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1. 一般地，式子$\boldsymbol{b^2 - 4ac}$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$根的判别式，通常用希腊字母“$\boldsymbol{\Delta}$”表示它，即$\boldsymbol{\Delta = b^2 - 4ac}$.当$\Delta＞0$时，方程有$\boldsymbol{两个不相等的}$实数根；当$\Delta=0$时，方程有$\boldsymbol{两个相等的}$实数根，此时方程的根为$\boldsymbol{x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}}$；当$\Delta＜0$时，方程$\boldsymbol{没有}$实数根.反之也成立.
答案
1. $b^2-4ac$ $\Delta$ $\Delta=b^2-4ac$ 两个不相等的 两个相等的 $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$ 无
解析
【分析】
本题是对一元二次方程根的判别式基础概念的考察，属于纯概念识记类题目，解题时只需对照教材中关于根的判别式的定义、符号表示、不同取值对应的根的情况的相关内容，逐一对应填空即可，不需要复杂计算和推导。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关概念逐一填空：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$根的判别式的表达式为$b^2-4ac$；
2. 判别式通常用希腊字母$\Delta$表示；
3. 判别式的定义式为$\Delta = b^2 - 4ac$；
4. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
5. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，此时两根相等，根为$x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$；
6. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，对应填“无”。
【答案】
$b^2-4ac$ $\Delta$ $\Delta=b^2-4ac$ 两个不相等的 两个相等的 $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$ 无
【知识点】
根的判别式定义；判别式与根的关系
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对根的判别式相关基础内容的掌握，是后续利用判别式求解一元二次方程根的相关问题的基础，熟记教材相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题是对一元二次方程根的判别式基础概念的考察，属于纯概念识记类题目，解题时只需对照教材中关于根的判别式的定义、符号表示、不同取值对应的根的情况的相关内容，逐一对应填空即可，不需要复杂计算和推导。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的相关概念逐一填空：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$根的判别式的表达式为$b^2-4ac$；
2. 判别式通常用希腊字母$\Delta$表示；
3. 判别式的定义式为$\Delta = b^2 - 4ac$；
4. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
5. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，此时两根相等，根为$x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$；
6. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，对应填“无”。
【答案】
$b^2-4ac$ $\Delta$ $\Delta=b^2-4ac$ 两个不相等的 两个相等的 $x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$ 无
【知识点】
根的判别式定义；判别式与根的关系
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对根的判别式相关基础内容的掌握，是后续利用判别式求解一元二次方程根的相关问题的基础，熟记教材相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 当方程的二次项系数中含有字母参数a时，必须注意a的取值要使二次项系数
不等于零
.答案
2. 不等于零
解析
【分析】
首先，题目中提到含二次项系数的方程，默认是我们研究的一元二次方程，回忆一元二次方程的定义可知：只有当二次项系数不为0时，方程才满足“未知数最高次数为2”的核心要求，若二次项系数为0，二次项会消失，方程就退化为一元一次方程，不属于一元二次方程的研究范畴。抓住这个核心成立条件，就能推导得出参数a的取值要求。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数），其中明确要求$a≠0$。若二次项系数$a=0$，则方程中不存在二次项，会退化为一元一次方程$bx+c=0$，不再是一元二次方程。因此当二次项系数含有字母参数$a$时，必须保证$a$的取值使得二次项系数不等于零。
【答案】
不等于零
【知识点】
一元二次方程的定义；含参方程系数约束
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程成立条件的理解，二次项系数不为0是解含参一元二次方程类问题时极易被忽略的隐含条件，熟练掌握该要点能有效避免后续解题出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.9
首先，题目中提到含二次项系数的方程，默认是我们研究的一元二次方程，回忆一元二次方程的定义可知：只有当二次项系数不为0时，方程才满足“未知数最高次数为2”的核心要求，若二次项系数为0，二次项会消失，方程就退化为一元一次方程，不属于一元二次方程的研究范畴。抓住这个核心成立条件，就能推导得出参数a的取值要求。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数），其中明确要求$a≠0$。若二次项系数$a=0$，则方程中不存在二次项，会退化为一元一次方程$bx+c=0$，不再是一元二次方程。因此当二次项系数含有字母参数$a$时，必须保证$a$的取值使得二次项系数不等于零。
【答案】
不等于零
【知识点】
一元二次方程的定义；含参方程系数约束
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程成立条件的理解，二次项系数不为0是解含参一元二次方程类问题时极易被忽略的隐含条件，熟练掌握该要点能有效避免后续解题出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.9
3. 不解方程，判断下列方程中无实数根的是（
A.$-x^2 = 2x -1$
B.$4x^2 +4x +\frac{5}{4}=0$
C.$\sqrt{2}x^2 -x -\sqrt{3}=0$
D.$(x+2)(x-3)=-5$
B
）A.$-x^2 = 2x -1$
B.$4x^2 +4x +\frac{5}{4}=0$
C.$\sqrt{2}x^2 -x -\sqrt{3}=0$
D.$(x+2)(x-3)=-5$
答案
3. B
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程是否有实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题步骤为：先将每个选项的方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再分别计算每个方程的$\Delta$值，找出$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
要判断方程有无实数根，需计算各方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，$\Delta＜0$时方程无实数根：
A. 移项整理方程得：$x^2 + 2x -1 =0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$
$\Delta=2^2 -4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程为$4x^2 +4x +\frac{5}{4}=0$，其中$a=4$，$b=4$，$c=\frac{5}{4}$
$\Delta=4^2 -4×4×\frac{5}{4}=16-20=-4＜0$，方程无实数根，符合题意；
C. 方程为$\sqrt{2}x^2 -x -\sqrt{3}=0$，其中$a=\sqrt{2}$，$b=-1$，$c=-\sqrt{3}$
$\Delta=(-1)^2 -4×\sqrt{2}×(-\sqrt{3})=1+4\sqrt{6}＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D. 展开左边并移项整理方程得：$x^2 -x -1=0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$
$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记根的判别式的取值与方程根的个数的对应关系，化简方程时要注意移项、去括号的符号规则，计算判别式时需准确代入$a、b、c$的值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
不解方程判断一元二次方程是否有实数根，核心是利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题步骤为：先将每个选项的方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再分别计算每个方程的$\Delta$值，找出$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
要判断方程有无实数根，需计算各方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的值，$\Delta＜0$时方程无实数根：
A. 移项整理方程得：$x^2 + 2x -1 =0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-1$
$\Delta=2^2 -4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程为$4x^2 +4x +\frac{5}{4}=0$，其中$a=4$，$b=4$，$c=\frac{5}{4}$
$\Delta=4^2 -4×4×\frac{5}{4}=16-20=-4＜0$，方程无实数根，符合题意；
C. 方程为$\sqrt{2}x^2 -x -\sqrt{3}=0$，其中$a=\sqrt{2}$，$b=-1$，$c=-\sqrt{3}$
$\Delta=(-1)^2 -4×\sqrt{2}×(-\sqrt{3})=1+4\sqrt{6}＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D. 展开左边并移项整理方程得：$x^2 -x -1=0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$
$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记根的判别式的取值与方程根的个数的对应关系，化简方程时要注意移项、去括号的符号规则，计算判别式时需准确代入$a、b、c$的值，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
1. 下列方程中有实数根的是 （
A.$x^2 + 2x + 3 = 0$
B.$x^2 + 1 = 0$
C.$x^2 + 3x + 1 = 0$
D.$\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}$
C
）A.$x^2 + 2x + 3 = 0$
B.$x^2 + 1 = 0$
C.$x^2 + 3x + 1 = 0$
D.$\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}$
答案
1. C
解析
【分析】
判断方程是否有实数根分两类处理：①对于一元二次方程，用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta≥0$时有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；②对于分式方程，先去分母转化为整式方程求解，再检验所得根是否使原分式分母为0，若分母为0则是增根，原方程无实根。接下来逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：一元二次方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=2,c=3$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，无实数根，排除A；
选项B：一元二次方程$x^2 + 1 = 0$中，$a=1,b=0,c=1$，判别式$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，排除B；
选项C：一元二次方程$x^2 + 3x + 1 = 0$中，$a=1,b=3,c=1$，判别式$\Delta=3^2-4×1×1=9-4=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求；
选项D：分式方程$\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}$，两边同乘最简公分母$x-1$去分母得$x=1$，检验：将$x=1$代入$x-1$得$1-1=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无实数根，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，分式方程验根
【点评】
本题属于基础考查题，易错点是求解分式方程时忽略验根步骤，误将增根当作原方程的根错选D，解题时需注意区分整式方程和分式方程的判断方法。
【难度系数】
0.7
判断方程是否有实数根分两类处理：①对于一元二次方程，用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta≥0$时有实数根，$\Delta＜0$时无实数根；②对于分式方程，先去分母转化为整式方程求解，再检验所得根是否使原分式分母为0，若分母为0则是增根，原方程无实根。接下来逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：一元二次方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$a=1,b=2,c=3$，判别式$\Delta=2^2-4×1×3=4-12=-8＜0$，无实数根，排除A；
选项B：一元二次方程$x^2 + 1 = 0$中，$a=1,b=0,c=1$，判别式$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，排除B；
选项C：一元二次方程$x^2 + 3x + 1 = 0$中，$a=1,b=3,c=1$，判别式$\Delta=3^2-4×1×1=9-4=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求；
选项D：分式方程$\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}$，两边同乘最简公分母$x-1$去分母得$x=1$，检验：将$x=1$代入$x-1$得$1-1=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无实数根，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，分式方程验根
【点评】
本题属于基础考查题，易错点是求解分式方程时忽略验根步骤，误将增根当作原方程的根错选D，解题时需注意区分整式方程和分式方程的判断方法。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)^2x^2+(2m+1)x+1=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m＞\dfrac{3}{4}$
B.$m≥\dfrac{3}{4}$
C.$m＞\dfrac{3}{4}$，且$m≠2$
D.$m≥\dfrac{3}{4}$，且$m≠2$
C
）A.$m＞\dfrac{3}{4}$
B.$m≥\dfrac{3}{4}$
C.$m＞\dfrac{3}{4}$，且$m≠2$
D.$m≥\dfrac{3}{4}$，且$m≠2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件求解m的取值范围。首先，题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提条件；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，分别计算两个条件对应的m的范围，最后取公共部分即可得到结果。
【解析】
步骤1：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$(m-2)^2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
步骤2：根据方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=(m-2)^2$，$b=2m+1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (2m+1)^2 - 4 × (m-2)^2 × 1 ＞ 0$
展开计算：
$4m^2 + 4m + 1 - 4(m^2 - 4m + 4) ＞ 0$
$4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 16m - 16 ＞ 0$
合并同类项得：
$20m - 15 ＞ 0$
解得$m ＞ \frac{3}{4}$。
步骤3：结合两个条件，m的取值范围为$m ＞ \frac{3}{4}$且$m ≠ 2$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础考察题，解题的易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，仅通过判别式求解误选A，做题时需要注意审清题目给出的限定条件。
【难度系数】
0.7
本题需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件求解m的取值范围。首先，题目明确给出是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提条件；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，分别计算两个条件对应的m的范围，最后取公共部分即可得到结果。
【解析】
步骤1：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0：
$(m-2)^2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
步骤2：根据方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=(m-2)^2$，$b=2m+1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (2m+1)^2 - 4 × (m-2)^2 × 1 ＞ 0$
展开计算：
$4m^2 + 4m + 1 - 4(m^2 - 4m + 4) ＞ 0$
$4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 + 16m - 16 ＞ 0$
合并同类项得：
$20m - 15 ＞ 0$
解得$m ＞ \frac{3}{4}$。
步骤3：结合两个条件，m的取值范围为$m ＞ \frac{3}{4}$且$m ≠ 2$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础考察题，解题的易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，仅通过判别式求解误选A，做题时需要注意审清题目给出的限定条件。
【难度系数】
0.7
3. 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 -2x -1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是 （
A.$k＞-1$
B.$k＞-1$，且$k≠0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$，且$k≠0$
B
）A.$k＞-1$
B.$k＞-1$，且$k≠0$
C.$k＜1$
D.$k＜1$，且$k≠0$
答案
3. B
解析
【分析】
解决本题需要分两个维度思考：第一，题干明确给出这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是先决条件；第二，方程有两个不相等的实数根，对应根的判别式大于0，我们先代入系数求出判别式的表达式，再解不等式，最后结合两个限制条件即可得到k的取值范围，匹配对应选项。
【解析】
解：
∵ $kx^2 -2x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$
将$a=k$，$b=-2$，$c=-1$代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4+4k＞0$
解不等式$4+4k＞0$，得$k＞-1$
综上，k的取值范围是$k＞-1$且$k≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式应用的基础题型，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求解得到错误结果，解题时要优先满足方程的类型要求，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分两个维度思考：第一，题干明确给出这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是先决条件；第二，方程有两个不相等的实数根，对应根的判别式大于0，我们先代入系数求出判别式的表达式，再解不等式，最后结合两个限制条件即可得到k的取值范围，匹配对应选项。
【解析】
解：
∵ $kx^2 -2x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$
将$a=k$，$b=-2$，$c=-1$代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4+4k＞0$
解不等式$4+4k＞0$，得$k＞-1$
综上，k的取值范围是$k＞-1$且$k≠0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式应用的基础题型，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的前提，仅通过判别式求解得到错误结果，解题时要优先满足方程的类型要求，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.7
4. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x + n = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{n}{m}$的值等于 （
A.4
B.$-4$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
D
）A.4
B.$-4$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；其次注意题目中的隐含条件：二次根式$\sqrt{m}$的被开方数$m≥0$，且求$\frac{n}{m}$时分母$m$不能为0，因此$m＞0$；接下来代入判别式公式列等式，化简后即可求出$\frac{n}{m}$的值。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x + n = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，且$m＞0$（二次根式有意义且分母不为0）。
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=\sqrt{m}$，常数项$c=n$，代入判别式公式得：
$\Delta = (\sqrt{m})^2 - 4×1× n = 0$
化简得：$m - 4n = 0$，即$m = 4n$。
将$m = 4n$两边同时除以$4m$（$m≠0$），可得：
$\frac{n}{m} = \frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意挖掘题目中的隐含条件，避免忽略被开方数非负、分母不为0的要求，熟练掌握判别式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；其次注意题目中的隐含条件：二次根式$\sqrt{m}$的被开方数$m≥0$，且求$\frac{n}{m}$时分母$m$不能为0，因此$m＞0$；接下来代入判别式公式列等式，化简后即可求出$\frac{n}{m}$的值。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{m}x + n = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，且$m＞0$（二次根式有意义且分母不为0）。
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=\sqrt{m}$，常数项$c=n$，代入判别式公式得：
$\Delta = (\sqrt{m})^2 - 4×1× n = 0$
化简得：$m - 4n = 0$，即$m = 4n$。
将$m = 4n$两边同时除以$4m$（$m≠0$），可得：
$\frac{n}{m} = \frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意挖掘题目中的隐含条件，避免忽略被开方数非负、分母不为0的要求，熟练掌握判别式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 对于任意实数$k$,关于$x$的方程$x^2 - 2(k+1)x - k^2 + 2k - 1 = 0$根的情况为 （
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
5. C
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况需借助根的判别式Δ=b²-4ac：若Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，方程没有实数根。解题时首先从给定方程中确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式公式化简，最后根据非负数的性质判断Δ的符号即可得到结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中对应各项系数为：
$a=1$，$b=-2(k+1)$，$c=-k^2+2k-1$
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(k+1)]^2 - 4×1×(-k^2+2k-1)\\&=4(k^2+2k+1) + 4k^2 -8k +4\\&=4k^2+8k+4 +4k^2-8k+4\\&=8k^2 +8\end{aligned}$
∵k为任意实数，
∴$k^2≥0$，则$8k^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$恒成立
∴方程有两个不相等的实数根
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.完全平方公式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，核心是正确计算含参数的判别式并判断其符号，需注意参数取任意实数时，平方项的非负性是判断判别式符号的关键。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况需借助根的判别式Δ=b²-4ac：若Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，方程没有实数根。解题时首先从给定方程中确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式公式化简，最后根据非负数的性质判断Δ的符号即可得到结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中对应各项系数为：
$a=1$，$b=-2(k+1)$，$c=-k^2+2k-1$
代入根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}\Delta&=[-2(k+1)]^2 - 4×1×(-k^2+2k-1)\\&=4(k^2+2k+1) + 4k^2 -8k +4\\&=4k^2+8k+4 +4k^2-8k+4\\&=8k^2 +8\end{aligned}$
∵k为任意实数，
∴$k^2≥0$，则$8k^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$恒成立
∴方程有两个不相等的实数根
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.完全平方公式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，核心是正确计算含参数的判别式并判断其符号，需注意参数取任意实数时，平方项的非负性是判断判别式符号的关键。
【难度系数】
0.8
6. 若关于$x$的一元二次方程$(a-6)x^2 -8x +6=0$有实数根，则整数$a$的最大值是 （
A.6
B.7
C.8
D.9
C
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
6. C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确题目给出的是一元二次方程，需先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先根据判别式公式列出关于a的不等式，解出a的取值范围，再结合a是整数、二次项系数不为0的条件，即可找出a的最大值。
【解析】
解：
∵方程$(a-6)x^2 -8x +6=0$是一元二次方程
∴二次项系数$a-6≠0$，即$a≠6$
又
∵方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
代入$a=a-6$，$b=-8$，$c=6$得：
$\Delta=(-8)^2 -4×(a-6)×6≥0$
计算得：$64-24(a-6)≥0$
展开括号：$64-24a+144≥0$
合并同类项：$208-24a≥0$
移项得：$24a≤208$
解得：$a≤\frac{26}{3}\approx8.67$
结合$a≠6$且a为整数，可得整数a的最大值是8。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题易错点是忽略“一元二次方程”的限定，漏记二次项系数不为0的条件，解题时要先审题明确方程类型，再结合判别式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确题目给出的是一元二次方程，需先满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先根据判别式公式列出关于a的不等式，解出a的取值范围，再结合a是整数、二次项系数不为0的条件，即可找出a的最大值。
【解析】
解：
∵方程$(a-6)x^2 -8x +6=0$是一元二次方程
∴二次项系数$a-6≠0$，即$a≠6$
又
∵方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$
代入$a=a-6$，$b=-8$，$c=6$得：
$\Delta=(-8)^2 -4×(a-6)×6≥0$
计算得：$64-24(a-6)≥0$
展开括号：$64-24a+144≥0$
合并同类项：$208-24a≥0$
移项得：$24a≤208$
解得：$a≤\frac{26}{3}\approx8.67$
结合$a≠6$且a为整数，可得整数a的最大值是8。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题易错点是忽略“一元二次方程”的限定，漏记二次项系数不为0的条件，解题时要先审题明确方程类型，再结合判别式求解即可。
【难度系数】
0.7
7. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x + m -1 =0$有两个相等的实数根，求$m$的值及方程的根.
答案
7. $m=5,x_1=x_2=2$
解析
【分析】
首先，已知一元二次方程有两个相等的实数根，可联想到一元二次方程根的判别式的性质：当$\Delta =b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。解题可分两步进行：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入$\Delta=0$的等式求解得到$m$的值；第二步将求出的$m$代回原方程，解一元二次方程即可得到两个相等的根。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x + m -1 =0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m-1$，
代入得：$(-4)^2 - 4 × 1 × (m-1) = 0$，
计算得：$16 - 4(m-1) = 0$，
去括号：$16 -4m +4 =0$，
合并同类项：$20 -4m =0$，
解得：$m=5$。
将$m=5$代入原方程，得：$x^2 -4x +5 -1 =0$，
化简得：$x^2 -4x +4 =0$，
因式分解得：$(x-2)^2 = 0$，
∴ 方程的根为$x_1=x_2=2$。
【答案】
$m=5,x_1=x_2=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意准确提取方程各项的系数，避免符号错误，解方程时可选择因式分解、配方法等简便方法计算。
【难度系数】
0.8
首先，已知一元二次方程有两个相等的实数根，可联想到一元二次方程根的判别式的性质：当$\Delta =b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。解题可分两步进行：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入$\Delta=0$的等式求解得到$m$的值；第二步将求出的$m$代回原方程，解一元二次方程即可得到两个相等的根。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x + m -1 =0$有两个相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=m-1$，
代入得：$(-4)^2 - 4 × 1 × (m-1) = 0$，
计算得：$16 - 4(m-1) = 0$，
去括号：$16 -4m +4 =0$，
合并同类项：$20 -4m =0$，
解得：$m=5$。
将$m=5$代入原方程，得：$x^2 -4x +5 -1 =0$，
化简得：$x^2 -4x +4 =0$，
因式分解得：$(x-2)^2 = 0$，
∴ 方程的根为$x_1=x_2=2$。
【答案】
$m=5,x_1=x_2=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意准确提取方程各项的系数，避免符号错误，解方程时可选择因式分解、配方法等简便方法计算。
【难度系数】
0.8
