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7. 用公式法解下列方程并求根的近似值(精确到0.01.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236$):
(1) $x^2 - x -1=0$;
(2) $x^2 -2\sqrt{2}x -1=0$.
(1) $x^2 - x -1=0$;
(2) $x^2 -2\sqrt{2}x -1=0$.
答案
(1) $x_1\approx1.62,x_2\approx-0.62$ (2) $x_1\approx3.15,x_2\approx-0.32$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的通用思路为：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定a、b、c的取值（注意符号不要出错）；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实根，若$\Delta＜0$则无实根；③若有实根，将a、b、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求出根的准确表达式；④结合题目给的根号近似值，计算根的近似值，精确到要求的位数即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x -1=0$，
这里$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-1)^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算：
$x_1=\frac{1+2.236}{2}=\frac{3.236}{2}=1.618\approx1.62$，
$x_2=\frac{1-2.236}{2}=\frac{-1.236}{2}=-0.618\approx-0.62$。
(2) 对于方程$x^2 -2\sqrt{2}x -1=0$，
这里$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2 -4×1×(-1)=8+4=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$，
代入$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$计算：
$x_1=1.414+1.732=3.146\approx3.15$，
$x_2=1.414-1.732=-0.318\approx-0.32$。
【答案】
(1) $x_1\approx1.62,x_2\approx-0.62$ (2) $x_1\approx3.15,x_2\approx-0.32$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；近似数计算
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用题型，解题的关键是准确确定a、b、c的取值，牢记求根公式，计算近似值时注意按照要求保留小数位数即可。
【难度系数】
0.85
用公式法解一元二次方程的通用思路为：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，确定a、b、c的取值（注意符号不要出错）；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实根，若$\Delta＜0$则无实根；③若有实根，将a、b、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求出根的准确表达式；④结合题目给的根号近似值，计算根的近似值，精确到要求的位数即可。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - x -1=0$，
这里$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-1)^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算：
$x_1=\frac{1+2.236}{2}=\frac{3.236}{2}=1.618\approx1.62$，
$x_2=\frac{1-2.236}{2}=\frac{-1.236}{2}=-0.618\approx-0.62$。
(2) 对于方程$x^2 -2\sqrt{2}x -1=0$，
这里$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2 -4×1×(-1)=8+4=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$，
代入$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$计算：
$x_1=1.414+1.732=3.146\approx3.15$，
$x_2=1.414-1.732=-0.318\approx-0.32$。
【答案】
(1) $x_1\approx1.62,x_2\approx-0.62$ (2) $x_1\approx3.15,x_2\approx-0.32$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；近似数计算
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用题型，解题的关键是准确确定a、b、c的取值，牢记求根公式，计算近似值时注意按照要求保留小数位数即可。
【难度系数】
0.85
1. 方程$x^2 + 4x + 3 = 0$的根是
$x_1=-1,x_2=-3$
。答案
$x_1=-1,x_2=-3$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，结合当前所学的公式法，解题思路如下：首先回忆一元二次方程公式法的求解步骤：第一步先明确方程是否为一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步计算判别式Δ=b²-4ac，判断方程根的情况；第三步若Δ≥0，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根。本题方程已经是一般形式，可直接确定a、b、c的值代入计算即可，也可通过十字相乘法因式分解快速求解。
【解析】
使用公式法求解：
对于方程$x^2 + 4x + 3 = 0$，对应一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得$a=1$，$b=4$，$c=3$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×3 = 16 - 12 = 4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式计算：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{-4\pm2}{2}$
分别计算两个根：
$x_1=\frac{-4+2}{2}=-1$，$x_2=\frac{-4-2}{2}=-3$
【答案】
$x_1=-1,x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程公式解法、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，既可以用公式法按步骤求解，也可以用因式分解法快速得出结果，主要考查学生对一元二次方程求根方法的掌握熟练度。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的根，结合当前所学的公式法，解题思路如下：首先回忆一元二次方程公式法的求解步骤：第一步先明确方程是否为一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步计算判别式Δ=b²-4ac，判断方程根的情况；第三步若Δ≥0，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根。本题方程已经是一般形式，可直接确定a、b、c的值代入计算即可，也可通过十字相乘法因式分解快速求解。
【解析】
使用公式法求解：
对于方程$x^2 + 4x + 3 = 0$，对应一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得$a=1$，$b=4$，$c=3$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×3 = 16 - 12 = 4＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式计算：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{-4\pm2}{2}$
分别计算两个根：
$x_1=\frac{-4+2}{2}=-1$，$x_2=\frac{-4-2}{2}=-3$
【答案】
$x_1=-1,x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程公式解法、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，既可以用公式法按步骤求解，也可以用因式分解法快速得出结果，主要考查学生对一元二次方程求根方法的掌握熟练度。
【难度系数】
0.9
2. 方程$ax^2 + bx = 0$（$a ≠ 0$）的根是
$x_1=0,x_2=-\dfrac{b}{a}$
.答案
$x_1=0,x_2=-\dfrac{b}{a}$
解析
【分析】
本题是求一元二次方程的根，解题时可先观察方程特征：方程左边无常数项，优先用提公因式法因式分解求解更简便，也可直接用一元二次方程求根公式求解。需注意题干给出的$a≠0$条件，保证后续计算时分母有意义。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对$ax^2 + bx = 0$（$a≠0$）左边提取公因式$x$，得：
$x(ax + b) = 0$
根据“两个因式乘积为0，则至少一个因式值为0”，可得：
$x=0$ 或 $ax + b = 0$
解$ax + b = 0$，因$a≠0$，移项系数化为1得$x=-\frac{b}{a}$
解法2（公式法）：
方程为一元二次方程，对应二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项$c=0$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = b^2≥0$，方程有两个实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-b\pm|b|}{2a}$，计算得两根为0和$-\frac{b}{a}$
【答案】
$x_1=0,x_2=-\dfrac{b}{a}$
【知识点】
一元二次方程求解、提公因式法、求根公式应用
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题，既可以通过观察方程特点选择简便方法快速解题，也可以用通用的公式法计算，解题时要注意题干给出的参数限制条件，避免忽略隐含要求出错。
【难度系数】
0.9
本题是求一元二次方程的根，解题时可先观察方程特征：方程左边无常数项，优先用提公因式法因式分解求解更简便，也可直接用一元二次方程求根公式求解。需注意题干给出的$a≠0$条件，保证后续计算时分母有意义。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对$ax^2 + bx = 0$（$a≠0$）左边提取公因式$x$，得：
$x(ax + b) = 0$
根据“两个因式乘积为0，则至少一个因式值为0”，可得：
$x=0$ 或 $ax + b = 0$
解$ax + b = 0$，因$a≠0$，移项系数化为1得$x=-\frac{b}{a}$
解法2（公式法）：
方程为一元二次方程，对应二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项$c=0$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = b^2≥0$，方程有两个实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{-b\pm|b|}{2a}$，计算得两根为0和$-\frac{b}{a}$
【答案】
$x_1=0,x_2=-\dfrac{b}{a}$
【知识点】
一元二次方程求解、提公因式法、求根公式应用
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题，既可以通过观察方程特点选择简便方法快速解题，也可以用通用的公式法计算，解题时要注意题干给出的参数限制条件，避免忽略隐含要求出错。
【难度系数】
0.9
3. $2x^2 - \sqrt{2}x -5=0$的两个根为$x_1=$
$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{42}}{4}$
,$x_2=$$\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{42}}{4}$
.答案
$x_1=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{42}}{4},x_2=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{42}}{4}$
4. 下列说法正确的是 （
A.一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$
B.一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根是 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
C.方程 $x^2 = x$ 的解是 $x = 1$
D.方程 $x(x + 3) = 0$ 的根为 $x_1 = 0, x_2 = -3$
D
）A.一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$
B.一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根是 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
C.方程 $x^2 = x$ 的解是 $x = 1$
D.方程 $x(x + 3) = 0$ 的根为 $x_1 = 0, x_2 = -3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关概念与求解，解题时需逐个分析选项，结合各知识点的适用前提判断对错：首先回忆一元二次方程一般形式的限制条件、求根公式的适用要求，再通过解方程验证选项C、D的正确性，注意不要忽略隐含条件和解方程时漏根的问题。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），选项未说明$a\ne0$，若$a=0$则方程不是一元二次方程，因此A错误。
选项B：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的适用前提是$a\ne0$且判别式$b^2-4ac\ge0$，选项未给出这两个限制条件，因此B错误。
选项C：对方程$x^2=x$移项得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，选项漏了$x=0$的根，因此C错误。
选项D：方程$x(x+3)=0$，可得$x=0$或$x+3=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-3$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程基本概念；一元二次方程的解法；求根公式适用条件
【点评】
本题侧重考查一元二次方程相关的基础易错点，解题时要注意各类结论成立的隐含前提，解方程时避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的相关概念与求解，解题时需逐个分析选项，结合各知识点的适用前提判断对错：首先回忆一元二次方程一般形式的限制条件、求根公式的适用要求，再通过解方程验证选项C、D的正确性，注意不要忽略隐含条件和解方程时漏根的问题。
【解析】
我们逐个判断选项：
选项A：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），选项未说明$a\ne0$，若$a=0$则方程不是一元二次方程，因此A错误。
选项B：求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的适用前提是$a\ne0$且判别式$b^2-4ac\ge0$，选项未给出这两个限制条件，因此B错误。
选项C：对方程$x^2=x$移项得$x^2-x=0$，因式分解得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，选项漏了$x=0$的根，因此C错误。
选项D：方程$x(x+3)=0$，可得$x=0$或$x+3=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-3$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程基本概念；一元二次方程的解法；求根公式适用条件
【点评】
本题侧重考查一元二次方程相关的基础易错点，解题时要注意各类结论成立的隐含前提，解方程时避免出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
5. 方程$x^2 -5x +6=0$的根是 （
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
D
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求根的基础题，我们可以结合当前所学的公式法求解，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定题目中方程的$a、b、c$的值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断根的情况；第三步代入求根公式计算出两个根，再匹配选项即可。也可通过因式分解法、代入选项验证等方法快速得到结果。
【解析】
解法一（公式法）：
方程$x^2 -5x +6=0$符合一元二次方程的一般形式，其中$a=1$，$b=-5$，$c=6$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×1×6 = 25-24=1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×1}=\frac{5\pm1}{2}$
所以$x_1=\frac{5+1}{2}=3$，$x_2=\frac{5-1}{2}=2$，即方程的根为$x_1=2,x_2=3$。
解法二（因式分解法）：
将方程左边因式分解，得$(x-2)(x-3)=0$，
则$x-2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，既可以用公式法按步骤计算，也可以用因式分解法快速得出结果，掌握不同求解方法的适用场景可以提高解题效率。
【难度系数】
0.9
这是一道一元二次方程求根的基础题，我们可以结合当前所学的公式法求解，解题思路如下：第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定题目中方程的$a、b、c$的值；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，判断根的情况；第三步代入求根公式计算出两个根，再匹配选项即可。也可通过因式分解法、代入选项验证等方法快速得到结果。
【解析】
解法一（公式法）：
方程$x^2 -5x +6=0$符合一元二次方程的一般形式，其中$a=1$，$b=-5$，$c=6$。
1. 计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×1×6 = 25-24=1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×1}=\frac{5\pm1}{2}$
所以$x_1=\frac{5+1}{2}=3$，$x_2=\frac{5-1}{2}=2$，即方程的根为$x_1=2,x_2=3$。
解法二（因式分解法）：
将方程左边因式分解，得$(x-2)(x-3)=0$，
则$x-2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，既可以用公式法按步骤计算，也可以用因式分解法快速得出结果，掌握不同求解方法的适用场景可以提高解题效率。
【难度系数】
0.9
6. 已知$m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，则代数式$m^2 - m$的值等于 （
A.1
B.$-1$
C.0
D.2
A
）A.1
B.$-1$
C.0
D.2
答案
A
解析
【分析】
解题的突破口是利用一元二次方程根的定义，无需解出m的具体值，直接整体代换求值即可。首先回忆根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=m代入原方程，可得到含m的等式，再对等式简单变形就能求出代数式$m^2 - m$的值。
【解析】
∵m是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入原方程，等式成立，即：
$m^2 - m - 1 = 0$
移项可得：$m^2 - m = 1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，采用整体代入的思路可快速求解，不需要计算m的具体取值，降低了计算量。
【难度系数】
0.9
解题的突破口是利用一元二次方程根的定义，无需解出m的具体值，直接整体代换求值即可。首先回忆根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=m代入原方程，可得到含m的等式，再对等式简单变形就能求出代数式$m^2 - m$的值。
【解析】
∵m是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入原方程，等式成立，即：
$m^2 - m - 1 = 0$
移项可得：$m^2 - m = 1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，采用整体代入的思路可快速求解，不需要计算m的具体取值，降低了计算量。
【难度系数】
0.9
7. 若代数式$x^2 +5x +6$与$-x +1$的值相等，则$x$的值为 （
A.$x_1=-1, x_2=-5$
B.$x_1=-6, x_2=1$
C.$x_1=-2, x_2=-3$
D.$x=-1$
A
）A.$x_1=-1, x_2=-5$
B.$x_1=-6, x_2=1$
C.$x_1=-2, x_2=-3$
D.$x=-1$
答案
A
解析
【分析】
首先根据两个代数式值相等的等量关系列出方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，代入一元二次方程的求根公式计算出x的取值，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据题意列方程：
$x^2 +5x +6 = -x +1$
移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 +6x +5 = 0$
其中$a=1$，$b=6$，$c=5$，先计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 6^2 -4×1×5 = 36-20=16＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{-6\pm4}{2}$
分别计算两个根：
$x_1=\frac{-6+4}{2}=-1$，$x_2=\frac{-6-4}{2}=-5$
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查根据代数式的等量关系列方程、一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先根据两个代数式值相等的等量关系列出方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，代入一元二次方程的求根公式计算出x的取值，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据题意列方程：
$x^2 +5x +6 = -x +1$
移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 +6x +5 = 0$
其中$a=1$，$b=6$，$c=5$，先计算判别式：
$\Delta = b^2-4ac = 6^2 -4×1×5 = 36-20=16＞0$
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{16}}{2×1}=\frac{-6\pm4}{2}$
分别计算两个根：
$x_1=\frac{-6+4}{2}=-1$，$x_2=\frac{-6-4}{2}=-5$
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查根据代数式的等量关系列方程、一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 解下列方程：
(1) $x^2 + 2x - 2 = 0$；
(2) $3x^2 + 4x - 7 = 0$；
(3) $(x + 3)(x - 1) = 5$；
(4) $(x - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2}x = 0$。
(1) $x^2 + 2x - 2 = 0$；
(2) $3x^2 + 4x - 7 = 0$；
(3) $(x + 3)(x - 1) = 5$；
(4) $(x - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2}x = 0$。
答案
(1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$ (2) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$ (3) $x_1=2,x_2=-4$ (4) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程时，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再根据系数特点选择合适的解法：公式法是通用解法，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可求解；如果方程符合配方、因式分解的特征，也可以选择对应方法简化计算。
(1)题已是一般形式，可直接用公式法或配方法求解；(2)题系数为整数，十字相乘因式分解或公式法均可；(3)(4)题需先展开整理为一般形式，再选择合适方法求解。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 2x - 2 = 0$，
$a=1$，$b=2$，$c=-2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-2)=12＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$，
即$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
(2) 对于方程$3x^2 + 4x - 7 = 0$，
$a=3$，$b=4$，$c=-7$，
判别式$\Delta=4^2-4×3×(-7)=100＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2×3}=\frac{-4\pm10}{6}$，
即$x_1=\frac{-4+10}{6}=1$，$x_2=\frac{-4-10}{6}=-\frac{7}{3}$。
(3) 先整理方程$(x + 3)(x - 1) = 5$：
展开左边得$x^2+2x-3=5$，
移项合并得一般形式$x^2+2x-8=0$，
$a=1$，$b=2$，$c=-8$，
判别式$\Delta=2^2-4×1×(-8)=36＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{-2\pm6}{2}$，
即$x_1=\frac{-2+6}{2}=2$，$x_2=\frac{-2-6}{2}=-4$。
(4) 先整理方程$(x - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2}x = 0$：
展开左边得$x^2-2\sqrt{2}x+2+4\sqrt{2}x=0$，
合并同类项得一般形式$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$，
可配方为$(x+\sqrt{2})^2=0$，
解得$x_1=x_2=-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$
(3) $x_1=2,x_2=-4$
(4) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程解法、求根公式、判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，涵盖了需要先化简为一般形式的方程类型，既可以用通用的公式法求解，也可以根据方程特征选择更简便的配方法、因式分解法，熟练掌握不同解法的适用场景可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再根据系数特点选择合适的解法：公式法是通用解法，先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可求解；如果方程符合配方、因式分解的特征，也可以选择对应方法简化计算。
(1)题已是一般形式，可直接用公式法或配方法求解；(2)题系数为整数，十字相乘因式分解或公式法均可；(3)(4)题需先展开整理为一般形式，再选择合适方法求解。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 2x - 2 = 0$，
$a=1$，$b=2$，$c=-2$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-2)=12＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$，
即$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$。
(2) 对于方程$3x^2 + 4x - 7 = 0$，
$a=3$，$b=4$，$c=-7$，
判别式$\Delta=4^2-4×3×(-7)=100＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2×3}=\frac{-4\pm10}{6}$，
即$x_1=\frac{-4+10}{6}=1$，$x_2=\frac{-4-10}{6}=-\frac{7}{3}$。
(3) 先整理方程$(x + 3)(x - 1) = 5$：
展开左边得$x^2+2x-3=5$，
移项合并得一般形式$x^2+2x-8=0$，
$a=1$，$b=2$，$c=-8$，
判别式$\Delta=2^2-4×1×(-8)=36＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{-2\pm6}{2}$，
即$x_1=\frac{-2+6}{2}=2$，$x_2=\frac{-2-6}{2}=-4$。
(4) 先整理方程$(x - \sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2}x = 0$：
展开左边得$x^2-2\sqrt{2}x+2+4\sqrt{2}x=0$，
合并同类项得一般形式$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$，
可配方为$(x+\sqrt{2})^2=0$，
解得$x_1=x_2=-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-1+\sqrt{3},x_2=-1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$
(3) $x_1=2,x_2=-4$
(4) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程解法、求根公式、判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，涵盖了需要先化简为一般形式的方程类型，既可以用通用的公式法求解，也可以根据方程特征选择更简便的配方法、因式分解法，熟练掌握不同解法的适用场景可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
