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22. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点$E$，点$P$在$\odot O$上，弦$PB$与$CD$交于点$F$，且$FP=FD$。
（1）求证：$PD// CB$；
（2）若$AB=26$，$CD=24$，求$BE$的长度。
（1）求证：$PD// CB$；
（2）若$AB=26$，$CD=24$，求$BE$的长度。
答案
22. （1）证明:$\because FP=FD$,$\therefore ∠P=∠FDP.\because ∠P=∠C,\therefore ∠C=∠FDP,\therefore PD// CB.$
（2）如图,连接OC,
$\because AB$是直径,$AB⊥ CD,\therefore E$为CD的中点.$\because AB=26,CD=24,\therefore OC=OB=13,CE=12,\therefore OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5,\therefore BE=OB-OE=13-5=8.$解析
【分析】
（1）要证明$PD// CB$，可通过证明内错角相等推导：首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由$FP=FD$得到$∠ P=∠ FDP$；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ P=∠ C$，等量代换得到$∠ C=∠ FDP$，即可根据内错角相等证明两直线平行。
（2）要求$BE$的长度，先连接$OC$，利用垂径定理可得$E$是$CD$中点，求出$CE$的长度；由直径$AB$的长度可得半径$OC$、$OB$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ OCE$中用勾股定理求出$OE$的长度，最后用$OB$减去$OE$即可得到$BE$的长度。
【解析】
（1）证明：$\because FP=FD$，$\therefore ∠ P=∠ FDP$。
$\because$ 同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ P=∠ C$，
$\therefore ∠ C=∠ FDP$，
$\therefore PD// CB$。
（2）解：如图，连接$OC$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
$\therefore E$为$CD$的中点。
$\because AB=26$，$CD=24$，
$\therefore OC=OB=13$，$CE=12$，
由勾股定理得$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore BE=OB-OE=13-5=8$。
【答案】
22. （1）证明:$\because FP=FD$,$\therefore ∠P=∠FDP.\because ∠P=∠C,\therefore ∠C=∠FDP,\therefore PD// CB.$
（2）如图,连接OC,$\because AB$是直径,$AB⊥ CD,\therefore E$为CD的中点.$\because AB=26,CD=24,\therefore OC=OB=13,CE=12,\therefore OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5,\therefore BE=OB-OE=13-5=8.$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了等腰三角形性质、平行线判定与圆的基本性质考查，解题时需熟练运用相关定理转化角与线段的关系，圆中线段计算类问题常结合垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$PD// CB$，可通过证明内错角相等推导：首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由$FP=FD$得到$∠ P=∠ FDP$；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ P=∠ C$，等量代换得到$∠ C=∠ FDP$，即可根据内错角相等证明两直线平行。
（2）要求$BE$的长度，先连接$OC$，利用垂径定理可得$E$是$CD$中点，求出$CE$的长度；由直径$AB$的长度可得半径$OC$、$OB$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ OCE$中用勾股定理求出$OE$的长度，最后用$OB$减去$OE$即可得到$BE$的长度。
【解析】
（1）证明：$\because FP=FD$，$\therefore ∠ P=∠ FDP$。
$\because$ 同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ P=∠ C$，
$\therefore ∠ C=∠ FDP$，
$\therefore PD// CB$。
（2）解：如图，连接$OC$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
$\therefore E$为$CD$的中点。
$\because AB=26$，$CD=24$，
$\therefore OC=OB=13$，$CE=12$，
由勾股定理得$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore BE=OB-OE=13-5=8$。
【答案】
22. （1）证明:$\because FP=FD$,$\therefore ∠P=∠FDP.\because ∠P=∠C,\therefore ∠C=∠FDP,\therefore PD// CB.$
（2）如图,连接OC,
$\because AB$是直径,$AB⊥ CD,\therefore E$为CD的中点.$\because AB=26,CD=24,\therefore OC=OB=13,CE=12,\therefore OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5,\therefore BE=OB-OE=13-5=8.$【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了等腰三角形性质、平行线判定与圆的基本性质考查，解题时需熟练运用相关定理转化角与线段的关系，圆中线段计算类问题常结合垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
23. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，作$CG ⊥ AB$于点D，交$\odot O$于点G，$∠ ACG$的平分线交AB于点E，交$\odot O$于点F，连接AF，BF.
（1）若$\odot O$的半径为6，$AD=4$，求弦CG的长；
（2）求证：$AF=EF$.
（1）若$\odot O$的半径为6，$AD=4$，求弦CG的长；
（2）求证：$AF=EF$.
答案
23. （1）如图,连接OC,
$\because CG⊥ AB$,AB是$\odot O$的直径,$\therefore CD=GD=\frac{1}{2}CG,∠ODC=90°.\because AD=4,\odot O$的半径为6,$\therefore OD=OA-AD=2.$在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2},\therefore CG=2CD=8\sqrt{2}.$（2）证明:$\because CG⊥ AB,\therefore ∠ADC=90°,\therefore ∠CED=90°-∠GCF.\because ∠AEF=∠CED,\therefore ∠AEF=90°-∠GCF.\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠AFB=90°,\therefore ∠FAE=90°-∠ABF.\because \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AF},\therefore ∠ABF=∠ACF.\because CF$平分$∠ACG,\therefore ∠ACF=∠GCF=∠ABF,\therefore ∠AEF=∠FAE,\therefore AF=EF.$
解析
【分析】
（1）求弦CG的长时，首先根据垂径定理可知垂直于直径的弦被直径平分，因此CG=2CD，只需算出CD的长度即可。我们通过连接OC构造直角三角形OCD，已知圆半径可得OC的长度，再由AD和OA的长度差算出OD的长度，最后用勾股定理求出CD，乘2就得到CG的长度。
（2）要证明AF=EF，等价于证明△AEF是等腰三角形，即证明∠FAE=∠AEF。首先利用对顶角相等将∠AEF转化为∠CED，结合CG⊥AB可得∠CED是∠GCF的余角；再由AB是直径可得∠AFB是直角，因此∠FAE是∠ABF的余角；接下来利用同弧所对圆周角相等得到∠ABF=∠ACF，结合CF是角平分线得到∠ACF=∠GCF，通过等量代换即可证明两个角相等，从而得到AF=EF。
【解析】
（1）连接OC，
$\because CG⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore CD=GD=\frac{1}{2}CG$，$∠ ODC=90°$。
已知$\odot O$半径为6，故$OA=OC=6$，
又$\because AD=4$，$\therefore OD=OA-AD=6-4=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
（2）证明：
$\because CG⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ CED=90°-∠ GCF$。
$\because ∠ AEF$与$∠ CED$是对顶角，$\therefore ∠ AEF=∠ CED=90°-∠ GCF$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AFB=90°$，
$\therefore ∠ FAE=90°-∠ ABF$。
$\because \overset{\frown}{AF}$所对的圆周角为$∠ ABF$和$∠ ACF$，$\therefore ∠ ABF=∠ ACF$。
$\because CF$平分$∠ ACG$，$\therefore ∠ ACF=∠ GCF$，
$\therefore ∠ GCF=∠ ABF$，代入可得$∠ AEF=∠ FAE$，
$\therefore △ AEF$为等腰三角形，$\therefore AF=EF$。
【答案】
（1）$CG=8\sqrt{2}$；
（2）证明成立，$AF=EF$。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的常规综合题，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，熟练运用角的等量代换证明等角对等边，对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
（1）求弦CG的长时，首先根据垂径定理可知垂直于直径的弦被直径平分，因此CG=2CD，只需算出CD的长度即可。我们通过连接OC构造直角三角形OCD，已知圆半径可得OC的长度，再由AD和OA的长度差算出OD的长度，最后用勾股定理求出CD，乘2就得到CG的长度。
（2）要证明AF=EF，等价于证明△AEF是等腰三角形，即证明∠FAE=∠AEF。首先利用对顶角相等将∠AEF转化为∠CED，结合CG⊥AB可得∠CED是∠GCF的余角；再由AB是直径可得∠AFB是直角，因此∠FAE是∠ABF的余角；接下来利用同弧所对圆周角相等得到∠ABF=∠ACF，结合CF是角平分线得到∠ACF=∠GCF，通过等量代换即可证明两个角相等，从而得到AF=EF。
【解析】
（1）连接OC，
$\because CG⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore CD=GD=\frac{1}{2}CG$，$∠ ODC=90°$。
已知$\odot O$半径为6，故$OA=OC=6$，
又$\because AD=4$，$\therefore OD=OA-AD=6-4=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
（2）证明：
$\because CG⊥ AB$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ CED=90°-∠ GCF$。
$\because ∠ AEF$与$∠ CED$是对顶角，$\therefore ∠ AEF=∠ CED=90°-∠ GCF$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AFB=90°$，
$\therefore ∠ FAE=90°-∠ ABF$。
$\because \overset{\frown}{AF}$所对的圆周角为$∠ ABF$和$∠ ACF$，$\therefore ∠ ABF=∠ ACF$。
$\because CF$平分$∠ ACG$，$\therefore ∠ ACF=∠ GCF$，
$\therefore ∠ GCF=∠ ABF$，代入可得$∠ AEF=∠ FAE$，
$\therefore △ AEF$为等腰三角形，$\therefore AF=EF$。
【答案】
（1）$CG=8\sqrt{2}$；
（2）
证明成立，$AF=EF$。【知识点】
垂径定理、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题属于圆的常规综合题，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，熟练运用角的等量代换证明等角对等边，对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
24. 如图，已知AB是半圆的直径，点C在半圆上，$CE ⊥ AB$，垂足为E，点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，AD交CE于点F，交BC于点G.
(1) $∠ CAD = ∠$
(2) 判断$△ FGC$的形状，并说明理由；
(3) 若$\overset{\frown}{CD}$为$60°$，$AB=16$，求阴影部分的面积.
(1) $∠ CAD = ∠$
BAD
$= ∠$CBD
；(2) 判断$△ FGC$的形状，并说明理由；
(3) 若$\overset{\frown}{CD}$为$60°$，$AB=16$，求阴影部分的面积.
答案
24. (1) $\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠CAD=∠CBD.\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠CAD=∠BAD.$综上所述,$∠CAD=∠BAD=∠CBD.$
（2）如图,$△ FGC$是等腰三角形,理由:$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ACB=90°,\therefore ∠CAD+∠AGC=90°.\because CE⊥ AB,\because ∠AFE+∠BAD=90°,$D为$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠CAD=∠BAD,\therefore ∠AGC=∠AFE.\because ∠AFE=∠CFG,\therefore ∠CGF=∠CFG,\therefore CF=CG,\therefore △ CFG$是等腰三角形.
（3）如图,连接OC,OD,
$\because \overset{\frown}{CD}$为$60°,\therefore ∠COD=60°.\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore ∠BOD=∠COD=60°,\therefore ∠AOC=180°-60°-60°=60°.\because OA=OC,\therefore △ AOC$为等边三角形,$\therefore OA=AC=OC=\frac{1}{2}AB=8.\because CE⊥ AB,\therefore AE=\frac{1}{2}OA=4,\therefore CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}.\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}=\frac{60×π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}.$解析
【分析】
(1) 第一问依据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等求解。点D是$\overset{\frown}{BC}$中点，可得$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此对应的圆周角$∠ CAD=∠ BAD$；同时$∠ CAD$和$∠ CBD$都是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，二者也相等。
(2) 第二问判断$△ FGC$的形状，可通过证明两个底角相等判定为等腰三角形。先利用直径所对圆周角是直角得到$∠ ACB=90°$，结合$CE⊥ AB$得到两个直角三角形的锐角互余，再结合第一问的等角关系，通过同角的余角相等、对顶角相等推导$∠ CGF=∠ CFG$即可。
(3) 第三问求阴影面积，阴影为不规则图形，采用割补法转化为扇形$AOC$的面积减去$△ AOC$的面积。先根据弧的度数求出圆心角$∠ AOC=60°$，得到$△ AOC$是等边三角形，再分别计算扇形和三角形的面积作差即可。
【解析】
(1) $\because$ 同弧$CD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$。$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，等弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$。综上$∠ CAD=∠ BAD=∠ CBD$。
(2) $△ FGC$是等腰三角形，理由如下：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，在$Rt△ AGC$中，$∠ CAD+∠ AGC=90°$。
$\because CE⊥ AB$，$\therefore$在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE+∠ BAD=90°$。
$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$。
$\therefore ∠ AGC=∠ AFE$，又$\because ∠ AFE=∠ CFG$（对顶角相等），$\therefore ∠ CGF=∠ CFG$，$\therefore CF=CG$，即$△ CFG$是等腰三角形。
(3) 连接$OC$、$OD$，
$\because \overset{\frown}{CD}$为$60°$，$\therefore ∠ COD=60°$。
$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore ∠ BOD=∠ COD=60°$，$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COD-∠ BOD=180°-60°-60°=60°$。
$\because OA=OC$，$∠ AOC=60°$，$\therefore △ AOC$为等边三角形，$\therefore OA=AC=OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
$\because CE⊥ AB$，等边三角形三线合一，$\therefore AE=\frac{1}{2}OA=4$，由勾股定理得$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
阴影部分面积为扇形$AOC$面积减去$△ AOC$面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}=\frac{60×π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{BAD}$，$\boxed{CBD}$；
(2) $△ FGC$是等腰三角形，理由见解析；
(3) 阴影部分的面积为$\boxed{\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定和不规则图形的面积计算，解题的关键是熟练运用圆周角定理转化角的等量关系，求解不规则图形面积时采用割补法转化为规则图形的面积和差计算即可。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问依据圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等求解。点D是$\overset{\frown}{BC}$中点，可得$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，因此对应的圆周角$∠ CAD=∠ BAD$；同时$∠ CAD$和$∠ CBD$都是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，二者也相等。
(2) 第二问判断$△ FGC$的形状，可通过证明两个底角相等判定为等腰三角形。先利用直径所对圆周角是直角得到$∠ ACB=90°$，结合$CE⊥ AB$得到两个直角三角形的锐角互余，再结合第一问的等角关系，通过同角的余角相等、对顶角相等推导$∠ CGF=∠ CFG$即可。
(3) 第三问求阴影面积，阴影为不规则图形，采用割补法转化为扇形$AOC$的面积减去$△ AOC$的面积。先根据弧的度数求出圆心角$∠ AOC=60°$，得到$△ AOC$是等边三角形，再分别计算扇形和三角形的面积作差即可。
【解析】
(1) $\because$ 同弧$CD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$。$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，等弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$。综上$∠ CAD=∠ BAD=∠ CBD$。
(2) $△ FGC$是等腰三角形，理由如下：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，在$Rt△ AGC$中，$∠ CAD+∠ AGC=90°$。
$\because CE⊥ AB$，$\therefore$在$Rt△ AEF$中，$∠ AFE+∠ BAD=90°$。
$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$。
$\therefore ∠ AGC=∠ AFE$，又$\because ∠ AFE=∠ CFG$（对顶角相等），$\therefore ∠ CGF=∠ CFG$，$\therefore CF=CG$，即$△ CFG$是等腰三角形。
(3) 连接$OC$、$OD$，
$\because \overset{\frown}{CD}$为$60°$，$\therefore ∠ COD=60°$。
$\because D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore ∠ BOD=∠ COD=60°$，$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COD-∠ BOD=180°-60°-60°=60°$。
$\because OA=OC$，$∠ AOC=60°$，$\therefore △ AOC$为等边三角形，$\therefore OA=AC=OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
$\because CE⊥ AB$，等边三角形三线合一，$\therefore AE=\frac{1}{2}OA=4$，由勾股定理得$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
阴影部分面积为扇形$AOC$面积减去$△ AOC$面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}=\frac{60×π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×8×4\sqrt{3}=\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{BAD}$，$\boxed{CBD}$；
(2) $△ FGC$是等腰三角形，理由见解析；
(3) 阴影部分的面积为$\boxed{\frac{32}{3}π-16\sqrt{3}}$，辅助线如图：
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定和不规则图形的面积计算，解题的关键是熟练运用圆周角定理转化角的等量关系，求解不规则图形面积时采用割补法转化为规则图形的面积和差计算即可。
【难度系数】
0.6
