应函数值，纵坐标越高代表函数值越大，无需计算即可直接判断大小，因此最直观的方法就是结合函数图象来观察。
【解析】
函数的图象可以直观反映函数值随自变量的变化规律，比较不同函数的函数值大小时，将多个函数的图象绘制在同一坐标系中，观察同一横坐标下各图象对应点的纵坐标高低，就能快速判断函数值的大小关系，是最直观的比较方法，因此此处填图象看。
【答案】
图象看
【知识点】
函数的图象；函数值比较
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对函数图象作用的理解，同学们要掌握数形结合的方法在函数问题中的应用，理解图象在分析函数性质、比较函数值中的便捷性。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆函数的常见表示方法：解析式法、列表法、图象法，其中图象法是将函数的变化规律以几何图形的形式呈现，最为直观。比较不同函数的函数值大小时，只需在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，相同自变量取值对应的图象上点的纵坐标就是对应函数值，纵坐标越高代表函数值越大，无需计算即可直接判断大小，因此最直观的方法就是结合函数图象来观察。
【解析】
函数的图象可以直观反映函数值随自变量的变化规律，比较不同函数的函数值大小时，将多个函数的图象绘制在同一坐标系中，观察同一横坐标下各图象对应点的纵坐标高低，就能快速判断函数值的大小关系，是最直观的比较方法，因此此处填图象看。
【答案】
图象看
【知识点】
函数的图象；函数值比较
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对函数图象作用的理解，同学们要掌握数形结合的方法在函数问题中的应用，理解图象在分析函数性质、比较函数值中的便捷性。
【难度系数】
0.9
3. 反比例函数解析式的确定，就是求
k
的值。答案
3. $k$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的基本形式：反比例函数的标准解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其中$x$、$y$是变量，仅常数$k$是待确定的未知量，因此确定反比例函数的解析式，核心就是求出$k$的取值。
【解析】
反比例函数的一般表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），该表达式中只有$k$是待确定的常数，因此确定反比例函数的解析式，就是求$k$的值。
【答案】
$k$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握反比例函数的一般形式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先回忆反比例函数的基本形式：反比例函数的标准解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其中$x$、$y$是变量，仅常数$k$是待确定的未知量，因此确定反比例函数的解析式，核心就是求出$k$的取值。
【解析】
反比例函数的一般表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），该表达式中只有$k$是待确定的常数，因此确定反比例函数的解析式，就是求$k$的值。
【答案】
$k$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握反比例函数的一般形式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
1. 如图,正比例函数$y=x$与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象交于$A(2,2),B(-2,-2)$两点.当$y=x$的函数值大于$y=\frac{4}{x}$的函数值时,$x$的取值范围是 （
A.$x＞2$
B.$x＜-2$
C.$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
D.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D
）A.$x＞2$
B.$x＜-2$
C.$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
D.$-2＜x＜0$或$x＞2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断y=x的函数值大于y=4/x的函数值时x的取值范围，本质是找直线y=x位于反比例函数y=4/x图象上方时对应的x的取值。由于反比例函数自变量x不能为0，因此需分x＞0、x＜0两个区间，结合两个函数的交点坐标观察图象位置即可推导结果。
【解析】
已知正比例函数y=x与反比例函数y=4/x的交点为A(2,2)、B(-2,-2)，且反比例函数y=4/x的图象在第一、三象限，自变量x≠0：
1. 当x＞0时，观察第一象限内的图象：x＞2时，直线y=x在双曲线y=4/x的上方，此时y=x的函数值更大；
2. 当x＜0时，观察第三象限内的图象：-2＜x＜0时，直线y=x在双曲线y=4/x的上方，此时y=x的函数值更大。
综上，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；一次函数的图象；函数值大小比较
【点评】
本题属于函数图象的基础应用，核心解题方法是数形结合，借助交点坐标分区间判断图象的上下位置关系即可解题，解题时注意不要忽略x＜0的情况，以及反比例函数x≠0的限制条件。
【难度系数】
0.7
要判断y=x的函数值大于y=4/x的函数值时x的取值范围，本质是找直线y=x位于反比例函数y=4/x图象上方时对应的x的取值。由于反比例函数自变量x不能为0，因此需分x＞0、x＜0两个区间，结合两个函数的交点坐标观察图象位置即可推导结果。
【解析】
已知正比例函数y=x与反比例函数y=4/x的交点为A(2,2)、B(-2,-2)，且反比例函数y=4/x的图象在第一、三象限，自变量x≠0：
1. 当x＞0时，观察第一象限内的图象：x＞2时，直线y=x在双曲线y=4/x的上方，此时y=x的函数值更大；
2. 当x＜0时，观察第三象限内的图象：-2＜x＜0时，直线y=x在双曲线y=4/x的上方，此时y=x的函数值更大。
综上，x的取值范围是-2＜x＜0或x＞2。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象；一次函数的图象；函数值大小比较
【点评】
本题属于函数图象的基础应用，核心解题方法是数形结合，借助交点坐标分区间判断图象的上下位置关系即可解题，解题时注意不要忽略x＜0的情况，以及反比例函数x≠0的限制条件。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y_1=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象与一次函数$y_2=kx+b$的图象交于$A,B$两点,若$y_1＜y_2$,则$x$的取值范围是（
A.$1＜x＜3$
B.$x＜0$或$1＜x＜3$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞3$或$0＜x＜1$
A
）A.$1＜x＜3$
B.$x＜0$或$1＜x＜3$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞3$或$0＜x＜1$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们采用数形结合的思路：首先，两个函数图象的交点处二者函数值相等，$y_1＜y_2$对应反比例函数图象在一次函数图象下方的x的取值范围。首先观察图象得到交点A、B的横坐标分别为1和3，再结合反比例函数$y_1=\dfrac{2}{x}$的自变量取值范围是$x＞0$，无需考虑$x＜0$的区域，最终判断反比例函数在一次函数下方对应的x区间即可。
【解析】
解：由图象可得，反比例函数$y_1=\dfrac{2}{x}(x＞0)$和一次函数$y_2=kx+b$的交点A横坐标为1，交点B横坐标为3。
$y_1＜y_2$即反比例函数图象位于一次函数图象下方，结合$x＞0$的前提，观察图象可知该情况对应的x取值范围是$1＜x＜3$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象性质，一次函数图象，函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题时需注意结合反比例函数自变量的取值范围排除无效区间，避免因粗心误选包含$x＜0$的选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们采用数形结合的思路：首先，两个函数图象的交点处二者函数值相等，$y_1＜y_2$对应反比例函数图象在一次函数图象下方的x的取值范围。首先观察图象得到交点A、B的横坐标分别为1和3，再结合反比例函数$y_1=\dfrac{2}{x}$的自变量取值范围是$x＞0$，无需考虑$x＜0$的区域，最终判断反比例函数在一次函数下方对应的x区间即可。
【解析】
解：由图象可得，反比例函数$y_1=\dfrac{2}{x}(x＞0)$和一次函数$y_2=kx+b$的交点A横坐标为1，交点B横坐标为3。
$y_1＜y_2$即反比例函数图象位于一次函数图象下方，结合$x＞0$的前提，观察图象可知该情况对应的x取值范围是$1＜x＜3$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数图象性质，一次函数图象，函数值大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题时需注意结合反比例函数自变量的取值范围排除无效区间，避免因粗心误选包含$x＜0$的选项。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知一次函数 $ y_1 = k_1x + b $ 的图象和反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x} $ 的图象交于 $ A(1,2) $, $ B(-2,-1) $ 两点,若 $ y_1 ＜ y_2 $,则 $ x $ 的取值范围是（
A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＜ -2 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
D.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D
）A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＜ -2 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $
D.$ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
答案
3. D
解析
【分析】
要解决一次函数值小于反比例函数值的x取值范围问题，可采用数形结合的思路：对于相同的x值，函数图象位置更低的对应函数值更小。首先两个函数的交点A(1,2)、B(-2,-1)是函数值相等的位置，也就是y₁和y₂大小关系发生变化的分界点，再结合反比例函数自变量x≠0的特点，可将x的取值范围划分为x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1、x＞1四个区间，逐段判断y₁和y₂的大小即可得到结果，也可先求出函数解析式通过解不等式求解。
【解析】
方法一（图像法）：
y₁＜y₂对应一次函数图象在反比例函数图象下方的x范围：
1. 当x＜-2时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足y₁＜y₂；
2. 当-2＜x＜0时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，y₁＞y₂，不符合要求；
3. 当0＜x＜1时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足y₁＜y₂；
4. 当x＞1时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，y₁＞y₂，不符合要求。
方法二（解析式法）：
将A(1,2)代入反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$k_2=1×2=2$，即$y_2=\frac{2}{x}$；
将A(1,2)、B(-2,-1)代入一次函数$y_1=k_1x+b$，得方程组$\begin{cases}k_1+b=2\\-2k_1+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=1\\b=1\end{cases}$，即$y_1=x+1$。
解不等式$x+1＜\frac{2}{x}$：
①当x＞0时，两边乘x不等号方向不变，得$x^2+x-2＜0$，解得$-2＜x＜1$，结合x＞0得$0＜x＜1$；
②当x＜0时，两边乘x不等号方向改变，得$x^2+x-2＞0$，解得$x＞1$或$x＜-2$，结合x＜0得$x＜-2$。
综上，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质；一次函数性质；函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数综合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，解题时需注意反比例函数图象分为两支，不要遗漏x＜0的区间，避免出现漏解错误。
【难度系数】
0.7
要解决一次函数值小于反比例函数值的x取值范围问题，可采用数形结合的思路：对于相同的x值，函数图象位置更低的对应函数值更小。首先两个函数的交点A(1,2)、B(-2,-1)是函数值相等的位置，也就是y₁和y₂大小关系发生变化的分界点，再结合反比例函数自变量x≠0的特点，可将x的取值范围划分为x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1、x＞1四个区间，逐段判断y₁和y₂的大小即可得到结果，也可先求出函数解析式通过解不等式求解。
【解析】
方法一（图像法）：
y₁＜y₂对应一次函数图象在反比例函数图象下方的x范围：
1. 当x＜-2时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足y₁＜y₂；
2. 当-2＜x＜0时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，y₁＞y₂，不符合要求；
3. 当0＜x＜1时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，满足y₁＜y₂；
4. 当x＞1时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，y₁＞y₂，不符合要求。
方法二（解析式法）：
将A(1,2)代入反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$k_2=1×2=2$，即$y_2=\frac{2}{x}$；
将A(1,2)、B(-2,-1)代入一次函数$y_1=k_1x+b$，得方程组$\begin{cases}k_1+b=2\\-2k_1+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=1\\b=1\end{cases}$，即$y_1=x+1$。
解不等式$x+1＜\frac{2}{x}$：
①当x＞0时，两边乘x不等号方向不变，得$x^2+x-2＜0$，解得$-2＜x＜1$，结合x＞0得$0＜x＜1$；
②当x＜0时，两边乘x不等号方向改变，得$x^2+x-2＞0$，解得$x＞1$或$x＜-2$，结合x＜0得$x＜-2$。
综上，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质；一次函数性质；函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数综合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，解题时需注意反比例函数图象分为两支，不要遗漏x＜0的区间，避免出现漏解错误。
【难度系数】
0.7
