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4. 如图，正比例函数 $ y_1 = k_1x $ 和反比例函数 $ y_2 = \frac{k_2}{x} $ 的图象交于 $ A(1,2) $，$ B $ 两点，给出下列结论：① $ k_1 ＜ k_2 $；② 当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y_1 ＜ y_2 $；③ 当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x ＞ 1 $；④ 当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y_2 $ 随 $ x $ 的增大而减小。其中正确的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先利用交点A的坐标代入两个函数解析式，求出k₁和k₂的值，再根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质得到B点坐标，最后结合函数图象的性质、图象的上下位置关系逐一判断四个结论的正误，统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
1. 求系数k₁、k₂：
将A(1,2)代入$y_1 = k_1x$，得$2 = k_1 × 1$，解得$k_1=2$；
将A(1,2)代入$y_2 = \frac{k_2}{x}$，得$2 = \frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$。
则$k_1=k_2$，故结论①错误。
2. 求B点坐标：
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，因此B点坐标为$(-1,-2)$。
3. 判断结论②：
观察图象可得，当$x ＜ -1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，对应函数值满足$y_1 ＜ y_2$，故结论②正确。
4. 判断结论③：
结合图象可知，当$y_1 ＞ y_2$时，x的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$，并非只有$x＞1$，故结论③错误。
5. 判断结论④：
对于反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$，$k_2=2＞0$，在每个象限内y随x的增大而减小；当$x＜0$时，图象位于第三象限，属于同一象限，因此$y_2$随x的增大而减小，故结论④正确。
综上，正确的结论为②④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数图象与不等式
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，解题核心是利用待定系数法求出函数系数，结合函数图象的对称性、增减性，用数形结合的思想分析判断，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用交点A的坐标代入两个函数解析式，求出k₁和k₂的值，再根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质得到B点坐标，最后结合函数图象的性质、图象的上下位置关系逐一判断四个结论的正误，统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
1. 求系数k₁、k₂：
将A(1,2)代入$y_1 = k_1x$，得$2 = k_1 × 1$，解得$k_1=2$；
将A(1,2)代入$y_2 = \frac{k_2}{x}$，得$2 = \frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$。
则$k_1=k_2$，故结论①错误。
2. 求B点坐标：
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，因此B点坐标为$(-1,-2)$。
3. 判断结论②：
观察图象可得，当$x ＜ -1$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，对应函数值满足$y_1 ＜ y_2$，故结论②正确。
4. 判断结论③：
结合图象可知，当$y_1 ＞ y_2$时，x的取值范围是$-1 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$，并非只有$x＞1$，故结论③错误。
5. 判断结论④：
对于反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$，$k_2=2＞0$，在每个象限内y随x的增大而减小；当$x＜0$时，图象位于第三象限，属于同一象限，因此$y_2$随x的增大而减小，故结论④正确。
综上，正确的结论为②④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数图象与不等式
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，解题核心是利用待定系数法求出函数系数，结合函数图象的对称性、增减性，用数形结合的思想分析判断，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.7
5. 若双曲线$y=\frac{k}{x}$与直线$y=mx+n$交于$A(2,a)(a＞0),B(-3,b)(b＜0)$两点，则不等式$\frac{k}{x}＜mx+n$的解集是 （
A.无法确定
B.$x＞2$或$x＜-3$
C.$-3＜x＜2$
D.$x＞2$或$-3＜x＜0$
D
）A.无法确定
B.$x＞2$或$x＜-3$
C.$-3＜x＜2$
D.$x＞2$或$-3＜x＜0$
答案
5. D
解析
【分析】
要解不等式$\frac{k}{x} ＜ mx+n$，可利用数形结合思想，该不等式的几何意义是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于一次函数$y=mx+n$图象下方时对应的$x$的取值范围。首先根据交点坐标判断反比例函数所在象限：点$A(2,a)$（$a＞0$）在反比例函数上，代入得$k=2a＞0$，因此反比例函数图象分布在第一、三象限，且在$x=0$处图象断开，需分$x＞0$和$x＜0$两个区间分别讨论范围。
【解析】
1. 由点$A(2,a)$在$y=\frac{k}{x}$上且$a＞0$，得$k=2a＞0$，因此$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限。
2. 两个函数的交点为$A(2,a)$（第一象限）、$B(-3,b)$（第三象限），分区间讨论：
当$x＞0$时，观察图象可得，$x＞2$时反比例函数图象在直线下方，满足$\frac{k}{x} ＜ mx+n$；
当$x＜0$时，观察图象可得，$-3＜x＜0$时反比例函数图象在直线下方，满足$\frac{k}{x} ＜ mx+n$。
因此不等式的解集为$x＞2$或$-3＜x＜0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象，函数与不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是将不等式的解集转化为两个函数图象的上下位置关系，需注意反比例函数图象在$x=0$处是断开的，必须分正负半轴两个区间讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
要解不等式$\frac{k}{x} ＜ mx+n$，可利用数形结合思想，该不等式的几何意义是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于一次函数$y=mx+n$图象下方时对应的$x$的取值范围。首先根据交点坐标判断反比例函数所在象限：点$A(2,a)$（$a＞0$）在反比例函数上，代入得$k=2a＞0$，因此反比例函数图象分布在第一、三象限，且在$x=0$处图象断开，需分$x＞0$和$x＜0$两个区间分别讨论范围。
【解析】
1. 由点$A(2,a)$在$y=\frac{k}{x}$上且$a＞0$，得$k=2a＞0$，因此$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限。
2. 两个函数的交点为$A(2,a)$（第一象限）、$B(-3,b)$（第三象限），分区间讨论：
当$x＞0$时，观察图象可得，$x＞2$时反比例函数图象在直线下方，满足$\frac{k}{x} ＜ mx+n$；
当$x＜0$时，观察图象可得，$-3＜x＜0$时反比例函数图象在直线下方，满足$\frac{k}{x} ＜ mx+n$。
因此不等式的解集为$x＞2$或$-3＜x＜0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象，函数与不等式的关系
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是将不等式的解集转化为两个函数图象的上下位置关系，需注意反比例函数图象在$x=0$处是断开的，必须分正负半轴两个区间讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
6. 如图,正比例函数$y_1=k_1x$和反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象交于$A(-1,2),B(1,-2)$两点,若$y_1＞y_2$,则$x$的取值范围是（
A.$x＜-1$或$x＞1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜1$
C.$-1＜x＜0$或$0＜x＜1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞1$
B
）A.$x＜-1$或$x＞1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜1$
C.$-1＜x＜0$或$0＜x＜1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞1$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这类两个函数值大小比较的问题，核心是运用数形结合思想，观察函数图象的上下位置关系：同一横坐标下，图象在上方的函数值更大。首先两个函数的交点是y₁=y₂的位置，属于取值范围的分界点，再结合反比例函数自变量x≠0的限制，将x的取值分为x＜-1、-1＜x＜0、0＜x＜1、x＞1四段，逐段判断图象上下位置即可得到结果。
【解析】
解：y₁＞y₂即正比例函数图象在反比例函数图象上方的区域，结合交点A(-1,2)、B(1,-2)和反比例函数x≠0的限制，分段分析：
1. 当x＜-1时，观察图象可得正比例函数图象在反比例函数上方，满足y₁＞y₂；
2. 当-1＜x＜0时，正比例函数图象在反比例函数下方，不满足y₁＞y₂；
3. 当0＜x＜1时，正比例函数图象在反比例函数上方，满足y₁＞y₂；
4. 当x＞1时，正比例函数图象在反比例函数下方，不满足y₁＞y₂。
x=-1、x=1时y₁=y₂，x=0时反比例函数无意义，均不纳入取值范围。
综上，x的取值范围是x＜-1或0＜x＜1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质，反比例函数图象性质，函数值大小比较
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是结合交点和反比例函数的定义域分段判断图象位置，注意不要忽略x≠0这个分段点。
【难度系数】
0.7
要解决这类两个函数值大小比较的问题，核心是运用数形结合思想，观察函数图象的上下位置关系：同一横坐标下，图象在上方的函数值更大。首先两个函数的交点是y₁=y₂的位置，属于取值范围的分界点，再结合反比例函数自变量x≠0的限制，将x的取值分为x＜-1、-1＜x＜0、0＜x＜1、x＞1四段，逐段判断图象上下位置即可得到结果。
【解析】
解：y₁＞y₂即正比例函数图象在反比例函数图象上方的区域，结合交点A(-1,2)、B(1,-2)和反比例函数x≠0的限制，分段分析：
1. 当x＜-1时，观察图象可得正比例函数图象在反比例函数上方，满足y₁＞y₂；
2. 当-1＜x＜0时，正比例函数图象在反比例函数下方，不满足y₁＞y₂；
3. 当0＜x＜1时，正比例函数图象在反比例函数上方，满足y₁＞y₂；
4. 当x＞1时，正比例函数图象在反比例函数下方，不满足y₁＞y₂。
x=-1、x=1时y₁=y₂，x=0时反比例函数无意义，均不纳入取值范围。
综上，x的取值范围是x＜-1或0＜x＜1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质，反比例函数图象性质，函数值大小比较
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题关键是结合交点和反比例函数的定义域分段判断图象位置，注意不要忽略x≠0这个分段点。
【难度系数】
0.7
7. 已知反比例函数的自变量$x$满足$\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2$时，对应的函数值$y$满足$\frac{1}{4} ≤ y ≤ 1$，则这个函数是 （
A.$y=\frac{1}{2x}$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=\frac{1}{8x}$
D.$y=\frac{8}{x}$
A
）A.$y=\frac{1}{2x}$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=\frac{1}{8x}$
D.$y=\frac{8}{x}$
答案
7. A
解析
【分析】
首先根据反比例函数自变量和函数值的取值范围均为正数，可判断反比例函数的比例系数$k＞0$，此时在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。因此$x$取最小值时对应$y$的最大值，$x$取最大值时对应$y$的最小值，我们可以将两组端点值代入反比例函数一般式$y=\frac{k}{x}$，求出$k$的定值，再匹配选项；也可以逐个将选项代入$x$的取值范围，验证$y$的范围是否符合题意。
【解析】
解法一：利用单调性求$k$值
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），由已知$x$、$y$的取值均为正，可得$k＞0$，此时在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
因此当$x=\frac{1}{2}$时，$y=1$；当$x=2$时，$y=\frac{1}{4}$。
将$x=\frac{1}{2}$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$1 = \frac{k}{\frac{1}{2}}$，解得$k=\frac{1}{2}$。
验证：当$x=2$时，$y=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$，符合题意。
因此反比例函数解析式为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x} = \frac{1}{2x}$，对应选项A。
解法二：逐个验证选项
A选项：$y=\frac{1}{2x}$，当$\frac{1}{2}≤x≤2$时，$1≤2x≤4$，因此$\frac{1}{4}≤\frac{1}{2x}≤1$，即$y$的范围是$\frac{1}{4}≤y≤1$，符合题意。
B选项：$y=\frac{2}{x}$，当$x=\frac{1}{2}$时，$y=4$，超出$y$的取值范围，不符合。
C选项：$y=\frac{1}{8x}$，当$x=2$时，$y=\frac{1}{16}$，小于$y$的最小值$\frac{1}{4}$，不符合。
D选项：$y=\frac{8}{x}$，当$x=\frac{1}{2}$时，$y=16$，超出$y$的取值范围，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的增减性
2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，既可通过单调性确定最值对应的端点值求出比例系数，也可通过代入选项验证的方式快速解题，是反比例函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据反比例函数自变量和函数值的取值范围均为正数，可判断反比例函数的比例系数$k＞0$，此时在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。因此$x$取最小值时对应$y$的最大值，$x$取最大值时对应$y$的最小值，我们可以将两组端点值代入反比例函数一般式$y=\frac{k}{x}$，求出$k$的定值，再匹配选项；也可以逐个将选项代入$x$的取值范围，验证$y$的范围是否符合题意。
【解析】
解法一：利用单调性求$k$值
反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），由已知$x$、$y$的取值均为正，可得$k＞0$，此时在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
因此当$x=\frac{1}{2}$时，$y=1$；当$x=2$时，$y=\frac{1}{4}$。
将$x=\frac{1}{2}$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$1 = \frac{k}{\frac{1}{2}}$，解得$k=\frac{1}{2}$。
验证：当$x=2$时，$y=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$，符合题意。
因此反比例函数解析式为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x} = \frac{1}{2x}$，对应选项A。
解法二：逐个验证选项
A选项：$y=\frac{1}{2x}$，当$\frac{1}{2}≤x≤2$时，$1≤2x≤4$，因此$\frac{1}{4}≤\frac{1}{2x}≤1$，即$y$的范围是$\frac{1}{4}≤y≤1$，符合题意。
B选项：$y=\frac{2}{x}$，当$x=\frac{1}{2}$时，$y=4$，超出$y$的取值范围，不符合。
C选项：$y=\frac{1}{8x}$，当$x=2$时，$y=\frac{1}{16}$，小于$y$的最小值$\frac{1}{4}$，不符合。
D选项：$y=\frac{8}{x}$，当$x=\frac{1}{2}$时，$y=16$，超出$y$的取值范围，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的增减性
2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，既可通过单调性确定最值对应的端点值求出比例系数，也可通过代入选项验证的方式快速解题，是反比例函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图，一次函数$y=x(x≥0)$与反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为D，交$y=x$的图象于点B，点A的横坐标为1.有以下结论：
① 线段AB的长为8；② 点C的坐标为$(3,3)$；③ 当$x＞3$时，一次函数的值小于反比例函数的值；④ $S_{△ ABC}=16$.其中结论正确的个数是 （
A.0
B.1
C.2
D.3
① 线段AB的长为8；② 点C的坐标为$(3,3)$；③ 当$x＞3$时，一次函数的值小于反比例函数的值；④ $S_{△ ABC}=16$.其中结论正确的个数是 （
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
8. C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据点A的横坐标，结合反比例函数解析式求出A点坐标，再根据B点在$y=x$上且横坐标和A相同，求出B点坐标，计算AB长度判断结论①；2. 联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组得到交点C的坐标，判断结论②；3. 取$x＞3$的数值代入两个函数，比较函数值大小，或结合图像走势判断结论③；4. 确定$△ ABC$的底和高，计算面积判断结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 求A、B坐标，判断①：
已知点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$上，横坐标为1，将$x=1$代入得$y=\frac{9}{1}=9$，故$A(1,9)$。
AD垂直x轴，交$y=x$于点B，因此B点横坐标也为1，代入$y=x$得$y=1$，故$B(1,1)$。
线段AB的长度为$9-1=8$，故结论①正确。
2. 求C点坐标，判断②：
联立$y=x$和$y=\frac{9}{x}$（$x＞0$），得$x=\frac{9}{x}$，即$x^2=9$，解得$x=3$（舍去负根），代入得$y=3$，故C点坐标为$(3,3)$，结论②正确。
3. 比较$x＞3$时的函数值，判断③：
取$x=4$（$x＞3$），一次函数值$y=4$，反比例函数值$y=\frac{9}{4}=2.25$，此时一次函数值大于反比例函数值，故结论③错误。
4. 计算$△ ABC$的面积，判断④：
线段AB垂直于x轴，长度为8，AB边上的高为C点与A点的水平距离，即$3-1=2$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2=8≠16$，故结论④错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，反比例函数性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数和一次函数的综合基础题，解题的关键是能根据函数解析式求点坐标，掌握坐标系内线段长度、图形面积的计算方法，结合图像分析函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据点A的横坐标，结合反比例函数解析式求出A点坐标，再根据B点在$y=x$上且横坐标和A相同，求出B点坐标，计算AB长度判断结论①；2. 联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组得到交点C的坐标，判断结论②；3. 取$x＞3$的数值代入两个函数，比较函数值大小，或结合图像走势判断结论③；4. 确定$△ ABC$的底和高，计算面积判断结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 求A、B坐标，判断①：
已知点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$上，横坐标为1，将$x=1$代入得$y=\frac{9}{1}=9$，故$A(1,9)$。
AD垂直x轴，交$y=x$于点B，因此B点横坐标也为1，代入$y=x$得$y=1$，故$B(1,1)$。
线段AB的长度为$9-1=8$，故结论①正确。
2. 求C点坐标，判断②：
联立$y=x$和$y=\frac{9}{x}$（$x＞0$），得$x=\frac{9}{x}$，即$x^2=9$，解得$x=3$（舍去负根），代入得$y=3$，故C点坐标为$(3,3)$，结论②正确。
3. 比较$x＞3$时的函数值，判断③：
取$x=4$（$x＞3$），一次函数值$y=4$，反比例函数值$y=\frac{9}{4}=2.25$，此时一次函数值大于反比例函数值，故结论③错误。
4. 计算$△ ABC$的面积，判断④：
线段AB垂直于x轴，长度为8，AB边上的高为C点与A点的水平距离，即$3-1=2$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×8×2=8≠16$，故结论④错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，反比例函数性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数和一次函数的综合基础题，解题的关键是能根据函数解析式求点坐标，掌握坐标系内线段长度、图形面积的计算方法，结合图像分析函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图，一次函数$y_1=k_1x+b$（$k_1,b$是常数，$k_1≠0$）的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2$是常数，$k_2≠0$）的图象都经过点$A(2,3)$。当$x＞2$时，$y_1$与$y_2$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.以上说法都不对
A
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.以上说法都不对
答案
9. A
解析
【分析】
要判断x＞2时y₁与y₂的大小关系，可借助函数图象的位置规律求解：首先两个函数都经过交点A(2,3)，即x=2时两个函数值相等；接下来看x＞2的区域，图象位于上方的函数对应的函数值更大，直接观察图象位置即可得出结论，无需计算函数解析式。
【解析】
∵一次函数与反比例函数的图象都经过点A(2,3)，
∴x=2时，y₁=y₂=3，
观察图象可得：当x＞2时，一次函数y₁=k₁x+b的图象在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$图象的上方，
根据函数图象的意义，同一横坐标下，图象位置更高的函数值更大，因此此时y₁＞y₂。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数与一次函数综合、函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题核心是抓住两个函数的交点，结合交点两侧图象的上下位置直接判断，无需计算解析式，方法直观简便。
【难度系数】
0.8
要判断x＞2时y₁与y₂的大小关系，可借助函数图象的位置规律求解：首先两个函数都经过交点A(2,3)，即x=2时两个函数值相等；接下来看x＞2的区域，图象位于上方的函数对应的函数值更大，直接观察图象位置即可得出结论，无需计算函数解析式。
【解析】
∵一次函数与反比例函数的图象都经过点A(2,3)，
∴x=2时，y₁=y₂=3，
观察图象可得：当x＞2时，一次函数y₁=k₁x+b的图象在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$图象的上方，
根据函数图象的意义，同一横坐标下，图象位置更高的函数值更大，因此此时y₁＞y₂。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数与一次函数综合、函数值大小比较
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题核心是抓住两个函数的交点，结合交点两侧图象的上下位置直接判断，无需计算解析式，方法直观简便。
【难度系数】
0.8
