18. 如图,用一张半径为24 cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果圆锥形帽子的底面半径为10 cm,那么这张扇形纸板的面积是 ()

A.$240π\ \mathrm{cm}^2$
B.$480π\ \mathrm{cm}^2$
C.$1200π\ \mathrm{cm}^2$
D.$2400π\ \mathrm{cm}^2$

18. A

【分析】
解题的核心是明确圆锥侧面展开图与扇形的对应关系：扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。首先计算圆锥底面周长得到扇形的弧长，再代入扇形面积公式即可求出扇形纸板的面积。
【解析】
已知圆锥形帽子的底面半径为10 cm，先计算圆锥底面周长，也就是扇形的弧长：
$l=2π r=2π×10=20π\ \mathrm{cm}$
又已知扇形纸板的半径$R=24\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lR$，代入数值：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}×20π×24=240π\ \mathrm{cm}^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，扇形面积计算，圆的周长计算
【点评】
本题是立体图形展开图的基础应用题，解题关键是找准扇形和圆锥的对应等量关系，熟练掌握相关公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

19. 如图,在四边形ABCD中,AB// CD,∠ABC=60°,AD=BC=CD=8,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,则点M到直线BC的距离的最小值为 ()

A.$4\sqrt{3}-1$
B.$3\sqrt{2}-2$
C.$6\sqrt{3}-4$
D.$2\sqrt{3}-1$

19. C

【分析】
首先，由∠AMD=90°，根据圆周角定理的推论可判断：动点M的轨迹是以AD为直径的圆（位于四边形内部的部分）。要求点M到直线BC的最小距离，根据圆的性质，圆上一点到直线的最短距离等于圆心到该直线的距离减去圆的半径。因此我们先分析等腰梯形ABCD的参数，求出AD的中点（即圆心）到BC的距离，再减去半径即可得到结果。
【解析】
1. 确定四边形类型：
∵AB//CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，∠DAB=∠ABC=60°，∠ADC=∠BCD=120°。
2. 建立平面直角坐标系：设A在原点(0,0)，AB在x轴上。
过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，在Rt△BCF中，BC=8，∠ABC=60°：
$BF=BC·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，$CF=BC·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，同理$AE=4$。
因此各点坐标为：$A(0,0)$，$D(4,4\sqrt{3})$，$C(12,4\sqrt{3})$，$B(16,0)$。
3. 确定动点M的轨迹：∠AMD=90°，
∴M在以AD为直径的圆上，圆心O为AD中点，坐标为$(2,2\sqrt{3})$，半径$r=\frac{AD}{2}=4$。
4. 求直线BC的方程：BC斜率$k=\frac{4\sqrt{3}-0}{12-16}=-\sqrt{3}$，方程为$y=-\sqrt{3}(x-16)$，整理得$\sqrt{3}x + y -16\sqrt{3}=0$。
5. 计算圆心O到BC的距离：由点到直线距离公式
$d=\frac{|\sqrt{3}×2 + 2\sqrt{3} -16\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}}=\frac{|-12\sqrt{3}|}{2}=6\sqrt{3}$。
6. 求最小距离：圆上点到BC的最短距离为$d - r=6\sqrt{3} -4$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰梯形性质，点到直线的距离公式
【点评】
本题是几何最值综合题，解题核心是先通过直角条件判断出动点的轨迹为圆，再将圆上点到直线的最短距离转化为圆心到直线的距离与半径的差，较好地考查了转化思想和几何计算能力。
【难度系数】
0.4

20. 如图，已知CD是$\odot O$的直径，$∠ EOD=78°$, AE交$\odot O$于B，且$AB=OC$.求$∠ A$的度数.

20. 如图,连接OB,$\because AB=OC,\therefore AB=OB,\therefore ∠BOC=∠A,\therefore ∠OBE=∠BOC+∠A=2∠A.\because OB=OE,\therefore ∠OBE=∠E,\therefore ∠EOD=3∠A=78°,$解得$∠A=26°.$

【分析】
本题已知∠EOD的度数，要求∠A的度数，需要先建立二者的数量关系。首先观察已知条件AB=OC，而OC是⊙O的半径，OB、OE同为⊙O的半径，因此可先连接OB，利用半径相等得到多组等边关系，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形外角的性质，逐步推导得出∠EOD是∠A的3倍，最后代入已知角度计算即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
又
∵ AB=OC，
∴ AB=OB，即△ABO为等腰三角形，
∴ ∠BOC=∠A，
根据三角形外角的性质可得：∠OBE=∠BOC+∠A=2∠A，
∵ OB、OE都是⊙O的半径，
∴ OB=OE，即△OBE为等腰三角形，
∴ ∠OBE=∠E=2∠A，
再根据三角形外角的性质可得：∠EOD=∠E+∠A=2∠A+∠A=3∠A，
已知∠EOD=78°，即3∠A=78°，
解得∠A=26°。
【答案】
∠A的度数为$\boldsymbol{26°}$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的典型题型，解题的核心是合理构造辅助线，通过连接半径得到等腰三角形，挖掘“圆的所有半径相等”这一隐含条件，结合三角形角度相关性质建立已知角和未知角的数量关系即可求解，掌握圆中连接半径构造等腰三角形的辅助线思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

21. “圆”对于中国人来说总有一种特殊的情结，圆融、圆满寄托着众人美好的期望，也契合了国人内心深处的向往. 如图是合肥园博园中的一个圆拱形的门洞，已知门洞高AE＝3 m，地面入口宽CD＝2 m，求门洞的半径.（精确到0.1 m）

21. 解:设$\odot O$的半径为r m,则$OE=AE-OA=(3-r)\mathrm{m},\because AE⊥ CD,\therefore CE=DE=\frac{1}{2}CD=1\ \mathrm{m},$在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,$\because OE^2+CE^2=OC^2$,$\therefore (3-r)^2+1^2=r^2,$解得$r=\frac{5}{3}\approx1.7(\mathrm{m}).\therefore$门洞的半径约为1.7 m.

【分析】
解决本题首先要将实际门洞问题转化为圆的几何问题，解题思路如下：第一步先设圆的半径为r m；第二步利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，由AE⊥CD可推出CE为CD的一半，得到CE的长度；第三步观察Rt△OCE，OC是半径r，OE为门洞高AE减去半径OA，即(3-r)m，三边可全部用含r的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为r m，则$OE=AE-OA=(3-r)\mathrm{m}$，
$\because AE⊥ CD$，
$\therefore CE=DE=\frac{1}{2}CD=1\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理可得$OE^2+CE^2=OC^2$，
$\therefore (3-r)^2+1^2=r^2$，
展开整理得$10-6r=0$，解得$r=\frac{5}{3}\approx1.7(\mathrm{m})$。
【答案】
门洞的半径约为1.7 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是圆的实际应用类题目，核心是结合垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，体现了数学建模思想和方程思想，掌握圆的基础性质和勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7