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3. 如图，直线AB经过原点O，与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$交于A，B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是
$-8$
。答案
3. $-8$
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数与过原点的直线的交点性质：两个交点关于原点中心对称，可得O是AB的中点，因此△AOC和△BOC面积相等，进而可推出△AOC的面积是△ABC面积的一半；再结合反比例函数k的几何意义，即过反比例函数上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，求出|k|的值；最后根据双曲线所在的象限判断k的符号，即可得到k的取值。
【解析】
解：
∵直线AB过原点，与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点中心对称，即$OA=OB$，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2S_{△ AOC}=8$，
解得$S_{△ AOC}=4$。
∵AC⊥y轴，设A点坐标为$(x,y)$，
则$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· |x|· |y|=\frac{1}{2}|xy|$，
又
∵A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$xy=k$，
∴$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$。
由图可知双曲线经过第二、四象限，
∴$k＜0$，
∴$k=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题的核心是利用交点的中心对称性完成面积的转化，同时要注意结合函数图象所在象限确定k的符号，避免因忽略符号导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用反比例函数与过原点的直线的交点性质：两个交点关于原点中心对称，可得O是AB的中点，因此△AOC和△BOC面积相等，进而可推出△AOC的面积是△ABC面积的一半；再结合反比例函数k的几何意义，即过反比例函数上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，求出|k|的值；最后根据双曲线所在的象限判断k的符号，即可得到k的取值。
【解析】
解：
∵直线AB过原点，与双曲线$y=\frac{k}{x}$交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点中心对称，即$OA=OB$，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2S_{△ AOC}=8$，
解得$S_{△ AOC}=4$。
∵AC⊥y轴，设A点坐标为$(x,y)$，
则$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· |x|· |y|=\frac{1}{2}|xy|$，
又
∵A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$xy=k$，
∴$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$。
由图可知双曲线经过第二、四象限，
∴$k＜0$，
∴$k=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题的核心是利用交点的中心对称性完成面积的转化，同时要注意结合函数图象所在象限确定k的符号，避免因忽略符号导致结果错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图,四边形OABC是平行四边形,对角线OB在y轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线$y=\frac{k_1}{x}$和$y=\frac{k_2}{x}$的一支上,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为M和N,则有以下的结论:①$\frac{AM}{CN}=\frac{|k_1|}{|k_2|}$;②阴影部分面积是$\frac{1}{2}(k_1 + k_2)$;③当$∠ AOC=90°$时,$|k_1|=|k_2|$;④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.其中正确的结论是
①④
.(填序号)答案
4. ①④
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对角线的性质，结合OB在y轴上的特点，得出点A和点C的横坐标互为相反数，再结合反比例函数的坐标性质、k的几何意义，以及特殊平行四边形的性质，逐个判断4个结论是否正确：
1. 先设点A坐标，推导点C的横坐标特征，结合反比例函数表达式推导AM和CN的比值判断①；
2. 利用反比例函数k的几何意义计算两个阴影三角形的面积和，判断②；
3. 结合直角的性质，利用勾股定理推导k₁和k₂的关系，判断③；
4. 结合菱形邻边相等的性质推导k₁和k₂的关系，再判断反比例函数的对称性，判断④。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在$y=\frac{k_1}{x}$上，
∴$k_1=ab$，$AM=b=\frac{|k_1|}{a}$。
∵四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，
∴AC的中点横坐标为0，即点C的横坐标为$-a$。
设点C纵坐标为$c$（$c＞0$），
∵点C在$y=\frac{k_2}{x}$上，
∴$k_2=-a· c$，$CN=c=\frac{|k_2|}{a}$。
1. 判断结论①：
$\frac{AM}{CN}=\frac{\frac{|k_1|}{a}}{\frac{|k_2|}{a}}=\frac{|k_1|}{|k_2|}$，故①正确。
2. 判断结论②：
阴影部分面积为$S_{△ AOM}+S_{△ CON}$，由反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|=-\frac{1}{2}k_2$，
∴阴影面积$=\frac{1}{2}k_1-\frac{1}{2}k_2=\frac{1}{2}(k_1 - k_2)$，故②错误。
3. 判断结论③：
当$∠ AOC=90°$时，由勾股定理得$OA^2+OC^2=AC^2$，即$a^2+b^2+a^2+c^2=(2a)^2+(b-c)^2$，
化简得：$2a^2+b^2+c^2=4a^2+b^2-2bc+c^2$，即$bc=a^2$。
若$|k_1|=|k_2|$，则$ab=ac$，即$b=c$，代入得$b^2=a^2$，仅当$a=b$时成立，不是普遍结论，故③错误。
4. 判断结论④：
若OABC是菱形，则$OA=OC$，即$a^2+b^2=a^2+c^2$，得$b=c$，
∴$k_2=-a· c=-ab=-k_1$，即两个双曲线为$y=\frac{k_1}{x}$和$y=-\frac{k_1}{x}$，二者既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确。
【答案】
①④
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形与菱形的性质，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，需要结合坐标运算和几何图形的性质逐个分析结论，解题时要注意反比例函数k的符号对计算的影响，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平行四边形对角线的性质，结合OB在y轴上的特点，得出点A和点C的横坐标互为相反数，再结合反比例函数的坐标性质、k的几何意义，以及特殊平行四边形的性质，逐个判断4个结论是否正确：
1. 先设点A坐标，推导点C的横坐标特征，结合反比例函数表达式推导AM和CN的比值判断①；
2. 利用反比例函数k的几何意义计算两个阴影三角形的面积和，判断②；
3. 结合直角的性质，利用勾股定理推导k₁和k₂的关系，判断③；
4. 结合菱形邻边相等的性质推导k₁和k₂的关系，再判断反比例函数的对称性，判断④。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在$y=\frac{k_1}{x}$上，
∴$k_1=ab$，$AM=b=\frac{|k_1|}{a}$。
∵四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，
∴AC的中点横坐标为0，即点C的横坐标为$-a$。
设点C纵坐标为$c$（$c＞0$），
∵点C在$y=\frac{k_2}{x}$上，
∴$k_2=-a· c$，$CN=c=\frac{|k_2|}{a}$。
1. 判断结论①：
$\frac{AM}{CN}=\frac{\frac{|k_1|}{a}}{\frac{|k_2|}{a}}=\frac{|k_1|}{|k_2|}$，故①正确。
2. 判断结论②：
阴影部分面积为$S_{△ AOM}+S_{△ CON}$，由反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k_1|=\frac{1}{2}k_1$，$S_{△ CON}=\frac{1}{2}|k_2|=-\frac{1}{2}k_2$，
∴阴影面积$=\frac{1}{2}k_1-\frac{1}{2}k_2=\frac{1}{2}(k_1 - k_2)$，故②错误。
3. 判断结论③：
当$∠ AOC=90°$时，由勾股定理得$OA^2+OC^2=AC^2$，即$a^2+b^2+a^2+c^2=(2a)^2+(b-c)^2$，
化简得：$2a^2+b^2+c^2=4a^2+b^2-2bc+c^2$，即$bc=a^2$。
若$|k_1|=|k_2|$，则$ab=ac$，即$b=c$，代入得$b^2=a^2$，仅当$a=b$时成立，不是普遍结论，故③错误。
4. 判断结论④：
若OABC是菱形，则$OA=OC$，即$a^2+b^2=a^2+c^2$，得$b=c$，
∴$k_2=-a· c=-ab=-k_1$，即两个双曲线为$y=\frac{k_1}{x}$和$y=-\frac{k_1}{x}$，二者既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确。
【答案】
①④
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形与菱形的性质，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，需要结合坐标运算和几何图形的性质逐个分析结论，解题时要注意反比例函数k的符号对计算的影响，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
5. 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与矩形ABCO的两边相交于E,F两点.若E是AB的中点,$S_{△ BEF}=2$,则k的值为
$8$
.答案
5. 8
解析
【分析】
本题是反比例函数与矩形结合的几何计算题，解题思路如下：首先利用反比例函数的坐标特征，设出E点坐标，结合E是AB中点的条件推出B点坐标；再根据F点在BC边和反比例函数图象上，求出F点坐标；接着用含参数的式子表示出Rt△BEF的两条直角边长度，最后结合三角形面积公式列方程，消去参数后即可求出k的值。
【解析】
设点E的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）。
∵ 四边形ABCO是矩形，E是AB的中点，
∴ 点B的横坐标为$2a$，纵坐标与E相同，即$B(2a,\frac{k}{a})$。
∵ 点F在BC边上（横坐标为$2a$），且在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将$x=2a$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{2a}$，即$F(2a,\frac{k}{2a})$。
∴ $BE=2a-a=a$，$BF=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$。
∵ $∠ B=90°$，$S_{△ BEF}=2$，
∴ $\frac{1}{2}× BE× BF=2$，代入得：
$\frac{1}{2}× a× \frac{k}{2a}=2$，
约去$a$后化简得$\frac{k}{4}=2$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合基础题，核心解题方法是数形结合设点坐标，利用坐标表示线段长度，计算过程中参数会自然消去，能有效考查学生对函数坐标特征和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数与矩形结合的几何计算题，解题思路如下：首先利用反比例函数的坐标特征，设出E点坐标，结合E是AB中点的条件推出B点坐标；再根据F点在BC边和反比例函数图象上，求出F点坐标；接着用含参数的式子表示出Rt△BEF的两条直角边长度，最后结合三角形面积公式列方程，消去参数后即可求出k的值。
【解析】
设点E的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）。
∵ 四边形ABCO是矩形，E是AB的中点，
∴ 点B的横坐标为$2a$，纵坐标与E相同，即$B(2a,\frac{k}{a})$。
∵ 点F在BC边上（横坐标为$2a$），且在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
将$x=2a$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{2a}$，即$F(2a,\frac{k}{2a})$。
∴ $BE=2a-a=a$，$BF=\frac{k}{a}-\frac{k}{2a}=\frac{k}{2a}$。
∵ $∠ B=90°$，$S_{△ BEF}=2$，
∴ $\frac{1}{2}× BE× BF=2$，代入得：
$\frac{1}{2}× a× \frac{k}{2a}=2$，
约去$a$后化简得$\frac{k}{4}=2$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质；矩形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合基础题，核心解题方法是数形结合设点坐标，利用坐标表示线段长度，计算过程中参数会自然消去，能有效考查学生对函数坐标特征和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=\frac{3}{2}x$与双曲线$y=\frac{6}{x}$相交于$A,B$两点,$C$是第一象限内双曲线上一点,连接$CA$并延长交$y$轴于点$P$,连接$BP,BC$.若$△ PBC$的面积是20,则点$C$的坐标为
（第6题）（第7题）
$(\frac{14}{3},\frac{9}{7})$
.（第6题）（第7题）
答案
6. $(\frac{14}{3},\frac{9}{7})$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先联立直线与双曲线的解析式，求解得到A、B两点的坐标；第二步设第一象限内双曲线上点C的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），通过待定系数法求出直线AC的解析式，进一步得到直线AC与y轴交点P的坐标；第三步利用平面直角坐标系内三角形面积公式列关于$a$的方程，解方程得到$a$的值，即可求出点C的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
联立直线与双曲线的解析式$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x \\ y=\frac{6}{x}\end{cases}$，消去$y$得$\frac{3}{2}x=\frac{6}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=3$，即$A(2,3)$；将$x=-2$代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=-3$，即$B(-2,-3)$。
2. 求点P的坐标：
设点C的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），直线AC的斜率为$k=\frac{\frac{6}{a}-3}{a-2}=-\frac{3}{a}$，由点斜式得直线AC的解析式为$y-3=-\frac{3}{a}(x-2)$。
令$x=0$，解得$y=3+\frac{6}{a}$，即点P的坐标为$(0,3+\frac{6}{a})$。
3. 列方程求$a$的值：
根据平面直角坐标系内三点求三角形面积的公式，代入$B(-2,-3)$、$P(0,3+\frac{6}{a})$、$C(a,\frac{6}{a})$得：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}\left| -2×(3+\frac{6}{a}-\frac{6}{a})+0×(\frac{6}{a}+3)+a×(-3-3-\frac{6}{a}) \right|=3a+6$
已知$S_{△ PBC}=20$，列方程$3a+6=20$，解得$a=\frac{14}{3}$，则$\frac{6}{a}=\frac{9}{7}$。
【答案】
$(\frac{14}{3},\frac{9}{7})$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合应用题，核心是用坐标表示各个点的位置，结合面积公式建立方程求解，需要学生具备一定的代数运算能力和方程思想。
【难度系数】
0.3
解题思路分三步：第一步先联立直线与双曲线的解析式，求解得到A、B两点的坐标；第二步设第一象限内双曲线上点C的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），通过待定系数法求出直线AC的解析式，进一步得到直线AC与y轴交点P的坐标；第三步利用平面直角坐标系内三角形面积公式列关于$a$的方程，解方程得到$a$的值，即可求出点C的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
联立直线与双曲线的解析式$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x \\ y=\frac{6}{x}\end{cases}$，消去$y$得$\frac{3}{2}x=\frac{6}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=3$，即$A(2,3)$；将$x=-2$代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=-3$，即$B(-2,-3)$。
2. 求点P的坐标：
设点C的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），直线AC的斜率为$k=\frac{\frac{6}{a}-3}{a-2}=-\frac{3}{a}$，由点斜式得直线AC的解析式为$y-3=-\frac{3}{a}(x-2)$。
令$x=0$，解得$y=3+\frac{6}{a}$，即点P的坐标为$(0,3+\frac{6}{a})$。
3. 列方程求$a$的值：
根据平面直角坐标系内三点求三角形面积的公式，代入$B(-2,-3)$、$P(0,3+\frac{6}{a})$、$C(a,\frac{6}{a})$得：
$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}\left| -2×(3+\frac{6}{a}-\frac{6}{a})+0×(\frac{6}{a}+3)+a×(-3-3-\frac{6}{a}) \right|=3a+6$
已知$S_{△ PBC}=20$，列方程$3a+6=20$，解得$a=\frac{14}{3}$，则$\frac{6}{a}=\frac{9}{7}$。
【答案】
$(\frac{14}{3},\frac{9}{7})$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，待定系数法求解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合应用题，核心是用坐标表示各个点的位置，结合面积公式建立方程求解，需要学生具备一定的代数运算能力和方程思想。
【难度系数】
0.3
7. 如图，函数$y=\frac{1}{x}$和$y=-\frac{3}{x}$的图象分别是$l_1$和$l_2$.$PC⊥ x$轴，垂足为$C$，交$l_2$于点$A$，$PD⊥ y$轴，垂足为$D$，交$l_2$于点$B$，则$△ PAB$的面积为
$8$
.答案
7. 8
解析
【分析】
我们可以通过设点P的坐标，利用反比例函数解析式分别表示出点A、B的坐标，再求出直角边PA、PB的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。首先点P在$y=\frac{1}{x}$上，可设其坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$），根据A、B都在$y=-\frac{3}{x}$上，且A的横坐标与P相同、B的纵坐标与P相同，即可求出A、B坐标，进而得到两条直角边的长度，计算面积时参数a会自动消去，得到固定值。
【解析】
设点P的坐标为$(a, \frac{1}{a})$（$a＞0$）。
1. 求点A的坐标及PA的长度：
因为$PC ⊥ x$轴，所以点A的横坐标与点P相同，为$a$。
将$x=a$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$y=-\frac{3}{a}$，即$A(a, -\frac{3}{a})$。
则$PA = \frac{1}{a} - (-\frac{3}{a}) = \frac{4}{a}$。
2. 求点B的坐标及PB的长度：
因为$PD ⊥ y$轴，所以点B的纵坐标与点P相同，为$\frac{1}{a}$。
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$\frac{1}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-3a$，即$B(-3a, \frac{1}{a})$。
则$PB = a - (-3a) = 4a$。
3. 计算$△ PAB$的面积：
由$PC ⊥ x$轴、$PD ⊥ y$轴可知$∠ APB=90°$，$△ PAB$为直角三角形。
$S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × PA × PB = \frac{1}{2} × \frac{4}{a} × 4a = 8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的常规题型，核心是利用参数表示出相关点的坐标，计算过程中参数会自然消去，最终得到固定的面积值，考查了学生对反比例函数性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
我们可以通过设点P的坐标，利用反比例函数解析式分别表示出点A、B的坐标，再求出直角边PA、PB的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。首先点P在$y=\frac{1}{x}$上，可设其坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$），根据A、B都在$y=-\frac{3}{x}$上，且A的横坐标与P相同、B的纵坐标与P相同，即可求出A、B坐标，进而得到两条直角边的长度，计算面积时参数a会自动消去，得到固定值。
【解析】
设点P的坐标为$(a, \frac{1}{a})$（$a＞0$）。
1. 求点A的坐标及PA的长度：
因为$PC ⊥ x$轴，所以点A的横坐标与点P相同，为$a$。
将$x=a$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$y=-\frac{3}{a}$，即$A(a, -\frac{3}{a})$。
则$PA = \frac{1}{a} - (-\frac{3}{a}) = \frac{4}{a}$。
2. 求点B的坐标及PB的长度：
因为$PD ⊥ y$轴，所以点B的纵坐标与点P相同，为$\frac{1}{a}$。
将$y=\frac{1}{a}$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$\frac{1}{a}=-\frac{3}{x}$，解得$x=-3a$，即$B(-3a, \frac{1}{a})$。
则$PB = a - (-3a) = 4a$。
3. 计算$△ PAB$的面积：
由$PC ⊥ x$轴、$PD ⊥ y$轴可知$∠ APB=90°$，$△ PAB$为直角三角形。
$S_{△ PAB} = \frac{1}{2} × PA × PB = \frac{1}{2} × \frac{4}{a} × 4a = 8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的常规题型，核心是利用参数表示出相关点的坐标，计算过程中参数会自然消去，最终得到固定的面积值，考查了学生对反比例函数性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
