1 [2024广元]如果单项式$-x^{2m}y^{3}$与单项式$2x^{4}y^{2-n}$的和仍是一个单项式，那么在平面直角坐标系中，点$(m,n)$在（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

1. D

【分析】
首先明确两个单项式的和仍是单项式，说明这两个单项式是同类项。根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以分别列出关于m和n的一元一次方程，求解得到m、n的值后，再结合平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，即可判断点(m,n)所在的象限。
【解析】
∵ 单项式$-x^{2m}y^{3}$与$2x^{4}y^{2-n}$的和仍是单项式
∴ 这两个单项式是同类项，即相同字母的指数对应相等：
对于x的指数：$2m=4$，解得$m=2$
对于y的指数：$3=2-n$，解得$n=2-3=-1$
∴ 点的坐标为$(2,-1)$
∵ 第四象限内点的坐标特征为横坐标为正，纵坐标为负，$(2,-1)$符合该特征
∴ 点$(m,n)$在第四象限，故选D
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程；象限及坐标符号特征
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是理解“两个单项式的和仍是单项式”的含义，熟练掌握同类项的定义以及各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8

2 新情境 生活实际 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图.若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是(4,1)和(5,4)，则教学楼的坐标是（）

A.(1,1)
B.(1,2)
C.(2,1)
D.(2,2)

2. D

【分析】
要确定教学楼的坐标，首先明确坐标系规则：正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，坐标的第一个数是横坐标（东西方向，向东数值增大），第二个数是纵坐标（南北方向，向北数值增大）。首先通过已知的综合楼、食堂坐标，验证每个小方格代表1个单位长度，再对比教学楼和已知点的位置，分别计算横坐标和纵坐标即可。
【解析】
由题意可知：平面直角坐标系中，x轴正方向向东，y轴正方向向北，每个小方格的边长代表1个单位长度。
1. 验证单位长度：综合楼坐标为(4,1)，食堂坐标为(5,4)，两点横坐标相差$5-4=1$，对应横向相差1格；纵坐标相差$4-1=3$，对应纵向相差3格，确认每格代表1个单位长度。
2. 计算教学楼横坐标：教学楼在综合楼正西方向2格，所以横坐标为$4-2=2$。
3. 计算教学楼纵坐标：教学楼在综合楼正北方向1格，所以纵坐标为$1+1=2$。
因此教学楼的坐标是$(2,2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系；坐标确定位置
【点评】
本题结合校园场景考查坐标的实际应用，解题关键是明确坐标中横、纵坐标对应的方向规则，通过已知点推导单位长度，再定位未知点，难度较低，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8

3 点Q(-3,-1)到x轴的距离为，到原点O的距离为。

3. $1$；$\sqrt{10}$

【分析】
解题思路分两步走：①首先回忆点到x轴的距离计算规则：平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此可计算第一个空；②求点到原点的距离时，原点坐标为(0,0)，我们可以将点的横、纵坐标的绝对值看作直角三角形的两条直角边，到原点的距离看作斜边，用勾股定理计算即可，也可直接用两点间距离公式代入求解。
【解析】
1. 计算点Q(-3,-1)到x轴的距离：
点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点Q的纵坐标为-1，因此距离为$|-1|=1$。
2. 计算点Q到原点O的距离：
原点O坐标为(0,0)，根据勾股定理，两点间距离公式为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代入坐标得：
距离$=\sqrt{(-3-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
$1$；$\sqrt{10}$
【知识点】
点到坐标轴的距离；两点间距离计算；勾股定理应用
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题，需注意区分点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，不要混淆；计算到原点的距离时，平方运算会消去坐标的负号，无需额外处理符号。
【难度系数】
0.85

4 若点$M(m+3,m-1)$在第四象限，则$m$的取值范围是。

4. $-3＜m＜1$

【分析】
解题思路如下：第一步，先明确第四象限内点的坐标符号特征：横坐标为正数，纵坐标为负数；第二步，结合点M的横、纵坐标的表达式，分别列出对应的不等式，组成一元一次不等式组；第三步，分别求解两个不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 点$M(m+3,m-1)$在第四象限，第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}m+3 ＞ 0 \quad ① \\m-1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$m ＞ -3$，
解不等式②：移项得$m ＜ 1$，
∴ 不等式组的解集为$-3 ＜ m ＜ 1$，即m的取值范围是$-3 ＜ m ＜ 1$。
【答案】
$-3＜m＜1$
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是牢记各象限内点的坐标的符号特点，再结合不等式组的解法求解即可，掌握坐标特征是避免出错的关键。
【难度系数】
0.9

5 [2025德阳]在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(1,0)，(3,0)。如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是（写出一个即可）。

5. 答案不唯一，如$(2,1)$

【分析】
首先观察A、B两点坐标均在x轴上，可先计算AB的长度作为三角形的底；再结合三角形面积公式求出AB边上的高，也就是点C到x轴的距离，即点C纵坐标的绝对值，纵坐标确定后横坐标可任意取值，即可写出符合要求的点C坐标。
【解析】
解：
∵A(1,0)，B(3,0)，两点都在x轴上，
∴AB的长度为$3-1=2$。
设点C的纵坐标为$y$，以AB为底时，AB边上的高就是点C到x轴的距离，即$|y|$。
根据三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × |y| = 1$，
把$AB=2$代入得：$\frac{1}{2} × 2 × |y| = 1$，
解得$|y|=1$，即$y=1$或$y=-1$，横坐标可取任意实数，
因此点C坐标可以是$(2,1)$（答案不唯一）。
【答案】
答案不唯一，如$(2,1)$
【知识点】
平面直角坐标系点的特征；三角形面积计算
【点评】
本题为开放性试题，解题关键是利用A、B在x轴上的特征，结合三角形面积公式确定点C纵坐标的取值，横坐标可自由选择，考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

6 [2024临夏]如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,则点D的坐标是.

6. $(1,4)$

【分析】
首先分析已知点的坐标特征：点A、B纵坐标相同，可知AB是平行于x轴的线段，长度为4，是△ABC和△ABD的公共边。要使两个三角形全等，结合D在第一象限、不与C重合的限定，分两种情况讨论点D的位置：①D与C在AB同侧，此时两点关于AB的垂直平分线对称；②D与C在AB异侧，此时点纵坐标为负，不符合第一象限要求，排除。最终通过轴对称的坐标变化规律计算符合要求的D点坐标。
【解析】
解：已知A(0,1)，B(4,1)，
∴AB的长度为$4-0=4$，且AB平行于x轴，AB的中点坐标为$(2,1)$，AB的垂直平分线为直线$x=2$。
∵△ABD与△ABC全等，AB为公共边，分情况讨论：
1. 若点D与点C在AB的异侧：此时点D的纵坐标为$1-(4-1)=-2＜0$，不在第一象限，不符合要求，舍去；
2. 若点D与点C在AB的同侧：此时点D与点C关于直线$x=2$对称，
点C(3,4)关于直线$x=2$的对称点，横坐标为$2×2-3=1$，纵坐标不变为4，即D(1,4)，符合“第一象限、不与C重合”的要求。
综上，点D的坐标为$(1,4)$。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 坐标与图形变化
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是抓住公共边AB进行分类讨论，同时结合题目给出的限定条件筛选符合要求的解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7

7 在平面直角坐标系中,对于点$A(x,y)$,若点$B$的坐标为$(x+ky,kx-y)$,则称$B$为点$A$的“$k$系伴随点”.例如,点$A(2,3)$的“1系伴随点”为$B(2+1×3,1×2-3)$,即$B(5,-1)$.
(1) 已知点$P(3,-2)$的“2系伴随点”为$P_1$,则点$P_1$的坐标为,点$P_1$到$x$轴的距离为;
(2) 已知点$Q$的“$-1$系伴随点”为$Q_1(-3,5)$,求点$Q$的坐标及所在象限;
(3) 若点$M(m,2)$的“$k$系伴随点”$M_1$在坐标轴上,求$k$与$m$的关系式.

7. (1) $(-1,8)$；$8$
(2) 根据题意,设点 Q 的坐标为$(x,y),\therefore \begin{cases} x-y=-3,\\ -x-y=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-4,\\ y=-1, \end{cases}$
∴ 点 Q 的坐标为$(-4,-1)$,
∴ 点 Q 在第三象限
(3) 根据题意,可知点$M_1$的坐标为$(m+2k,km-2)$,分两种情况讨论.
① 点$M_1$在$x$轴上,
∴ $km-2=0$. 整理,得$km=2$.
② 点$M_1$在$y$轴上,
∴ $m+2k=0$. 整理,得$m=-2k$.
综上所述,$k$与$m$的关系式为$km=2$或$m=-2k$

【分析】
(1) 首先准确理解“k系伴随点”的定义，求$P_1$坐标时，直接将点$P$的横纵坐标、$k=2$代入伴随点的坐标公式$(x+ky,kx-y)$计算即可；点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，计算$P_1$纵坐标的绝对值即可得到第二空答案。
(2) 第二问是已知伴随点反求原点点坐标，可设点$Q$的坐标为$(x,y)$，将$k=-1$、伴随点坐标$(-3,5)$代入定义公式，得到关于$x$、$y$的二元一次方程组，解方程组即可得到$Q$的坐标，再根据象限内点的坐标特征判断所在象限。
(3) 第三问先根据定义写出$M_1$的坐标，坐标轴包括x轴和y轴两种情况：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分两种情况列等式整理，就能得到$k$与$m$的关系式，注意不要漏情况。
【解析】
(1) 已知点$P(3,-2)$，$k=2$，代入伴随点坐标公式：
横坐标：$3+2×(-2)=3-4=-1$，纵坐标：$2×3-(-2)=6+2=8$，故$P_1$坐标为$(-1,8)$；
点$P_1$到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$\vert8\vert=8$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$，其“$-1$系伴随点”$Q_1$的坐标为$(x-y,-x-y)$，结合$Q_1(-3,5)$列方程组：
$\begin{cases} x-y=-3\\ -x-y=5 \end{cases}$
两式相加得$-2y=2$，解得$y=-1$，将$y=-1$代入$x-y=-3$，得$x=-4$，即$\begin{cases} x=-4\\ y=-1 \end{cases}$
所以点$Q$的坐标为$(-4,-1)$，横纵坐标均为负，故在第三象限。
(3) 点$M(m,2)$的“$k$系伴随点”$M_1$的坐标为$(m+2k,km-2)$，分两种情况讨论：
① 若$M_1$在x轴上，纵坐标为0，即$km-2=0$，整理得$km=2$；
② 若$M_1$在y轴上，横坐标为0，即$m+2k=0$，整理得$m=-2k$。
综上可得$k$与$m$的关系式。
【答案】
(1) $(-1,8)$；$8$
(2) 点$Q$的坐标为$(-4,-1)$，在第三象限
(3) $km=2$或$m=-2k$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的应用，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题以新定义为载体考查坐标相关性质，解题核心是准确理解新定义的运算规则，第三问需要运用分类讨论思想，注意不要遗漏坐标轴的两种情况，整体侧重对基础知识和基础思想方法的考查。
【难度系数】
0.75