登录
1. 如图，直线$y=\frac{1}{2}x+2$与双曲线相交于点$A(m,3)$，与$x$轴交于点$C$。
（1）求双曲线对应的函数解析式；
（2）点$P$在$x$轴上，如果$△ ACP$的面积为3，求点$P$的坐标。
（1）求双曲线对应的函数解析式；
（2）点$P$在$x$轴上，如果$△ ACP$的面积为3，求点$P$的坐标。
答案
1. (1) 把点$A(m,3)$代入$y=\frac{1}{2}x+2$,得$3=\frac{1}{2}m+2$,解得$m=2$,$\therefore A(2,3)$. 把$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=6$,$\therefore$ 双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$,令$y=0$,得到$x=-4$,即$C(-4,0)$.设$P(x,0)$,可得$PC=|x+4|$.$\because △ ACP$ 的面积为3,$\therefore \frac{1}{2}|x+4|×3=3$,即$|x+4|=2$,解得$x=-2$ 或 $x=-6$,$\therefore$ 点$P$ 的坐标为$(-2,0)$或$(-6,0)$.
(2) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$,令$y=0$,得到$x=-4$,即$C(-4,0)$.设$P(x,0)$,可得$PC=|x+4|$.$\because △ ACP$ 的面积为3,$\therefore \frac{1}{2}|x+4|×3=3$,即$|x+4|=2$,解得$x=-2$ 或 $x=-6$,$\therefore$ 点$P$ 的坐标为$(-2,0)$或$(-6,0)$.
解析
【分析】
（1）要确定双曲线的函数解析式，需要先得到双曲线上已知点A的坐标。由于点A在给定直线上，将A点的纵坐标代入直线解析式即可求出横坐标m，得到A点完整坐标后，代入反比例函数的一般形式即可求出未知系数k，得到双曲线解析式。
（2）先求出直线与x轴交点C的坐标，点P在x轴上，因此△ACP的高等于点A的纵坐标的绝对值，底为P、C两点在x轴上的距离，结合三角形面积公式列方程求解即可，注意x轴上两点距离需要用绝对值表示，避免漏解。
【解析】
(1) 把点$A(m,3)$代入直线解析式$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$3=\frac{1}{2}m+2$
解得$m=2$，即$A(2,3)$。
设双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$A(2,3)$代入得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
∴双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$，令$y=0$，得：
$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$
即点C的坐标为$(-4,0)$。
设点P的坐标为$(x,0)$，则$PC=|x-(-4)|=|x+4|$。
已知△ACP的面积为3，△ACP的高为点A到x轴的距离3，根据三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |x+4| × 3 = 3$
化简得$|x+4|=2$
解得$x=-2$或$x=-6$
∴点P的坐标为$(-2,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) $(-2,0)$或$(-6,0)$
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数交点计算，坐标与图形面积
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考察点为函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，结合三角形面积求点坐标时要注意多解情况，通过加绝对值的方式避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要确定双曲线的函数解析式，需要先得到双曲线上已知点A的坐标。由于点A在给定直线上，将A点的纵坐标代入直线解析式即可求出横坐标m，得到A点完整坐标后，代入反比例函数的一般形式即可求出未知系数k，得到双曲线解析式。
（2）先求出直线与x轴交点C的坐标，点P在x轴上，因此△ACP的高等于点A的纵坐标的绝对值，底为P、C两点在x轴上的距离，结合三角形面积公式列方程求解即可，注意x轴上两点距离需要用绝对值表示，避免漏解。
【解析】
(1) 把点$A(m,3)$代入直线解析式$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$3=\frac{1}{2}m+2$
解得$m=2$，即$A(2,3)$。
设双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$A(2,3)$代入得：
$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$
∴双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$，令$y=0$，得：
$0=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-4$
即点C的坐标为$(-4,0)$。
设点P的坐标为$(x,0)$，则$PC=|x-(-4)|=|x+4|$。
已知△ACP的面积为3，△ACP的高为点A到x轴的距离3，根据三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × |x+4| × 3 = 3$
化简得$|x+4|=2$
解得$x=-2$或$x=-6$
∴点P的坐标为$(-2,0)$或$(-6,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) $(-2,0)$或$(-6,0)$
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数交点计算，坐标与图形面积
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考察点为函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，结合三角形面积求点坐标时要注意多解情况，通过加绝对值的方式避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，一次函数$y=x+m$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为$(2,1)$。
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集。
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集。
答案
2. (1) $\because$点$A(2,1)$在函数$y=x+m$ 的图象上,$\therefore 2+m=1$,解得$m=-1$.$\because$点$A(2,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore \frac{k}{2}=1$,解得$k=2$.
(2) $\because$ 一次函数的解析式为$y=x-1$,令$y=0$,得$x=1$,$\therefore$ 点$C$ 的坐标为$(1,0)$.由图象可知不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集为$1＜x≤2$.
(2) $\because$ 一次函数的解析式为$y=x-1$,令$y=0$,得$x=1$,$\therefore$ 点$C$ 的坐标为$(1,0)$.由图象可知不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集为$1＜x≤2$.
解析
【分析】
（1）已知点A是一次函数和反比例函数的交点，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式”，将A(2,1)分别代入两个函数的表达式，即可列方程求出m和k的值；
（2）点C是一次函数与x轴的交点，x轴上所有点的纵坐标为0，将y=0代入一次函数解析式即可求出C点的横坐标，得到C点坐标；对于不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$，其几何意义是：x的取值满足一次函数的函数值大于0（即一次函数图象在x轴上方），且一次函数的函数值小于等于反比例函数的函数值（即一次函数图象在反比例函数图象下方，含交点），结合图象中A、C的位置，即可直接写出对应的x的取值范围。
【解析】
(1) 把点$A(2,1)$代入一次函数$y=x+m$中，得：
$2+m=1$，解得$m=-1$。
把点$A(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得：
$\frac{k}{2}=1$，解得$k=2$。
(2) 由(1)得一次函数的解析式为$y=x-1$，
令$y=0$，则$x-1=0$，解得$x=1$，
∴点C的坐标为$(1,0)$。
观察图象可得：当一次函数图象在x轴上方，且在反比例函数图象下方（含交点A）时，对应的x的取值范围是$1＜x≤2$，即不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集为$1＜x≤2$。
【答案】
(1) $m=-1$，$k=2$；
(2) 点C的坐标为$(1,0)$，不等式组的解集为$1＜x≤2$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与x轴交点；数形结合解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，重点考察函数图象上点的坐标与解析式的关系，以及利用图象的位置关系求解不等式，需要熟练掌握数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
（1）已知点A是一次函数和反比例函数的交点，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式”，将A(2,1)分别代入两个函数的表达式，即可列方程求出m和k的值；
（2）点C是一次函数与x轴的交点，x轴上所有点的纵坐标为0，将y=0代入一次函数解析式即可求出C点的横坐标，得到C点坐标；对于不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$，其几何意义是：x的取值满足一次函数的函数值大于0（即一次函数图象在x轴上方），且一次函数的函数值小于等于反比例函数的函数值（即一次函数图象在反比例函数图象下方，含交点），结合图象中A、C的位置，即可直接写出对应的x的取值范围。
【解析】
(1) 把点$A(2,1)$代入一次函数$y=x+m$中，得：
$2+m=1$，解得$m=-1$。
把点$A(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得：
$\frac{k}{2}=1$，解得$k=2$。
(2) 由(1)得一次函数的解析式为$y=x-1$，
令$y=0$，则$x-1=0$，解得$x=1$，
∴点C的坐标为$(1,0)$。
观察图象可得：当一次函数图象在x轴上方，且在反比例函数图象下方（含交点A）时，对应的x的取值范围是$1＜x≤2$，即不等式组$0＜x+m≤\frac{k}{x}$的解集为$1＜x≤2$。
【答案】
(1) $m=-1$，$k=2$；
(2) 点C的坐标为$(1,0)$，不等式组的解集为$1＜x≤2$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与x轴交点；数形结合解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，重点考察函数图象上点的坐标与解析式的关系，以及利用图象的位置关系求解不等式，需要熟练掌握数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象相交于点$A(-4,-2),B(m,4)$,与$y$轴相交于点$C$.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式;
(2) 求点$C$的坐标及$△ AOB$的面积.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式;
(2) 求点$C$的坐标及$△ AOB$的面积.
答案
3. (1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$A(-4,-2)$,$\therefore k=8$. $\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$.$\because$ 点$B(m,4)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上,$\therefore 4=\frac{8}{m}$,解得$m=2$. $\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(2,4)$.$\because$ 点 $A(-4,-2)$,$B(2,4)$在一次函数$y=ax+b$ 的图象上,$\therefore \begin{cases}-4a+b=-2,\\2a+b=4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+2$.
(2) 将$x=0$代入$y=x+2$,得$y=2$,$\therefore$ 点$C$ 的坐标为$(0,2)$. $\therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ COB} = \frac{1}{2} × 2 × [2-(-4)]=6$.
(2) 将$x=0$代入$y=x+2$,得$y=2$,$\therefore$ 点$C$ 的坐标为$(0,2)$. $\therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ COB} = \frac{1}{2} × 2 × [2-(-4)]=6$.
解析
【分析】
（1）求解反比例函数解析式时，已知反比例函数图象过点$A(-4,-2)$，将点$A$代入$y=\frac{k}{x}$即可求出$k$的值，得到反比例函数解析式；再将点$B(m,4)$代入已求出的反比例函数解析式，可算出$m$的值，得到点$B$的坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=ax+b$，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数解析式。
（2）点$C$是一次函数与$y$轴的交点，$y$轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入一次函数解析式即可求出点$C$的坐标；求$△ AOB$的面积时，可采用割补法，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，以$OC$为公共底，两个三角形的高分别为点$A$、点$B$横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1) 把点$A(-4,-2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{-4}$，解得$k=8$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
$\because$ 点$B(m,4)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
$\therefore 4=\frac{8}{m}$，解得$m=2$，即点$B$的坐标为$(2,4)$。
将$A(-4,-2)$、$B(2,4)$代入一次函数$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}-4a+b=-2\\2a+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 对于一次函数$y=x+2$，令$x=0$，得$y=0+2=2$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\frac{1}{2}×2×4 + \frac{1}{2}×2×2=6$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$，$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及割补法求解坐标系中三角形面积的技巧，熟练掌握以上方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）求解反比例函数解析式时，已知反比例函数图象过点$A(-4,-2)$，将点$A$代入$y=\frac{k}{x}$即可求出$k$的值，得到反比例函数解析式；再将点$B(m,4)$代入已求出的反比例函数解析式，可算出$m$的值，得到点$B$的坐标；最后将$A$、$B$两点坐标代入一次函数$y=ax+b$，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数解析式。
（2）点$C$是一次函数与$y$轴的交点，$y$轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入一次函数解析式即可求出点$C$的坐标；求$△ AOB$的面积时，可采用割补法，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，以$OC$为公共底，两个三角形的高分别为点$A$、点$B$横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1) 把点$A(-4,-2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{-4}$，解得$k=8$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
$\because$ 点$B(m,4)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
$\therefore 4=\frac{8}{m}$，解得$m=2$，即点$B$的坐标为$(2,4)$。
将$A(-4,-2)$、$B(2,4)$代入一次函数$y=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}-4a+b=-2\\2a+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 对于一次函数$y=x+2$，令$x=0$，得$y=0+2=2$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(0,2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\frac{1}{2}×2×4 + \frac{1}{2}×2×2=6$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$，$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及割补法求解坐标系中三角形面积的技巧，熟练掌握以上方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
