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4. 如图，点 $ P_1, P_2, P_3 $ 分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作 $ y $ 轴的垂线，垂足分别是 $ A_1, A_2, A_3 $，得到的三个三角形 $ △ P_1A_1O, △ P_2A_2O, △ P_3A_3O $。设它们的面积分别为 $ S_1, S_2, S_3 $，则它们的大小关系是 （
A.$ S_1 ＞ S_2 ＞ S_3 $
B.$ S_3 ＞ S_2 ＞ S_1 $
C.$ S_1 = S_2 = S_3 $
D.$ S_2 ＞ S_3 ＞ S_1 $
（第4题）
C
）A.$ S_1 ＞ S_2 ＞ S_3 $
B.$ S_3 ＞ S_2 ＞ S_1 $
C.$ S_1 = S_2 = S_3 $
D.$ S_2 ＞ S_3 ＞ S_1 $
（第4题）答案
4. C
解析
【分析】
首先明确本题考查反比例函数系数$k$的几何意义，解题思路如下：第一步，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可知双曲线上任意一点的横纵坐标乘积恒等于$k$；第二步，分析三个直角三角形的面积计算方式：三角形的底是垂足到原点的长度（即点的纵坐标的绝对值），高是点到$y$轴的距离（即点的横坐标的绝对值），因此面积为$\frac{1}{2}×|x|×|y|$；第三步，结合反比例函数$xy=k$的性质，可得该类三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点在双曲线上的位置无关，因此三个三角形面积相等。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
因为点$P_1,P_2,P_3$均在该双曲线的同一支上，所以对每个点$P_n(x_n,y_n)$（$n=1,2,3$），都满足$x_ny_n=k$。
$△ P_nA_nO$为直角三角形，直角边长度分别为$|x_n|$（点$P_n$到$y$轴的距离）和$|y_n|$（线段$OA_n$的长度），因此面积为：
$S_n=\frac{1}{2}×|x_n|×|y_n|=\frac{1}{2}|x_ny_n|=\frac{1}{2}|k|$
由此可得$S_1=S_2=S_3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中系数$k$的几何意义，只要掌握“过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点的位置无关”这一结论，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
首先明确本题考查反比例函数系数$k$的几何意义，解题思路如下：第一步，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可知双曲线上任意一点的横纵坐标乘积恒等于$k$；第二步，分析三个直角三角形的面积计算方式：三角形的底是垂足到原点的长度（即点的纵坐标的绝对值），高是点到$y$轴的距离（即点的横坐标的绝对值），因此面积为$\frac{1}{2}×|x|×|y|$；第三步，结合反比例函数$xy=k$的性质，可得该类三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点在双曲线上的位置无关，因此三个三角形面积相等。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
因为点$P_1,P_2,P_3$均在该双曲线的同一支上，所以对每个点$P_n(x_n,y_n)$（$n=1,2,3$），都满足$x_ny_n=k$。
$△ P_nA_nO$为直角三角形，直角边长度分别为$|x_n|$（点$P_n$到$y$轴的距离）和$|y_n|$（线段$OA_n$的长度），因此面积为：
$S_n=\frac{1}{2}×|x_n|×|y_n|=\frac{1}{2}|x_ny_n|=\frac{1}{2}|k|$
由此可得$S_1=S_2=S_3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中系数$k$的几何意义，只要掌握“过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，与点的位置无关”这一结论，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
5. 如图,反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$在第二象限的图象上有两点$A$,$B$,它们横坐标分别为$-1$,$-3$,直线$AB$与$x$轴交于点$C$,则$△ AOC$的面积为 （
A.8
B.10
C.12
D.24
C
）A.8
B.10
C.12
D.24
答案
5. C
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，利用反比例函数解析式，结合A、B两点的横坐标，求出两点的纵坐标，得到A、B的坐标；第二步，用待定系数法，代入A、B两点坐标求出直线AB的解析式；第三步，令直线解析式中y=0，求出直线与x轴交点C的坐标，得到OC的长度；第四步，△AOC的底为OC的长度，高为点A的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
已知A、B在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$上，
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，故$A(-1,6)$；
当$x=-3$时，$y=-\dfrac{6}{-3}=2$，故$B(-3,2)$。
2. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases}-k+b=6 \\-3k+b=2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2k=4$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$-k+b=6$，得$-2+b=6$，解得$b=8$，
故直线AB的解析式为$y=2x+8$。
3. 求点C的坐标：
点C在x轴上，令$y=0$，则$0=2x+8$，解得$x=-4$，故$C(-4,0)$，$OC=4$。
4. 计算△AOC的面积：
△AOC的高为点A的纵坐标6，面积$S=\dfrac{1}{2}× OC× 6=\dfrac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的常见题型，解题核心是先求出各关键点坐标，再结合几何图形的面积公式计算，解题步骤清晰，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，利用反比例函数解析式，结合A、B两点的横坐标，求出两点的纵坐标，得到A、B的坐标；第二步，用待定系数法，代入A、B两点坐标求出直线AB的解析式；第三步，令直线解析式中y=0，求出直线与x轴交点C的坐标，得到OC的长度；第四步，△AOC的底为OC的长度，高为点A的纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
已知A、B在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$上，
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，故$A(-1,6)$；
当$x=-3$时，$y=-\dfrac{6}{-3}=2$，故$B(-3,2)$。
2. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A、B坐标代入得：
$\begin{cases}-k+b=6 \\-3k+b=2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$2k=4$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$-k+b=6$，得$-2+b=6$，解得$b=8$，
故直线AB的解析式为$y=2x+8$。
3. 求点C的坐标：
点C在x轴上，令$y=0$，则$0=2x+8$，解得$x=-4$，故$C(-4,0)$，$OC=4$。
4. 计算△AOC的面积：
△AOC的高为点A的纵坐标6，面积$S=\dfrac{1}{2}× OC× 6=\dfrac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数结合的常见题型，解题核心是先求出各关键点坐标，再结合几何图形的面积公式计算，解题步骤清晰，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
6. 如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限的图象经过顶点$A(m,2)$和边CD上的点$E(n,\frac{2}{3})$。过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点$G(0,-2)$，则点F的坐标是（
A.$(\frac{5}{4},0)$
B.$(\frac{7}{4},0)$
C.$(\frac{9}{4},0)$
D.$(\frac{11}{4},0)$
C
）A.$(\frac{5}{4},0)$
B.$(\frac{7}{4},0)$
C.$(\frac{9}{4},0)$
D.$(\frac{11}{4},0)$
答案
6. C
解析
【分析】
首先，由正方形顶点A的坐标可得正方形边长为2，由此推出点E的横坐标与A的横坐标的关系；再结合A、E都在反比例函数图象上，两点横纵坐标乘积都等于k，列方程求出A、E的坐标；之后利用E和G两点坐标求出直线l的解析式，最后令直线解析式中y=0，即可求得点F的横坐标，得到F点坐标。
【解析】
1. 求m、n的值：
∵正方形ABCD的顶点A坐标为$(m,2)$，
∴正方形边长为$AB=2$，则$BC=2$，故点E的横坐标$n = m + 2$。
∵点$A(m,2)$和$E(n,\frac{2}{3})$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = 2m = \frac{2}{3}n$，将$n=m+2$代入得：$2m = \frac{2}{3}(m+2)$，
两边同乘3得：$6m = 2m +4$，解得$m=1$，则$n=1+2=3$，
∴点E的坐标为$(3,\frac{2}{3})$。
2. 求直线l的解析式：
设直线l的解析式为$y=ax+b$，已知直线过$G(0,-2)$和$E(3,\frac{2}{3})$，
将$G(0,-2)$代入得$b=-2$，
将$E(3,\frac{2}{3})$、$b=-2$代入解析式得：$\frac{2}{3}=3a -2$，
解得$3a = \frac{8}{3}$，即$a=\frac{8}{9}$，
∴直线l的解析式为$y=\frac{8}{9}x -2$。
3. 求点F坐标：
点F在x轴上，令$y=0$，则$0=\frac{8}{9}x -2$，
解得$x=\frac{9}{4}$，故F点坐标为$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数解析式求解；正方形的性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数、正方形性质结合的综合题，解题的突破口是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合正方形边长相等求出点E的坐标，再通过一次函数解析式求与x轴的交点，属于常考的中档题型，对学生的综合运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
首先，由正方形顶点A的坐标可得正方形边长为2，由此推出点E的横坐标与A的横坐标的关系；再结合A、E都在反比例函数图象上，两点横纵坐标乘积都等于k，列方程求出A、E的坐标；之后利用E和G两点坐标求出直线l的解析式，最后令直线解析式中y=0，即可求得点F的横坐标，得到F点坐标。
【解析】
1. 求m、n的值：
∵正方形ABCD的顶点A坐标为$(m,2)$，
∴正方形边长为$AB=2$，则$BC=2$，故点E的横坐标$n = m + 2$。
∵点$A(m,2)$和$E(n,\frac{2}{3})$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = 2m = \frac{2}{3}n$，将$n=m+2$代入得：$2m = \frac{2}{3}(m+2)$，
两边同乘3得：$6m = 2m +4$，解得$m=1$，则$n=1+2=3$，
∴点E的坐标为$(3,\frac{2}{3})$。
2. 求直线l的解析式：
设直线l的解析式为$y=ax+b$，已知直线过$G(0,-2)$和$E(3,\frac{2}{3})$，
将$G(0,-2)$代入得$b=-2$，
将$E(3,\frac{2}{3})$、$b=-2$代入解析式得：$\frac{2}{3}=3a -2$，
解得$3a = \frac{8}{3}$，即$a=\frac{8}{9}$，
∴直线l的解析式为$y=\frac{8}{9}x -2$。
3. 求点F坐标：
点F在x轴上，令$y=0$，则$0=\frac{8}{9}x -2$，
解得$x=\frac{9}{4}$，故F点坐标为$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数解析式求解；正方形的性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数、正方形性质结合的综合题，解题的突破口是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合正方形边长相等求出点E的坐标，再通过一次函数解析式求与x轴的交点，属于常考的中档题型，对学生的综合运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 在平面直角坐标系$xOy$中，$P$为反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$图象上的动点，则线段$OP$长度的最小值是
$2$
。答案
1. 2
解析
【分析】
要计算原点O到反比例函数上动点P的最小距离，第一步先根据反比例函数解析式设出点P的坐标：因为P在$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$上，可设P为$(x,\dfrac{2}{x})$；第二步结合两点间距离公式写出OP的长度表达式：$OP=\sqrt{x^2+(\dfrac{2}{x})^2}$；第三步利用完全平方的非负性求代数式的最小值：由$(a-b)^2≥0$可得$a^2+b^2≥2ab$，代入对应数值即可求出OP的最小值。
【解析】
设点P的坐标为$(x,\dfrac{2}{x})$（$x＞0$），根据两点间距离公式，线段OP的长度为：
$OP=\sqrt{(x-0)^2+(\dfrac{2}{x}-0)^2}=\sqrt{x^2+\dfrac{4}{x^2}}$
根据完全平方的非负性，$(x-\dfrac{2}{x})^2≥0$，展开得：
$x^2 - 2· x· \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{x^2}≥0$
化简得$x^2 + \dfrac{4}{x^2}≥4$，当且仅当$x=\dfrac{2}{x}$即$x=\sqrt{2}$时等号成立。
因此$\sqrt{x^2+\dfrac{4}{x^2}}≥\sqrt{4}=2$，即OP的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数点的坐标特征、两点间距离公式、完全平方的非负性
【点评】
本题将反比例函数的性质与代数最值求解结合，既考查了学生对函数图象上点的坐标规律的掌握，也考查了灵活运用公式求最值的能力，解题的核心是将线段长度转化为代数式，再利用已学的不等式性质求解。
【难度系数】
0.7
要计算原点O到反比例函数上动点P的最小距离，第一步先根据反比例函数解析式设出点P的坐标：因为P在$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$上，可设P为$(x,\dfrac{2}{x})$；第二步结合两点间距离公式写出OP的长度表达式：$OP=\sqrt{x^2+(\dfrac{2}{x})^2}$；第三步利用完全平方的非负性求代数式的最小值：由$(a-b)^2≥0$可得$a^2+b^2≥2ab$，代入对应数值即可求出OP的最小值。
【解析】
设点P的坐标为$(x,\dfrac{2}{x})$（$x＞0$），根据两点间距离公式，线段OP的长度为：
$OP=\sqrt{(x-0)^2+(\dfrac{2}{x}-0)^2}=\sqrt{x^2+\dfrac{4}{x^2}}$
根据完全平方的非负性，$(x-\dfrac{2}{x})^2≥0$，展开得：
$x^2 - 2· x· \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{x^2}≥0$
化简得$x^2 + \dfrac{4}{x^2}≥4$，当且仅当$x=\dfrac{2}{x}$即$x=\sqrt{2}$时等号成立。
因此$\sqrt{x^2+\dfrac{4}{x^2}}≥\sqrt{4}=2$，即OP的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数点的坐标特征、两点间距离公式、完全平方的非负性
【点评】
本题将反比例函数的性质与代数最值求解结合，既考查了学生对函数图象上点的坐标规律的掌握，也考查了灵活运用公式求最值的能力，解题的核心是将线段长度转化为代数式，再利用已学的不等式性质求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，直线$y=x+4$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$相交于$A(-1,a)$，B两点，在y轴上找一点P，当$PA+PB$的值最小时，点P的坐标为
$(0,\frac{5}{2})$
。答案
2. $(0,\frac{5}{2})$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求出点A坐标，再代入反比例函数求出k值，联立两个函数解析式求出点B坐标；第二步利用轴对称最短路径模型，作点A关于y轴的对称点A'，此时PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA+PB的值最小；第三步用待定系数法求出直线A'B的解析式，该直线与y轴的交点即为所求点P。
【解析】
1. 求点A坐标：
将$A(-1,a)$代入直线$y=x+4$，得$a=-1+4=3$，$\therefore A(-1,3)$。
2. 求反比例函数解析式及点B坐标：
将$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，$\therefore$反比例函数为$y=-\frac{3}{x}$。
联立$\begin{cases}y=x+4\\y=-\dfrac{3}{x}\end{cases}$，消去y得$x+4=-\dfrac{3}{x}$，整理得$x^2+4x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
将$x=-3$代入$y=x+4$，得$y=-3+4=1$，$\therefore B(-3,1)$。
3. 求最短路径对应的点P坐标：
作点A关于y轴的对称点$A'$，根据y轴对称点的坐标特征，得$A'(1,3)$。
设直线$A'B$的解析式为$y=mx+b$，将$A'(1,3)$、$B(-3,1)$代入得：
$\begin{cases}m+b=3\\-3m+b=1\end{cases}$，两式相减得$4m=2$，解得$m=\dfrac{1}{2}$，代入$m+b=3$得$b=\dfrac{5}{2}$。
$\therefore$直线$A'B$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$。
令$x=0$，得$y=\dfrac{5}{2}$，即点P坐标为$(0,\dfrac{5}{2})$。
【答案】
$(0,\dfrac{5}{2})$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；最短路径问题；待定系数法求解析式
【点评】
本题将函数交点计算与轴对称最短路径模型结合，既考查了函数解析式求解、交点计算的基本能力，也考查了几何模型的迁移应用能力，是函数与几何结合的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步先求出点A坐标，再代入反比例函数求出k值，联立两个函数解析式求出点B坐标；第二步利用轴对称最短路径模型，作点A关于y轴的对称点A'，此时PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA+PB的值最小；第三步用待定系数法求出直线A'B的解析式，该直线与y轴的交点即为所求点P。
【解析】
1. 求点A坐标：
将$A(-1,a)$代入直线$y=x+4$，得$a=-1+4=3$，$\therefore A(-1,3)$。
2. 求反比例函数解析式及点B坐标：
将$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，$\therefore$反比例函数为$y=-\frac{3}{x}$。
联立$\begin{cases}y=x+4\\y=-\dfrac{3}{x}\end{cases}$，消去y得$x+4=-\dfrac{3}{x}$，整理得$x^2+4x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
将$x=-3$代入$y=x+4$，得$y=-3+4=1$，$\therefore B(-3,1)$。
3. 求最短路径对应的点P坐标：
作点A关于y轴的对称点$A'$，根据y轴对称点的坐标特征，得$A'(1,3)$。
设直线$A'B$的解析式为$y=mx+b$，将$A'(1,3)$、$B(-3,1)$代入得：
$\begin{cases}m+b=3\\-3m+b=1\end{cases}$，两式相减得$4m=2$，解得$m=\dfrac{1}{2}$，代入$m+b=3$得$b=\dfrac{5}{2}$。
$\therefore$直线$A'B$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$。
令$x=0$，得$y=\dfrac{5}{2}$，即点P坐标为$(0,\dfrac{5}{2})$。
【答案】
$(0,\dfrac{5}{2})$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；最短路径问题；待定系数法求解析式
【点评】
本题将函数交点计算与轴对称最短路径模型结合，既考查了函数解析式求解、交点计算的基本能力，也考查了几何模型的迁移应用能力，是函数与几何结合的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
