8. 如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数$y=\frac{6}{x}$在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为（）

A.36
B.12
C.6
D.3

8. D

【分析】
解题时我们可以通过设参数的方式表示出点B的坐标，结合反比例函数的性质得到参数的关系，再利用面积公式计算面积差：
1. 先设等腰$Rt△ OAC$的直角边长为$a$，等腰$Rt△ BAD$的直角边长为$b$，结合等腰直角三角形的性质，推导得到点B的坐标为$(a+b,a-b)$；
2. 点B在反比例函数图象上，满足横纵坐标乘积等于$k$，据此可得到参数$a、b$的关系式；
3. 分别写出两个三角形的面积表达式，将参数关系式整体代入即可求出面积差。
【解析】
设等腰$Rt△ OAC$的直角边长为$a$，等腰$Rt△ BAD$的直角边长为$b$，
则点$A$的坐标为$(a,a)$，点$B$的坐标为$(a+b,a-b)$。
$\because$点$B$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的第一象限图象上，
$\therefore (a+b)(a-b)=6$，由平方差公式可得$a^2-b^2=6$。
两个三角形的面积差为：
$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}(a^2-b^2)=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，平方差公式
【点评】
本题是几何与函数的结合题型，核心是通过设参数表示反比例函数上点的坐标，利用整体代入的思想计算面积差，不需要单独求解每个参数的具体值，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.6

9. 反比例函数 $ y=\frac{a}{x} $（$ a $为常数，$ a＞0 $）和 $ y=\frac{2}{x} $在第一象限的图象如图所示，点$ M $在$ y=\frac{a}{x} $的图象上.$ MC ⊥ x $轴于点$ C $，交$ y=\frac{2}{x} $的图象于点$ A $，$ MD ⊥ y $轴于点$ D $，交$ y=\frac{2}{x} $的图象于点$ B $. 当点$ M $在$ y=\frac{a}{x} $的图象上运动时，以下结论：① $ S_{△ ODB}=S_{△ OCA} $；② 四边形$ OAMB $的面积不变；③ 当$ A $是$ MC $的中点时，则$ B $是$ MD $的中点. 其中正确结论的个数是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

9. D

【分析】
解决本题的核心是利用反比例函数中k的几何意义，结合坐标与图形的性质逐一验证三个结论：
1. 对于结论①，直接利用反比例函数图象上任意一点与坐标轴围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，判断两个三角形的面积是否相等即可；
2. 对于结论②，将四边形OAMB的面积转化为矩形OCMD的面积减去两个小三角形的面积，结合矩形面积是定值a，两个小三角形面积和为定值，即可判断面积是否变化；
3. 对于结论③，用坐标法设出点M的坐标，结合A是MC中点的条件推导a的取值，再验证点B的位置是否为MD的中点即可。
【解析】
设点$M$的坐标为$(m,n)$，因为点$M$在$y=\frac{a}{x}$上，所以$mn=a$。
1. 验证结论①：
点$B$、$A$都在$y=\frac{2}{x}$的图象上，根据反比例函数$k$的几何意义：
$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}×|2|=1$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×|2|=1$，
所以$S_{△ ODB}=S_{△ OCA}$，结论①正确。
2. 验证结论②：
矩形$OCMD$的面积为$OC× OD=mn=a$，
则$S_{四边形OAMB}=S_{矩形OCMD}-S_{△ ODB}-S_{△ OCA}=a-1-1=a-2$，
因为$a$是常数，所以四边形$OAMB$的面积不变，结论②正确。
3. 验证结论③：
若$A$是$MC$的中点，则点$A$的坐标为$(m,\frac{n}{2})$，
因为点$A$在$y=\frac{2}{x}$上，代入得：$m×\frac{n}{2}=2$，即$mn=4$，所以$a=4$。
点$B$在$MD$上，纵坐标为$n$，代入$y=\frac{2}{x}$得点$B$的横坐标为$x=\frac{2}{n}$，
由$mn=4$得$\frac{2}{n}=\frac{m}{2}$，即点$B$的横坐标为$MD$长度的一半，所以$B$是$MD$的中点，结论③正确。
综上，①②③三个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，重点考查反比例函数k的几何意义的应用，解题时通过面积转化、坐标代入验证的方法逐一判断结论即可，熟练掌握反比例函数的相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.65

10. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,2),B(2,n)$,过点$A$作$AC$平行于$x$轴交$y$轴于点$C$,在$y$轴负半轴上取一点$D$,使$OD=\frac{1}{2}OC$,且$△ ACD$的面积是$6$,连接$BC$.
(1) 求$m,k,n$的值;
(2) 求$△ ABC$的面积.

10. (1) $\because$点 A 的坐标为$(m,2),AC// x$轴,$\therefore OC=2,AC=m. \because OD=\frac{1}{2}OC,\therefore OD=1$,即点 D 的坐标为$(0,-1)$.$\therefore CD=OC+OD=2+1=3. \because △ ACD$ 的面积是 6,$\therefore \frac{1}{2}AC · CD=6$,即$\frac{1}{2}m × 3=6$. 解得 $m=4$,$\therefore$点 A 的坐标为$(4,2)$. 将点 A$(4,2)$代入反比例函数 $y=\frac{k}{x}$,得 $k=2 × 4=8$,$\therefore y=\frac{8}{x}. \because$点 B$(2,n)$在函数 $y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore n=\frac{8}{2}=4.$
(2) 由图可知点 B 的纵坐标减去点 A 的纵坐标即为$△ ABC$ 中边 AC 上的高,$\therefore$ 在$△ ABC$ 中,边 AC 上的高为 $4-2=2$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC × 2=\frac{1}{2} × 4 × 2=4.$

【分析】
(1) 首先根据点A的纵坐标和AC平行于x轴的性质确定OC的长度，再结合OD与OC的数量关系求出OD的长度，得到CD的长；接着利用△ACD的面积公式列方程求出m的值，得到点A坐标后代入反比例函数解析式求出k，最后将点B的横坐标代入反比例函数解析式即可求出n。
(2) 由于AC平行于x轴，△ABC中AC边上的高为点B与点A的纵坐标之差，结合第一问求出的AC长度，代入三角形面积公式即可算出△ABC的面积。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为$(m,2)$，$AC// x$轴，交y轴于点C，
∴$OC=2$，$AC=m$。
∵$OD=\frac{1}{2}OC$，
∴$OD=\frac{1}{2}×2=1$，即点D坐标为$(0,-1)$，
∴$CD=OC+OD=2+1=3$。
∵$△ ACD$的面积是6，
∴$\frac{1}{2}· AC· CD=6$，即$\frac{1}{2}× m×3=6$，解得$m=4$，
∴点A坐标为$(4,2)$。
将$A(4,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=xy=4×2=8$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
∵点$B(2,n)$在$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$n=\frac{8}{2}=4$。
(2)
∵$AC// x$轴，
∴$△ ABC$中边AC上的高为点B与点A的纵坐标之差，即高$=4-2=2$，
又
∵$AC=4$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × 2=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) $m=4$，$k=8$，$n=4$；
(2) $△ ABC$的面积为$4$。
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与平面几何的综合题，解题的核心是利用点的坐标特征结合几何图形的面积公式求出未知参数，属于常规题型，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7