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1. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）中，$|k|$的几何意义是
过反比例函数$y=\frac{k}{x}$ (k 为常数,k≠0)的图象上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别是 M,N,矩形 PMON 的面积
等于|k|
。答案
1. 过反比例函数$y=\frac{k}{x}$ (k 为常数,k≠0)的图象上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别是 M,N,矩形 PMON 的面积等于|k|
解析
【分析】
要推导反比例函数$|k|$的几何意义，可从反比例函数图象上点的坐标特征入手：首先，反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于$k$；若过该点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线段的长度恰好是该点横、纵坐标的绝对值，两条垂线段与坐标轴围成矩形的面积就是两个绝对值的乘积，即$|k|$，由此就能得到$|k|$的几何意义。
【解析】
设反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）图象上任意一点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵点$P$在反比例函数图象上，
∴$y=\frac{k}{x}$，即$xy=k$。
过点$P$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，垂足分别为$M$、$N$，
则矩形$PMON$的邻边长分别为$|x|$（点$P$到$y$轴的距离）、$|y|$（点$P$到$x$轴的距离），
∴矩形$PMON$的面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
【答案】
过反比例函数$y=\frac{k}{x}$ (k 为常数,k≠0)的图象上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别是 M,N,矩形 PMON 的面积等于|k|
【知识点】
1. 反比例函数$|k|$的几何意义
2. 反比例函数点坐标特征
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是对反比例函数基础概念的直接考查，属于识记类基础题，该知识点是解决反比例函数与几何结合类题型的核心基础，需要学生熟练记忆并理解推导过程。
【难度系数】
0.9
要推导反比例函数$|k|$的几何意义，可从反比例函数图象上点的坐标特征入手：首先，反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于$k$；若过该点向$x$轴、$y$轴作垂线，两条垂线段的长度恰好是该点横、纵坐标的绝对值，两条垂线段与坐标轴围成矩形的面积就是两个绝对值的乘积，即$|k|$，由此就能得到$|k|$的几何意义。
【解析】
设反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）图象上任意一点$P$的坐标为$(x,y)$，
∵点$P$在反比例函数图象上，
∴$y=\frac{k}{x}$，即$xy=k$。
过点$P$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，垂足分别为$M$、$N$，
则矩形$PMON$的邻边长分别为$|x|$（点$P$到$y$轴的距离）、$|y|$（点$P$到$x$轴的距离），
∴矩形$PMON$的面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
【答案】
过反比例函数$y=\frac{k}{x}$ (k 为常数,k≠0)的图象上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别是 M,N,矩形 PMON 的面积等于|k|
【知识点】
1. 反比例函数$|k|$的几何意义
2. 反比例函数点坐标特征
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是对反比例函数基础概念的直接考查，属于识记类基础题，该知识点是解决反比例函数与几何结合类题型的核心基础，需要学生熟练记忆并理解推导过程。
【难度系数】
0.9
2. 过反比例函数 $y=-\dfrac{2}{3x}$ 图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则矩形PMON的面积为 。
答案
2. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时可先设反比例函数图象上点P的坐标为$(x,y)$，结合点在函数图象上的性质，得到x与y的乘积关系；再根据矩形的边长与点P横、纵坐标的关系，矩形的长、宽分别对应点P横、纵坐标的绝对值，最后利用矩形面积公式结合绝对值的性质即可求出面积。也可以直接利用反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为$|k|$，直接代入k的值计算。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵ 点P在反比例函数$y=-\dfrac{2}{3x}$的图象上，
∴ 将P$(x,y)$代入函数解析式得：$y=-\dfrac{2}{3x}$，
整理得：$xy=-\dfrac{2}{3}$，
由题意可知，矩形PMON的两条邻边长分别为$|x|$、$|y|$，
∴ 矩形PMON的面积$S=|x|·|y|=|xy|=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.矩形面积计算
3.绝对值的运算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数系数k的几何意义，熟记对应的结论可大幅提升解题速度，解题时要注意k的符号，面积为非负数，因此需要对k取绝对值。
【难度系数】
0.8
解题时可先设反比例函数图象上点P的坐标为$(x,y)$，结合点在函数图象上的性质，得到x与y的乘积关系；再根据矩形的边长与点P横、纵坐标的关系，矩形的长、宽分别对应点P横、纵坐标的绝对值，最后利用矩形面积公式结合绝对值的性质即可求出面积。也可以直接利用反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为$|k|$，直接代入k的值计算。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵ 点P在反比例函数$y=-\dfrac{2}{3x}$的图象上，
∴ 将P$(x,y)$代入函数解析式得：$y=-\dfrac{2}{3x}$，
整理得：$xy=-\dfrac{2}{3}$，
由题意可知，矩形PMON的两条邻边长分别为$|x|$、$|y|$，
∴ 矩形PMON的面积$S=|x|·|y|=|xy|=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.矩形面积计算
3.绝对值的运算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数系数k的几何意义，熟记对应的结论可大幅提升解题速度，解题时要注意k的符号，面积为非负数，因此需要对k取绝对值。
【难度系数】
0.8
3. 下列图形中，阴影部分面积最大的是（
C
）答案
3. C
解析
【分析】
要比较各选项阴影部分面积大小，需结合反比例函数中k的几何意义、坐标法求面积的方法，分别计算四个选项阴影部分的面积，再比较数值大小即可得到答案。首先明确反比例函数$y=\frac{3}{x}$中$|k|=3$，过双曲线上任意一点向x轴或y轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，两点与原点构成的三角形面积可通过割补法计算。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$，因此$|k|=3$。
选项A：两个阴影三角形均符合反比例函数k的几何意义，单个三角形面积为$\frac{1}{2}|k|=\frac{3}{2}$，总阴影面积为$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$。
选项B：上下两个阴影三角形的面积各为$\frac{1}{2}|k|=\frac{3}{2}$，总阴影面积为$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$。
选项C：过$M(1,3)$作$MA⊥ x$轴于A，过$N(3,1)$作$NB⊥ x$轴于B，可得$S_{△ OMA}=S_{△ ONB}=\frac{3}{2}$，因此阴影部分面积等于梯形$MABN$的面积。梯形上底$NB=1$，下底$MA=3$，高为$3-1=2$，因此梯形面积为$\frac{(1+3)×2}{2}=4$，即阴影面积为4。
选项D：$M(1,3)$与$N(-1,-3)$关于原点对称，两个阴影三角形面积之和为$2×\frac{1}{2}×1×3=3$。
比较得$4＞3$，因此阴影面积最大的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，坐标法求图形面积
【点评】
本题重点考查反比例函数相关的面积计算，熟练掌握k的几何意义、灵活使用割补法计算不规则图形面积是解题的关键，熟记相关结论可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要比较各选项阴影部分面积大小，需结合反比例函数中k的几何意义、坐标法求面积的方法，分别计算四个选项阴影部分的面积，再比较数值大小即可得到答案。首先明确反比例函数$y=\frac{3}{x}$中$|k|=3$，过双曲线上任意一点向x轴或y轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，两点与原点构成的三角形面积可通过割补法计算。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$，因此$|k|=3$。
选项A：两个阴影三角形均符合反比例函数k的几何意义，单个三角形面积为$\frac{1}{2}|k|=\frac{3}{2}$，总阴影面积为$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$。
选项B：上下两个阴影三角形的面积各为$\frac{1}{2}|k|=\frac{3}{2}$，总阴影面积为$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$。
选项C：过$M(1,3)$作$MA⊥ x$轴于A，过$N(3,1)$作$NB⊥ x$轴于B，可得$S_{△ OMA}=S_{△ ONB}=\frac{3}{2}$，因此阴影部分面积等于梯形$MABN$的面积。梯形上底$NB=1$，下底$MA=3$，高为$3-1=2$，因此梯形面积为$\frac{(1+3)×2}{2}=4$，即阴影面积为4。
选项D：$M(1,3)$与$N(-1,-3)$关于原点对称，两个阴影三角形面积之和为$2×\frac{1}{2}×1×3=3$。
比较得$4＞3$，因此阴影面积最大的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，坐标法求图形面积
【点评】
本题重点考查反比例函数相关的面积计算，熟练掌握k的几何意义、灵活使用割补法计算不规则图形面积是解题的关键，熟记相关结论可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 如图，函数$y=-x$与函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为（
A.4
B.6
C.8
D.10
C
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
4. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出一次函数与反比例函数的交点A、B的坐标，可通过联立两个函数解析式求解；再根据AC、BD垂直于y轴的条件，得到垂足C、D的坐标；最后观察四边形ACBD的形状，可将其拆分为两个三角形的面积之和，或利用梯形面积公式计算总面积。
【解析】
首先联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x \\ y=-\dfrac{4}{x}\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$-x=-\dfrac{4}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$。
把$x=-2$代入$y=-x$，得$y=2$，即点A坐标为$(-2,2)$；
把$x=2$代入$y=-x$，得$y=-2$，即点B坐标为$(2,-2)$。
∵AC⊥y轴，垂足为C，
∴C点坐标为$(0,2)$，$AC=|-2-0|=2$；
∵BD⊥y轴，垂足为D，
∴D点坐标为$(0,-2)$，$BD=|2-0|=2$。
已知AC、BD都平行于x轴，两条平行线$y=2$和$y=-2$之间的距离为$|2-(-2)|=4$，四边形ACBD为梯形，根据梯形面积公式：
$S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\dfrac{1}{2}×(AC+BD)×\mathrm{两平行线间距离}=\dfrac{1}{2}×(2+2)×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
函数交点求解，反比例函数性质，图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题的核心是先准确求出两个函数的交点坐标，再结合图形的特征选择简便的面积计算方法，也可以通过反比例函数k的几何意义快速计算相关小三角形的面积，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要求出一次函数与反比例函数的交点A、B的坐标，可通过联立两个函数解析式求解；再根据AC、BD垂直于y轴的条件，得到垂足C、D的坐标；最后观察四边形ACBD的形状，可将其拆分为两个三角形的面积之和，或利用梯形面积公式计算总面积。
【解析】
首先联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x \\ y=-\dfrac{4}{x}\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$-x=-\dfrac{4}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$。
把$x=-2$代入$y=-x$，得$y=2$，即点A坐标为$(-2,2)$；
把$x=2$代入$y=-x$，得$y=-2$，即点B坐标为$(2,-2)$。
∵AC⊥y轴，垂足为C，
∴C点坐标为$(0,2)$，$AC=|-2-0|=2$；
∵BD⊥y轴，垂足为D，
∴D点坐标为$(0,-2)$，$BD=|2-0|=2$。
已知AC、BD都平行于x轴，两条平行线$y=2$和$y=-2$之间的距离为$|2-(-2)|=4$，四边形ACBD为梯形，根据梯形面积公式：
$S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\dfrac{1}{2}×(AC+BD)×\mathrm{两平行线间距离}=\dfrac{1}{2}×(2+2)×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
函数交点求解，反比例函数性质，图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题的核心是先准确求出两个函数的交点坐标，再结合图形的特征选择简便的面积计算方法，也可以通过反比例函数k的几何意义快速计算相关小三角形的面积，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
1. 如图，反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点E，F，且$AE=BE$，则$△ OEF$的面积为
（第1题）
$\frac{9}{4}$
。（第1题）答案
1. $\frac{9}{4}$
解析
【分析】首先结合矩形性质和E是AB中点的条件，先设出点A的横坐标，利用反比例函数解析式依次求出E、B、F三点的坐标，再通过割补法，用矩形OABC的面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△OEF的面积，解题过程中设置的参数会自然消去，无需计算参数具体值。
【解析】设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ AB⊥x轴，BC//x轴，B点横坐标为a，C点纵坐标与B点纵坐标相等。
∵ 点E在AB上，且在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，
∴ E点坐标为$(a, \dfrac{3}{a})$，即$AE=\dfrac{3}{a}$。
∵ $AE=BE$，
∴ $AB=2AE=\dfrac{6}{a}$，可得B点坐标为$(a, \dfrac{6}{a})$，C点坐标为$(0, \dfrac{6}{a})$。
∵ 点F在BC上，纵坐标为$\dfrac{6}{a}$，代入$y=\dfrac{3}{x}$得：$x=\dfrac{3}{\dfrac{6}{a}}=\dfrac{a}{2}$，即F点坐标为$(\dfrac{a}{2}, \dfrac{6}{a})$。
计算各部分面积：
矩形OABC的面积：$S_{\mathrm{矩形}OABC}=OA· AB=a· \dfrac{6}{a}=6$
$S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}· OA· AE=\dfrac{1}{2}· a· \dfrac{3}{a}=\dfrac{3}{2}$
$S_{△ OCF}=\dfrac{1}{2}· OC· CF=\dfrac{1}{2}· \dfrac{6}{a}· \dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2}$
$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}· BE· BF=\dfrac{1}{2}· \dfrac{3}{a}· (a-\dfrac{a}{2})=\dfrac{3}{4}$
∴ $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}OABC}-S_{△ OAE}-S_{△ OCF}-S_{△ BEF}=6-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$
【答案】$\dfrac{9}{4}$
【知识点】反比例函数的性质，割补法求面积，矩形的性质
【点评】本题是反比例函数与几何图形结合的常规题型，解题关键是利用反比例函数上点的坐标特征表示出各相关点的坐标，通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的差进行计算。
【难度系数】0.65
【解析】设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ AB⊥x轴，BC//x轴，B点横坐标为a，C点纵坐标与B点纵坐标相等。
∵ 点E在AB上，且在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，
∴ E点坐标为$(a, \dfrac{3}{a})$，即$AE=\dfrac{3}{a}$。
∵ $AE=BE$，
∴ $AB=2AE=\dfrac{6}{a}$，可得B点坐标为$(a, \dfrac{6}{a})$，C点坐标为$(0, \dfrac{6}{a})$。
∵ 点F在BC上，纵坐标为$\dfrac{6}{a}$，代入$y=\dfrac{3}{x}$得：$x=\dfrac{3}{\dfrac{6}{a}}=\dfrac{a}{2}$，即F点坐标为$(\dfrac{a}{2}, \dfrac{6}{a})$。
计算各部分面积：
矩形OABC的面积：$S_{\mathrm{矩形}OABC}=OA· AB=a· \dfrac{6}{a}=6$
$S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}· OA· AE=\dfrac{1}{2}· a· \dfrac{3}{a}=\dfrac{3}{2}$
$S_{△ OCF}=\dfrac{1}{2}· OC· CF=\dfrac{1}{2}· \dfrac{6}{a}· \dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2}$
$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}· BE· BF=\dfrac{1}{2}· \dfrac{3}{a}· (a-\dfrac{a}{2})=\dfrac{3}{4}$
∴ $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}OABC}-S_{△ OAE}-S_{△ OCF}-S_{△ BEF}=6-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$
【答案】$\dfrac{9}{4}$
【知识点】反比例函数的性质，割补法求面积，矩形的性质
【点评】本题是反比例函数与几何图形结合的常规题型，解题关键是利用反比例函数上点的坐标特征表示出各相关点的坐标，通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的差进行计算。
【难度系数】0.65
2. 如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点C,则k的值为
$-6$
.答案
2. $-6$
解析
【分析】
要确定反比例函数中k的值，需先求出图象上点C的坐标。根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知的对角线长度、O为原点且B在y轴上的位置特征，可先推导点C的横、纵坐标，再将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，菱形OABC的两条对角线长分别为6和4，顶点O是原点，顶点B在y轴上，
∴ 对角线OB在y轴上，对角线AC平行于x轴。
点C在第二象限，其横坐标为：$-6÷2=-3$，纵坐标为：$4÷2=2$，即$C(-3,2)$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点C，
∴ 将$C(-3,2)$代入解析式得：$2=\frac{k}{-3}$，
解得$k=-3×2=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，将菱形性质和反比例函数知识相结合，解题关键是利用菱形的性质准确得到点C的坐标，熟练掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要确定反比例函数中k的值，需先求出图象上点C的坐标。根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知的对角线长度、O为原点且B在y轴上的位置特征，可先推导点C的横、纵坐标，再将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
∵ 菱形的对角线互相垂直且平分，菱形OABC的两条对角线长分别为6和4，顶点O是原点，顶点B在y轴上，
∴ 对角线OB在y轴上，对角线AC平行于x轴。
点C在第二象限，其横坐标为：$-6÷2=-3$，纵坐标为：$4÷2=2$，即$C(-3,2)$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点C，
∴ 将$C(-3,2)$代入解析式得：$2=\frac{k}{-3}$，
解得$k=-3×2=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，将菱形性质和反比例函数知识相结合，解题关键是利用菱形的性质准确得到点C的坐标，熟练掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在函数$y_1=\frac{k_1}{x}(x＜0)$和$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象上,分别有A,B两点,若$AB// x$轴,交y轴于点C,且$OA⊥ OB$,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}$,$S_{△ BOC}=\frac{9}{2}$,则线段AB的长度为
$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
.答案
3. $\frac{10\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题时先从反比例函数的几何意义入手，由△AOC和△BOC的面积可直接求出两个反比例函数的k值。再根据AB平行x轴的性质，可知A、B两点纵坐标相等，可设出两点坐标。最后利用OA⊥OB的条件，通过证明△AOC与△OBC相似，得到线段比例关系求出纵坐标的值，进而计算AB的长度。
【解析】
1. 求反比例函数的k值：
根据反比例函数中|k|的几何意义，过反比例函数上一点作y轴的垂线，所得三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。
对于$y_1=\frac{k_1}{x}(x＜0)$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}$，且图象在第二象限，$k_1＜0$，故$k_1=-1$；
对于$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|k_2|=\frac{9}{2}$，且图象在第一象限，$k_2＞0$，故$k_2=9$。
2. 设点坐标：
设点C坐标为$(0,m)$（$m＞0$），因为$AB// x$轴，所以A、B两点纵坐标均为$m$。
将$y=m$代入$y_1=\frac{-1}{x}$，得$x=-\frac{1}{m}$，即$A(-\frac{1}{m},m)$；
将$y=m$代入$y_2=\frac{9}{x}$，得$x=\frac{9}{m}$，即$B(\frac{9}{m},m)$。
3. 利用垂直条件求m：
因为$OA⊥ OB$，所以$∠ AOB=90°$，则$∠ AOC + ∠ BOC=90°$。
又$∠ BOC + ∠ OBC=90°$，故$∠ AOC=∠ OBC$，且$∠ ACO=∠ OCB=90°$，因此$△ AOC ∽ △ OBC$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AC}{OC}=\frac{OC}{BC}$。
其中$AC=\frac{1}{m}$，$OC=m$，$BC=\frac{9}{m}$，代入得：
$\frac{\frac{1}{m}}{m}=\frac{m}{\frac{9}{m}}$，化简得$m^4=9$，结合$m＞0$，解得$m=\sqrt{3}$。
4. 计算AB的长度：
$AB = x_B - x_A = \frac{9}{m} - (-\frac{1}{m}) = \frac{10}{m}$，将$m=\sqrt{3}$代入得：
$AB=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的综合题，核心是利用反比例函数的几何意义快速求出k值，再结合垂直条件构造相似三角形建立等量关系求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从反比例函数的几何意义入手，由△AOC和△BOC的面积可直接求出两个反比例函数的k值。再根据AB平行x轴的性质，可知A、B两点纵坐标相等，可设出两点坐标。最后利用OA⊥OB的条件，通过证明△AOC与△OBC相似，得到线段比例关系求出纵坐标的值，进而计算AB的长度。
【解析】
1. 求反比例函数的k值：
根据反比例函数中|k|的几何意义，过反比例函数上一点作y轴的垂线，所得三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。
对于$y_1=\frac{k_1}{x}(x＜0)$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}$，且图象在第二象限，$k_1＜0$，故$k_1=-1$；
对于$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|k_2|=\frac{9}{2}$，且图象在第一象限，$k_2＞0$，故$k_2=9$。
2. 设点坐标：
设点C坐标为$(0,m)$（$m＞0$），因为$AB// x$轴，所以A、B两点纵坐标均为$m$。
将$y=m$代入$y_1=\frac{-1}{x}$，得$x=-\frac{1}{m}$，即$A(-\frac{1}{m},m)$；
将$y=m$代入$y_2=\frac{9}{x}$，得$x=\frac{9}{m}$，即$B(\frac{9}{m},m)$。
3. 利用垂直条件求m：
因为$OA⊥ OB$，所以$∠ AOB=90°$，则$∠ AOC + ∠ BOC=90°$。
又$∠ BOC + ∠ OBC=90°$，故$∠ AOC=∠ OBC$，且$∠ ACO=∠ OCB=90°$，因此$△ AOC ∽ △ OBC$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AC}{OC}=\frac{OC}{BC}$。
其中$AC=\frac{1}{m}$，$OC=m$，$BC=\frac{9}{m}$，代入得：
$\frac{\frac{1}{m}}{m}=\frac{m}{\frac{9}{m}}$，化简得$m^4=9$，结合$m＞0$，解得$m=\sqrt{3}$。
4. 计算AB的长度：
$AB = x_B - x_A = \frac{9}{m} - (-\frac{1}{m}) = \frac{10}{m}$，将$m=\sqrt{3}$代入得：
$AB=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的综合题，核心是利用反比例函数的几何意义快速求出k值，再结合垂直条件构造相似三角形建立等量关系求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
