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8 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,∠C=90°,OB=25,OC=20.
(1)求点C的坐标;
(2)设P是y轴上的一个动点,当△OCP为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
(1)求点C的坐标;
(2)设P是y轴上的一个动点,当△OCP为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
答案
8. (1) 如图,过点 C 作$CH ⊥ OB$,垂足为 H.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OCB$ 中,$∠ OCB = 90°$,$OB = 25$,$OC = 20$,
$\therefore BC^2+OC^2=OB^2$,即$BC^2+20^2=25^2$,$\therefore BC=15$.
根据$△ OCB$ 的面积公式,得$\frac{1}{2}OB · CH=\frac{1}{2}OC · BC$,
$\therefore CH=\frac{OC · BC}{OB}=\frac{20 × 15}{25}=12$.
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OHC$ 中,$∠ OHC=90°$,$\therefore OH^2+CH^2=OC^2$,即$OH^2+12^2=20^2$,$\therefore OH=16$,$\therefore$ 点 C 的坐标为$(16,-12)$
(2) 当 OC 为$△ OCP$ 的腰时,点 P 的坐标为$(0,20)$或$(0,-20)$或$(0,-24)$;当 OC 为$△ OCP$ 的底时,点 P 的坐标为$(0,-\frac{50}{3})$
解析
【分析】
(1) 要求点C的坐标，可过C向x轴作垂线CH，OH对应横坐标绝对值，CH对应纵坐标绝对值，结合C在第四象限确定符号。首先在Rt△OCB中用勾股定理求BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法求出CH的长度，最后在Rt△OHC中用勾股定理求OH的长度，即可得到C的坐标。
(2) △OCP为等腰三角形时顶点不确定，需分类讨论：①OC为腰，分顶点为O（OP=OC）、顶点为C（CP=OC）两种情况；②OC为底（OP=CP），结合P在y轴上横坐标为0的特征，分别计算对应P的坐标，注意避免漏解。
【解析】
(1) 过点C作$CH ⊥ OB$，垂足为H。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OCB$ 中，$∠ OCB = 90°$，$OB = 25$，$OC = 20$，
由勾股定理得$BC^2+OC^2=OB^2$，即$BC^2+20^2=25^2$，解得$BC=15$。
根据$△ OCB$ 的面积公式，得$\frac{1}{2}OB · CH=\frac{1}{2}OC · BC$，
代入数据得$CH=\frac{OC · BC}{OB}=\frac{20 × 15}{25}=12$。
在$\mathrm{Rt}△ OHC$中，$∠ OHC=90°$，由勾股定理得$OH^2+CH^2=OC^2$，即$OH^2+12^2=20^2$，解得$OH=16$。
∵ 点C在第四象限，
∴ 点C的坐标为$(16,-12)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当OC为$△ OCP$的腰时：
若O为等腰三角形的顶点，即$OP=OC=20$：P在y轴正半轴时坐标为$(0,20)$，P在y轴负半轴时坐标为$(0,-20)$；
若C为等腰三角形的顶点，即$CP=OC=20$：由等腰三角形三线合一可得，P到O的距离为$2×12=24$，P在y轴负半轴，坐标为$(0,-24)$。
② 当OC为$△ OCP$的底时，即$OP=CP$：设P坐标为$(0,y)$（$y＜0$），列方程解得$y=-\frac{50}{3}$，即P坐标为$(0,-\frac{50}{3})$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$(16,-12)$
(2) 点P的坐标为$(0,20)$或$(0,-20)$或$(0,-24)$或$(0,-\frac{50}{3})$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何的综合题，第一问用到的作垂线、面积法、勾股定理都是坐标系中求点坐标的常用方法；第二问需要紧扣等腰三角形的性质分类讨论，注意不要遗漏不同的顶点情况，能够锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 要求点C的坐标，可过C向x轴作垂线CH，OH对应横坐标绝对值，CH对应纵坐标绝对值，结合C在第四象限确定符号。首先在Rt△OCB中用勾股定理求BC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法求出CH的长度，最后在Rt△OHC中用勾股定理求OH的长度，即可得到C的坐标。
(2) △OCP为等腰三角形时顶点不确定，需分类讨论：①OC为腰，分顶点为O（OP=OC）、顶点为C（CP=OC）两种情况；②OC为底（OP=CP），结合P在y轴上横坐标为0的特征，分别计算对应P的坐标，注意避免漏解。
【解析】
(1) 过点C作$CH ⊥ OB$，垂足为H。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ OCB$ 中，$∠ OCB = 90°$，$OB = 25$，$OC = 20$，
由勾股定理得$BC^2+OC^2=OB^2$，即$BC^2+20^2=25^2$，解得$BC=15$。
根据$△ OCB$ 的面积公式，得$\frac{1}{2}OB · CH=\frac{1}{2}OC · BC$，
代入数据得$CH=\frac{OC · BC}{OB}=\frac{20 × 15}{25}=12$。
在$\mathrm{Rt}△ OHC$中，$∠ OHC=90°$，由勾股定理得$OH^2+CH^2=OC^2$，即$OH^2+12^2=20^2$，解得$OH=16$。
∵ 点C在第四象限，
∴ 点C的坐标为$(16,-12)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当OC为$△ OCP$的腰时：
若O为等腰三角形的顶点，即$OP=OC=20$：P在y轴正半轴时坐标为$(0,20)$，P在y轴负半轴时坐标为$(0,-20)$；
若C为等腰三角形的顶点，即$CP=OC=20$：由等腰三角形三线合一可得，P到O的距离为$2×12=24$，P在y轴负半轴，坐标为$(0,-24)$。
② 当OC为$△ OCP$的底时，即$OP=CP$：设P坐标为$(0,y)$（$y＜0$），列方程解得$y=-\frac{50}{3}$，即P坐标为$(0,-\frac{50}{3})$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$(16,-12)$
(2) 点P的坐标为$(0,20)$或$(0,-20)$或$(0,-24)$或$(0,-\frac{50}{3})$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何的综合题，第一问用到的作垂线、面积法、勾股定理都是坐标系中求点坐标的常用方法；第二问需要紧扣等腰三角形的性质分类讨论，注意不要遗漏不同的顶点情况，能够锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
9 [2025淮安]点$P(-1,1)$沿$y$轴向上平移4个单位长度后的点的坐标是 （
A.$(3,1)$
B.$(-5,1)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-1,5)$
D
）A.$(3,1)$
B.$(-5,1)$
C.$(-1,-3)$
D.$(-1,5)$
答案
9. D
解析
【分析】
要确定点平移后的坐标，需先掌握平面直角坐标系中点的平移坐标变化规则：上下平移仅改变纵坐标，遵循“上加下减”的规律，且横坐标保持不变。本题是沿y轴向上平移，因此无需改变原点点P的横坐标，只需给纵坐标加上平移的单位长度4，就能得到平移后的点坐标。
【解析】
根据点沿y轴平移的坐标变化规律：沿y轴向上平移时，点的横坐标不变，纵坐标增加平移的单位长度。
已知点P的坐标为$(-1,1)$，向上平移4个单位长度后：
横坐标保持为$-1$，纵坐标变为$1+4=5$，
因此平移后的点坐标为$(-1,5)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律、坐标变换
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点平移时的坐标变化规律，只要熟记“左减右加变横坐标，上加下减变纵坐标”的规则，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要确定点平移后的坐标，需先掌握平面直角坐标系中点的平移坐标变化规则：上下平移仅改变纵坐标，遵循“上加下减”的规律，且横坐标保持不变。本题是沿y轴向上平移，因此无需改变原点点P的横坐标，只需给纵坐标加上平移的单位长度4，就能得到平移后的点坐标。
【解析】
根据点沿y轴平移的坐标变化规律：沿y轴向上平移时，点的横坐标不变，纵坐标增加平移的单位长度。
已知点P的坐标为$(-1,1)$，向上平移4个单位长度后：
横坐标保持为$-1$，纵坐标变为$1+4=5$，
因此平移后的点坐标为$(-1,5)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点的平移规律、坐标变换
【点评】
本题属于基础题型，主要考查点平移时的坐标变化规律，只要熟记“左减右加变横坐标，上加下减变纵坐标”的规则，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
10 [2024 沭阳期末]已知点P的坐标为$(a,b)$，它关于y轴对称的点为$P_1$，点$P_1$关于x轴对称的点为$P_2$.若点$P_2$的坐标为$(-2,3)$，则点P的坐标为（
A.$(2,-3)$
B.$(-2,-3)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,3)$
A
）A.$(2,-3)$
B.$(-2,-3)$
C.$(-2,3)$
D.$(2,3)$
答案
10. A
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。我们可以有两种解题思路：一是逆向推导，从已知的$P_2$坐标出发，先还原得到$P_1$的坐标，再还原得到点P的坐标；二是正向推导，先用a、b表示出$P_1$、$P_2$的坐标，再结合$P_2$的已知坐标列等式求解a、b的值，即可得到点P的坐标。
【解析】
方法一（逆向推导）：
1. 点$P_1$和$P_2$关于x轴对称，已知$P_2(-2,3)$，根据关于x轴对称的点的坐标特征，得$P_1$的横坐标与$P_2$相同，纵坐标为$P_2$纵坐标的相反数，即$P_1(-2,-3)$。
2. 点P和$P_1$关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得P的纵坐标与$P_1$相同，横坐标为$P_1$横坐标的相反数，即$P(2,-3)$。
方法二（正向推导）：
1. 已知点$P(a,b)$，它关于y轴对称的点$P_1$的坐标为$(-a,b)$（纵坐标不变，横坐标互为相反数）。
2. 点$P_1$关于x轴对称的点$P_2$的坐标为$(-a,-b)$（横坐标不变，纵坐标互为相反数）。
3. 已知$P_2$的坐标为$(-2,3)$，因此可列等式：$\begin{cases}-a=-2\\-b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$，即点P的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查点的轴对称变换对应的坐标变化规律，解题时注意不要混淆x轴、y轴对称对应的横、纵坐标的变化规则，无论是正向推导列方程还是逆向还原都能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确平面直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。我们可以有两种解题思路：一是逆向推导，从已知的$P_2$坐标出发，先还原得到$P_1$的坐标，再还原得到点P的坐标；二是正向推导，先用a、b表示出$P_1$、$P_2$的坐标，再结合$P_2$的已知坐标列等式求解a、b的值，即可得到点P的坐标。
【解析】
方法一（逆向推导）：
1. 点$P_1$和$P_2$关于x轴对称，已知$P_2(-2,3)$，根据关于x轴对称的点的坐标特征，得$P_1$的横坐标与$P_2$相同，纵坐标为$P_2$纵坐标的相反数，即$P_1(-2,-3)$。
2. 点P和$P_1$关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得P的纵坐标与$P_1$相同，横坐标为$P_1$横坐标的相反数，即$P(2,-3)$。
方法二（正向推导）：
1. 已知点$P(a,b)$，它关于y轴对称的点$P_1$的坐标为$(-a,b)$（纵坐标不变，横坐标互为相反数）。
2. 点$P_1$关于x轴对称的点$P_2$的坐标为$(-a,-b)$（横坐标不变，纵坐标互为相反数）。
3. 已知$P_2$的坐标为$(-2,3)$，因此可列等式：$\begin{cases}-a=-2\\-b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$，即点P的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查点的轴对称变换对应的坐标变化规律，解题时注意不要混淆x轴、y轴对称对应的横、纵坐标的变化规则，无论是正向推导列方程还是逆向还原都能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
11 如图，点A的坐标为(-3,4)，将线段AO绕点A逆时针旋转90°至AA'，则点A'的坐标是
(1,7)
。答案
11. $(1,7)$
【解析】过点 A 作$y$轴的平行线$EF$,交$x$轴于点 N,再过点$A'$作$EF$的垂线,垂足为 M. 先证$△ A'MA ≌ △ ANO(\mathrm{AAS})$,则$A'M=AN$,$MA=NO$.
∵ 点 A 的坐标为$(-3,4)$,$\therefore A'M=AN=4$,$MA=NO=3$,$\therefore 4-3=1$,$4+3=7$,$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$.
【解析】过点 A 作$y$轴的平行线$EF$,交$x$轴于点 N,再过点$A'$作$EF$的垂线,垂足为 M. 先证$△ A'MA ≌ △ ANO(\mathrm{AAS})$,则$A'M=AN$,$MA=NO$.
∵ 点 A 的坐标为$(-3,4)$,$\therefore A'M=AN=4$,$MA=NO=3$,$\therefore 4-3=1$,$4+3=7$,$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$.
解析
【分析】
遇到平面直角坐标系中线段旋转90°求对应点坐标的问题，可结合旋转的性质（旋转前后对应边相等、旋转角为90°），通过构造直角三角形证明全等来求解。首先过点A作平行于y轴的直线，再过点A'作该直线的垂线，得到两个全等的直角三角形，将点的坐标转化为线段长度，再根据线段长度推导A'的横纵坐标即可。
【解析】
过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点$A'$作EF的垂线，垂足为M。
由旋转性质可知$AA'=AO$，$∠ A'AO=90°$，因此$∠ A'AM+∠ OAN=90°$。
又$\because ∠ A'AM+∠ AA'M=90°$，$\therefore ∠ AA'M=∠ OAN$。
在$△ A'MA$和$△ ANO$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ ANO=90° \\∠ AA'M=∠ OAN \\AA'=AO\end{cases}$
$\therefore △ A'MA ≌ △ ANO(\mathrm{AAS})$，可得$A'M=AN$，$MA=NO$。
$\because$ 点A的坐标为$(-3,4)$，$\therefore AN=4$（点A到x轴的距离），$NO=3$（点A到y轴的距离），即$A'M=4$，$MA=3$。
点$A'$的横坐标为：$A'M +$点A的横坐标$=4+(-3)=1$；
点$A'$的纵坐标为：点A的纵坐标$+MA=4+3=7$。
$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转类的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，灵活转化点的坐标与线段长度，考查几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
遇到平面直角坐标系中线段旋转90°求对应点坐标的问题，可结合旋转的性质（旋转前后对应边相等、旋转角为90°），通过构造直角三角形证明全等来求解。首先过点A作平行于y轴的直线，再过点A'作该直线的垂线，得到两个全等的直角三角形，将点的坐标转化为线段长度，再根据线段长度推导A'的横纵坐标即可。
【解析】
过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点$A'$作EF的垂线，垂足为M。
由旋转性质可知$AA'=AO$，$∠ A'AO=90°$，因此$∠ A'AM+∠ OAN=90°$。
又$\because ∠ A'AM+∠ AA'M=90°$，$\therefore ∠ AA'M=∠ OAN$。
在$△ A'MA$和$△ ANO$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ ANO=90° \\∠ AA'M=∠ OAN \\AA'=AO\end{cases}$
$\therefore △ A'MA ≌ △ ANO(\mathrm{AAS})$，可得$A'M=AN$，$MA=NO$。
$\because$ 点A的坐标为$(-3,4)$，$\therefore AN=4$（点A到x轴的距离），$NO=3$（点A到y轴的距离），即$A'M=4$，$MA=3$。
点$A'$的横坐标为：$A'M +$点A的横坐标$=4+(-3)=1$；
点$A'$的纵坐标为：点A的纵坐标$+MA=4+3=7$。
$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(1,7)$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系中旋转类的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，灵活转化点的坐标与线段长度，考查几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
12 如图，$△ A_1B_1C_1$是$△ ABC$向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点分别为$A_1(1,1)$，$B_1(4,2)$，$C_1(3,4)$。
（1）请画出$△ ABC$，并写出点$A$，$B$，$C$的坐标；
（2）求$△ AOA_1$与$△ ABC$的面积；
（3）求在整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积。
（1）请画出$△ ABC$，并写出点$A$，$B$，$C$的坐标；
（2）求$△ AOA_1$与$△ ABC$的面积；
（3）求在整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积。
答案
12. (1) 如图,$△ ABC$ 即为所求 $A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) 如图,连接$AO,A_1O,AA_1$.$△ AOA_1$ 的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 1=2$,$△ ABC$ 的面积为$3 × 3-\frac{1}{2} × 2 × 3-\frac{1}{2} × 1 × 2-\frac{1}{2} × 1 × 3=\frac{7}{2}$
(3) 如图,连接$CC_1$. 由平移的性质,可知$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$,$\therefore △ ABC$ 扫过的面积为$S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ A_1B_1C_1}=S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ ABC}=4 × 3+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$
解析
【分析】
（1）已知△A₁B₁C₁是△ABC向右平移4个单位得到的，根据平移的可逆性，将△A₁B₁C₁的三个顶点分别向左平移4个单位（横坐标减4，纵坐标不变），即可得到原三角形三个顶点的坐标，描点顺次连接就能画出△ABC。
（2）求△AOA₁的面积：观察A和A₁的坐标可知两点纵坐标相同，因此AA₁是水平线段，长度为两点横坐标差的绝对值，AA₁边上的高为原点O到直线AA₁的距离，代入三角形面积公式即可计算。求△ABC的面积：采用网格中常用的割补法，将三角形放入覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（3）求平移过程中△ABC扫过的面积：平移时三角形扫过的区域为平行四边形AA₁C₁C与△A₁B₁C₁的面积和，根据平移性质可知△ABC和△A₁B₁C₁面积相等，平行四边形的底为平移距离4，高为C点到AA₁所在直线的垂直距离，算出平行四边形面积后加三角形面积即可得到结果。
【解析】
（1）
∵△A₁B₁C₁是△ABC向右平移4个单位长度得到的，
∴将A₁、B₁、C₁三点分别向左平移4个单位长度（横坐标减4，纵坐标不变），可得三点坐标：
A：$1-4=-3$，即$A(-3,1)$，
B：$4-4=0$，即$B(0,2)$，
C：$3-4=-1$，即$C(-1,4)$，
在坐标系中描出A、B、C三点，顺次连接即可得到△ABC。
（2）①计算△AOA₁的面积：
∵$A(-3,1)$，$A_1(1,1)$，
∴$AA_1=|1-(-3)|=4$，AA₁所在直线为$y=1$，原点O到AA₁的距离为1，
∴$S_{△AOA_1}=\frac{1}{2}×4×1=2$。
②计算△ABC的面积：
将△ABC放入边长为3的正方形中，正方形面积为$3×3=9$，
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ABC}=9-3-1-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
（3）由平移性质可得：$S_{△ABC}=S_{△A_1B_1C_1}=\frac{7}{2}$，且四边形$AA_1C_1C$是平行四边形，
平行四边形$AA_1C_1C$的底为平移距离4，高为$4-1=3$，面积为$4×3=12$，
△ABC扫过的面积为平行四边形面积加△A₁B₁C₁的面积：
$S=12+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$。
【答案】
(1) 如图,$△ ABC$ 即为所求 $A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) $△ AOA_1$ 的面积为$2$,$△ ABC$ 的面积为$\frac{7}{2}$
(3) 整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积为$\frac{31}{2}$
【知识点】
坐标与平移变换，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的相关知识，既涉及平移前后点的坐标变化规律，又考查了网格中不规则图形面积的计算方法，易错点是第三问平移扫过区域的判断，需明确平移过程中图形扫过的范围构成。
【难度系数】
0.7
（1）已知△A₁B₁C₁是△ABC向右平移4个单位得到的，根据平移的可逆性，将△A₁B₁C₁的三个顶点分别向左平移4个单位（横坐标减4，纵坐标不变），即可得到原三角形三个顶点的坐标，描点顺次连接就能画出△ABC。
（2）求△AOA₁的面积：观察A和A₁的坐标可知两点纵坐标相同，因此AA₁是水平线段，长度为两点横坐标差的绝对值，AA₁边上的高为原点O到直线AA₁的距离，代入三角形面积公式即可计算。求△ABC的面积：采用网格中常用的割补法，将三角形放入覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（3）求平移过程中△ABC扫过的面积：平移时三角形扫过的区域为平行四边形AA₁C₁C与△A₁B₁C₁的面积和，根据平移性质可知△ABC和△A₁B₁C₁面积相等，平行四边形的底为平移距离4，高为C点到AA₁所在直线的垂直距离，算出平行四边形面积后加三角形面积即可得到结果。
【解析】
（1）
∵△A₁B₁C₁是△ABC向右平移4个单位长度得到的，
∴将A₁、B₁、C₁三点分别向左平移4个单位长度（横坐标减4，纵坐标不变），可得三点坐标：
A：$1-4=-3$，即$A(-3,1)$，
B：$4-4=0$，即$B(0,2)$，
C：$3-4=-1$，即$C(-1,4)$，
在坐标系中描出A、B、C三点，顺次连接即可得到△ABC。
（2）①计算△AOA₁的面积：
∵$A(-3,1)$，$A_1(1,1)$，
∴$AA_1=|1-(-3)|=4$，AA₁所在直线为$y=1$，原点O到AA₁的距离为1，
∴$S_{△AOA_1}=\frac{1}{2}×4×1=2$。
②计算△ABC的面积：
将△ABC放入边长为3的正方形中，正方形面积为$3×3=9$，
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ABC}=9-3-1-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。
（3）由平移性质可得：$S_{△ABC}=S_{△A_1B_1C_1}=\frac{7}{2}$，且四边形$AA_1C_1C$是平行四边形，
平行四边形$AA_1C_1C$的底为平移距离4，高为$4-1=3$，面积为$4×3=12$，
△ABC扫过的面积为平行四边形面积加△A₁B₁C₁的面积：
$S=12+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$。
【答案】
(1) 如图,$△ ABC$ 即为所求 $A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) $△ AOA_1$ 的面积为$2$,$△ ABC$ 的面积为$\frac{7}{2}$
(3) 整个平移过程中，$△ ABC$扫过的面积为$\frac{31}{2}$
【知识点】
坐标与平移变换，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题综合考查了平移的相关知识，既涉及平移前后点的坐标变化规律，又考查了网格中不规则图形面积的计算方法，易错点是第三问平移扫过区域的判断，需明确平移过程中图形扫过的范围构成。
【难度系数】
0.7
13 在平面直角坐标系中，已知点$A(2,2)$，$B(4,0)$。若在坐标轴上取点$C$，使$△ ABC$为等腰三角形，则满足条件的点$C$的个数是（
A.5
B.6
C.7
D.8
A
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
13. A
解析
【分析】
要解决在坐标轴上找点C使△ABC为等腰三角形的问题，需按等腰三角形的腰和底分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底，C为顶角顶点。结合C在坐标轴的要求，分别计算每类情况下的点坐标，最后排除三点共线无法构成三角形的点、去除重复计数的点，统计有效点的个数即可。
【解析】
首先计算AB的长度：由点A(2,2)、B(4,0)，根据两点间距离公式得$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$。
1. 当AB=AC，A为顶角顶点时：
C在以A为圆心、AB长为半径的圆上，且在坐标轴上：
① 与x轴交点：设C(x,0)，则$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4$（即点B，无法构成三角形，舍去）或$x=0$，得点C₁(0,0)；
② 与y轴交点：设C(0,y)，则$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=0$（即C₁，重复）或$y=4$，得点(0,4)，验证发现该点与A、B在同一直线$y=-x+4$上，无法构成三角形，舍去。
本类共得到1个有效点。
2. 当AB=BC，B为顶角顶点时：
C在以B为圆心、AB长为半径的圆上，且在坐标轴上：
① 与x轴交点：设C(x,0)，则$|x-4|=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，得点C₂(4+2√2,0)、C₃(4-2√2,0)；
② 与y轴交点：设C(0,y)，则$\sqrt{(0-4)^2+y^2}=2\sqrt{2}$，化简得$y^2=-8$，无实根，无有效点。
本类共得到2个有效点。
3. 当AC=BC，C为顶角顶点时：
C在AB的垂直平分线上，且在坐标轴上：
先求AB垂直平分线方程：AB中点为(3,1)，AB斜率为-1，故垂直平分线斜率为1，方程为$y=x-2$；
① 与x轴交点：令y=0，得x=2，得点C₄(2,0)；
② 与y轴交点：令x=0，得y=-2，得点C₅(0,-2)，两点均不与A、B共线，有效。
本类共得到2个有效点。
综上，有效点共1+2+2=5个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形判定，两点间距离公式，垂直平分线性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需按等腰三角形顶角顶点的不同分三类讨论，同时要注意验证三点是否共线、是否有重复点，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.6
要解决在坐标轴上找点C使△ABC为等腰三角形的问题，需按等腰三角形的腰和底分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底，C为顶角顶点。结合C在坐标轴的要求，分别计算每类情况下的点坐标，最后排除三点共线无法构成三角形的点、去除重复计数的点，统计有效点的个数即可。
【解析】
首先计算AB的长度：由点A(2,2)、B(4,0)，根据两点间距离公式得$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$。
1. 当AB=AC，A为顶角顶点时：
C在以A为圆心、AB长为半径的圆上，且在坐标轴上：
① 与x轴交点：设C(x,0)，则$\sqrt{(x-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$x=4$（即点B，无法构成三角形，舍去）或$x=0$，得点C₁(0,0)；
② 与y轴交点：设C(0,y)，则$\sqrt{(0-2)^2+(y-2)^2}=2\sqrt{2}$，解得$y=0$（即C₁，重复）或$y=4$，得点(0,4)，验证发现该点与A、B在同一直线$y=-x+4$上，无法构成三角形，舍去。
本类共得到1个有效点。
2. 当AB=BC，B为顶角顶点时：
C在以B为圆心、AB长为半径的圆上，且在坐标轴上：
① 与x轴交点：设C(x,0)，则$|x-4|=2\sqrt{2}$，解得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，得点C₂(4+2√2,0)、C₃(4-2√2,0)；
② 与y轴交点：设C(0,y)，则$\sqrt{(0-4)^2+y^2}=2\sqrt{2}$，化简得$y^2=-8$，无实根，无有效点。
本类共得到2个有效点。
3. 当AC=BC，C为顶角顶点时：
C在AB的垂直平分线上，且在坐标轴上：
先求AB垂直平分线方程：AB中点为(3,1)，AB斜率为-1，故垂直平分线斜率为1，方程为$y=x-2$；
① 与x轴交点：令y=0，得x=2，得点C₄(2,0)；
② 与y轴交点：令x=0，得y=-2，得点C₅(0,-2)，两点均不与A、B共线，有效。
本类共得到2个有效点。
综上，有效点共1+2+2=5个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形判定，两点间距离公式，垂直平分线性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需按等腰三角形顶角顶点的不同分三类讨论，同时要注意验证三点是否共线、是否有重复点，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.6
