登录
1. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是 （
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$，且$m≠2$
D.$m≤3$，且$m≠2$
D
）A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$，且$m≠2$
D.$m≤3$，且$m≠2$
答案
1. D
2. 已知$a,b,c$为常数，$(a-c)^2 ＞ a^2 + c^2$，则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案
2. B
3. 已知命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，$b$的值可以是（
A.$b=-3$
B.$b=-2$
C.$b=-1$
D.$b=2$
C
）A.$b=-3$
B.$b=-2$
C.$b=-1$
D.$b=2$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确：命题“方程必有实数解”是假命题，等价于该一元二次方程没有实数解。我们可以通过一元二次方程根的判别式判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta＜0$时，方程没有实数根。先求出本题中方程的判别式，再令判别式小于0，解出$b$的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
$\because$ 命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$，必有实数解”是假命题
$\therefore$ 该一元二次方程没有实数解
对于方程$x^2 + bx + 1 = 0$，其中$a=1$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1×1 = b^2 - 4$
方程无实数解时，$\Delta ＜ 0$，即：
$b^2 - 4 ＜ 0$
解得 $-2 ＜ b ＜ 2$
逐一分析选项：
A. $b=-3$，$(-3)^2=9＞4$，不满足要求；
B. $b=-2$，$(-2)^2-4=0$，方程有实数根，不满足要求；
C. $b=-1$，$(-1)^2-4=-3＜0$，方程无实数根，满足要求；
D. $b=2$，$2^2-4=0$，方程有实数根，不满足要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 真假命题判定
3. 不等式求解
【点评】
本题将命题真假判断和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是把假命题的条件转化为方程无实根的数学关系，只要熟练掌握判别式与方程根的对应关系就能顺利解答，易错点是容易忽略$\Delta=0$时方程也有实根，误选B或D。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确：命题“方程必有实数解”是假命题，等价于该一元二次方程没有实数解。我们可以通过一元二次方程根的判别式判断根的情况：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta＜0$时，方程没有实数根。先求出本题中方程的判别式，再令判别式小于0，解出$b$的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
$\because$ 命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$，必有实数解”是假命题
$\therefore$ 该一元二次方程没有实数解
对于方程$x^2 + bx + 1 = 0$，其中$a=1$，$c=1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1×1 = b^2 - 4$
方程无实数解时，$\Delta ＜ 0$，即：
$b^2 - 4 ＜ 0$
解得 $-2 ＜ b ＜ 2$
逐一分析选项：
A. $b=-3$，$(-3)^2=9＞4$，不满足要求；
B. $b=-2$，$(-2)^2-4=0$，方程有实数根，不满足要求；
C. $b=-1$，$(-1)^2-4=-3＜0$，方程无实数根，满足要求；
D. $b=2$，$2^2-4=0$，方程有实数根，不满足要求。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 真假命题判定
3. 不等式求解
【点评】
本题将命题真假判断和一元二次方程根的判别式结合考查，解题核心是把假命题的条件转化为方程无实根的数学关系，只要熟练掌握判别式与方程根的对应关系就能顺利解答，易错点是容易忽略$\Delta=0$时方程也有实根，误选B或D。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2 -2kx +k=6$有实数根，则$k$的取值范围为 （
A.$k≥0$
B.$k≥0$，且$k≠2$
C.$k≥\frac{3}{2}$
D.$k≥\frac{3}{2}$，且$k≠2$
D
）A.$k≥0$
B.$k≥0$，且$k≠2$
C.$k≥\frac{3}{2}$
D.$k≥\frac{3}{2}$，且$k≠2$
答案
4. D
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。先将方程整理为一般形式，再分别列不等式求解，最后取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(k-2)x^2 -2kx + (k-6) = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$k-2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
2. 方程有实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-2$，$b=-2k$，$c=k-6$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4 × (k-2) × (k-6) ≥ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 8k + 12) ≥ 0$
$4k^2 -4k^2 +32k -48 ≥ 0$
化简得$32k ≥ 48$，解得$k ≥ \frac{3}{2}$
结合两个条件，可得$k$的取值范围是$k ≥ \frac{3}{2}$且$k ≠ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，只通过判别式求解而错选C，解题时要注意审清题干给出的方程类型条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式Δ≥0。先将方程整理为一般形式，再分别列不等式求解，最后取两个解集的公共部分即可得到k的取值范围。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$(k-2)x^2 -2kx + (k-6) = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$k-2 ≠ 0$，解得$k ≠ 2$
2. 方程有实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=k-2$，$b=-2k$，$c=k-6$，代入得：
$\Delta = (-2k)^2 - 4 × (k-2) × (k-6) ≥ 0$
展开计算：
$4k^2 - 4(k^2 - 8k + 12) ≥ 0$
$4k^2 -4k^2 +32k -48 ≥ 0$
化简得$32k ≥ 48$，解得$k ≥ \frac{3}{2}$
结合两个条件，可得$k$的取值范围是$k ≥ \frac{3}{2}$且$k ≠ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础常考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，只通过判别式求解而错选C，解题时要注意审清题干给出的方程类型条件。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2-(2m+1)x+m(m+1)=0 $。
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为 $ x=0 $，求代数式 $ (2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5 $ 的值（要求先化简，再求值）。
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为 $ x=0 $，求代数式 $ (2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5 $ 的值（要求先化简，再求值）。
答案
5. (1) 证明: $\because b^2-4ac=(2m+1)^2-4m(m+1)=1,\therefore b^2-4ac＞0$,即方程总有两个不相等的实数根.
(2) $\because (2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m^2-4m+1+9-m^2+7m-5=3m^2+3m+5=3m(m+1)+5$,方程的一个根为 $x=0,\therefore m(m+1)=0,\therefore 原式=3m(m+1)+5=5$.
(2) $\because (2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m^2-4m+1+9-m^2+7m-5=3m^2+3m+5=3m(m+1)+5$,方程的一个根为 $x=0,\therefore m(m+1)=0,\therefore 原式=3m(m+1)+5=5$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，证明$\Delta$恒大于0即可。首先确定方程中$a=1$、$b=-(2m+1)$、$c=m(m+1)$，代入判别式展开化简，判断其正负性即可完成证明。
（2）对于代数式求值问题，首先利用完全平方公式、平方差公式将代数式展开，合并同类项完成化简；再根据方程根的定义，把$x=0$代入原方程得到关于$m$的关系式，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解$m$的值，可简化运算。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m(m+1)=0$，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2m+1)$，常数项$c=m(m+1)$，
则判别式$\Delta=b^2-4ac=[-(2m+1)]^2-4×1× m(m+1)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1$，
$\because\Delta=1＞0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
（2）先化简代数式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(2m-1)^2=4m^2-4m+1$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(3+m)(3-m)=9-m^2$；
代入原式得：
$\begin{aligned}&(2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5\\=&4m^2-4m+1+9-m^2+7m-5\\=&3m^2+3m+5\\=&3m(m+1)+5\end{aligned}$
$\because x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程得：
$0^2-(2m+1)×0+m(m+1)=0$，即$m(m+1)=0$，
将$m(m+1)=0$代入化简后的式子，得原式$=3×0+5=5$。
【答案】
（1）证明见上述解析，方程总有两个不相等的实数根；
（2）$\boxed{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、整式化简求值、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础综合题，既考查了一元二次方程相关性质的应用，也考查了整式运算公式的掌握，第二小问运用整体代入的思想可简化计算，减少运算量，日常练习要注意积累这类解题技巧。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，证明$\Delta$恒大于0即可。首先确定方程中$a=1$、$b=-(2m+1)$、$c=m(m+1)$，代入判别式展开化简，判断其正负性即可完成证明。
（2）对于代数式求值问题，首先利用完全平方公式、平方差公式将代数式展开，合并同类项完成化简；再根据方程根的定义，把$x=0$代入原方程得到关于$m$的关系式，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解$m$的值，可简化运算。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(2m+1)x+m(m+1)=0$，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2m+1)$，常数项$c=m(m+1)$，
则判别式$\Delta=b^2-4ac=[-(2m+1)]^2-4×1× m(m+1)$
$=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1$，
$\because\Delta=1＞0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
（2）先化简代数式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(2m-1)^2=4m^2-4m+1$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(3+m)(3-m)=9-m^2$；
代入原式得：
$\begin{aligned}&(2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5\\=&4m^2-4m+1+9-m^2+7m-5\\=&3m^2+3m+5\\=&3m(m+1)+5\end{aligned}$
$\because x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程得：
$0^2-(2m+1)×0+m(m+1)=0$，即$m(m+1)=0$，
将$m(m+1)=0$代入化简后的式子，得原式$=3×0+5=5$。
【答案】
（1）证明见上述解析，方程总有两个不相等的实数根；
（2）$\boxed{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、整式化简求值、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础综合题，既考查了一元二次方程相关性质的应用，也考查了整式运算公式的掌握，第二小问运用整体代入的思想可简化计算，减少运算量，日常练习要注意积累这类解题技巧。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - (m+2)x + 2 = 0$.
（1）求证：不论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）$m$为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
（1）求证：不论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）$m$为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
答案
6. (1) 证明: $\because \Delta=(m-2)^2≥0,\therefore$ 方程总有实数根.
(2) $\because x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\dfrac{m+2\pm(m-2)}{2m},\therefore x_1=\dfrac{m+2+m-2}{2m}=1,x_2=\dfrac{m+2-m+2}{2m}=\dfrac{2}{m}.\because$ 方程有两个不相等的正整数根,$\therefore m=1$或$m=2.\because \Delta=(m-2)^2＞0,\therefore m≠2$,综上所述,$m=1$.
(2) $\because x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\dfrac{m+2\pm(m-2)}{2m},\therefore x_1=\dfrac{m+2+m-2}{2m}=1,x_2=\dfrac{m+2-m+2}{2m}=\dfrac{2}{m}.\because$ 方程有两个不相等的正整数根,$\therefore m=1$或$m=2.\because \Delta=(m-2)^2＞0,\therefore m≠2$,综上所述,$m=1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有实数根，核心是证明判别式Δ≥0。首先明确一元二次方程二次项系数不为0（即m≠0），再代入判别式公式化简，判断化简结果的非负性即可。
（2）先利用求根公式求出方程的两个根，再根据“两个不相等、正整数根”的条件：首先根为正整数可推出$\frac{2}{m}$为正整数，得到m的可能取值，再结合两根不相等的条件（Δ＞0）排除不符合的取值，最终得到m的值。
【解析】
（1）证明：
∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴$m≠0$。
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4· m· 2 = m^2 + 4m + 4 - 8m = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$，
∵任意实数的平方均为非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴不论m为何不为0的实数，方程总有实数根。
（2）解：根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=m$，$b=-(m+2)$，$c=2$，$\Delta=(m-2)^2$，得：
$x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\frac{m+2\pm(m-2)}{2m}$，
则$x_1=\frac{m+2+m-2}{2m}=1$，$x_2=\frac{m+2-(m-2)}{2m}=\frac{4}{2m}=\frac{2}{m}$，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴$\frac{2}{m}$为正整数，且m为整数，$m≠0$，
∴m是2的正约数，即$m=1$或$m=2$，
又
∵两根不相等，
∴$\Delta＞0$，即$(m-2)^2＞0$，解得$m≠2$，
综上，$m=1$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{m=1}$
【知识点】
根的判别式；公式法解方程；整数根求解
【点评】
本题考查一元二次方程判别式的应用及整数根问题的求解，解题时需注意题目隐含条件：一元二次方程二次项系数不为0，两根不相等则判别式大于0，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有实数根，核心是证明判别式Δ≥0。首先明确一元二次方程二次项系数不为0（即m≠0），再代入判别式公式化简，判断化简结果的非负性即可。
（2）先利用求根公式求出方程的两个根，再根据“两个不相等、正整数根”的条件：首先根为正整数可推出$\frac{2}{m}$为正整数，得到m的可能取值，再结合两根不相等的条件（Δ＞0）排除不符合的取值，最终得到m的值。
【解析】
（1）证明：
∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴$m≠0$。
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4· m· 2 = m^2 + 4m + 4 - 8m = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2$，
∵任意实数的平方均为非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴不论m为何不为0的实数，方程总有实数根。
（2）解：根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=m$，$b=-(m+2)$，$c=2$，$\Delta=(m-2)^2$，得：
$x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\frac{m+2\pm(m-2)}{2m}$，
则$x_1=\frac{m+2+m-2}{2m}=1$，$x_2=\frac{m+2-(m-2)}{2m}=\frac{4}{2m}=\frac{2}{m}$，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴$\frac{2}{m}$为正整数，且m为整数，$m≠0$，
∴m是2的正约数，即$m=1$或$m=2$，
又
∵两根不相等，
∴$\Delta＞0$，即$(m-2)^2＞0$，解得$m≠2$，
综上，$m=1$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{m=1}$
【知识点】
根的判别式；公式法解方程；整数根求解
【点评】
本题考查一元二次方程判别式的应用及整数根问题的求解，解题时需注意题目隐含条件：一元二次方程二次项系数不为0，两根不相等则判别式大于0，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
