14 [2025攀枝花]已知点A在平面直角坐标系中的坐标为$(-1,2)$，现将该平面直角坐标系绕原点O按逆时针方向旋转$90°$，则点A在新的平面直角坐标系中的坐标为（）

A.$(-1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$

14. B
【解析】将原平面直角坐标系绕原点 O 按逆时针方向旋转$90°$,相当于把点 A 在原平面直角坐标系中按顺时针方向旋转$90°$.
∵ 点 A 在原平面直角坐标系中的坐标为$(-1,2)$,$\therefore$ 点 A 在新平面直角坐标系中的坐标为$(2,1)$.

【分析】
解题时首先要明确：坐标系旋转时，点A的实际空间位置没有发生改变，要求点A在新坐标系中的坐标，可将坐标系的旋转变换等价转化为点的旋转变换：坐标系绕原点逆时针旋转90°，等效于原坐标系保持不动，点A绕原点顺时针旋转90°，此时旋转后点在原坐标系中的坐标就是所求的新坐标系下的坐标。接下来回忆点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律，代入点A的原坐标计算即可。
【解析】
将平面直角坐标系绕原点O按逆时针方向旋转90°，点A位置不变，等价于点A在原坐标系中绕原点顺时针旋转90°，旋转后点的坐标即为点A在新坐标系中的坐标。
已知点A原坐标为$(-1,2)$，点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律为：若原坐标为$(x,y)$，旋转后坐标为$(y,-x)$。
将$x=-1$，$y=2$代入规律，得新坐标为$(2, -(-1))=(2,1)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标与旋转变换；点绕原点旋转的坐标规律
【点评】
本题的核心是坐标系旋转与点旋转的等价转换，避免直接分析坐标系变换产生的方向混淆，熟练掌握点绕原点旋转90°的坐标变化规律就能快速得出结果，是旋转变换应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

15 新考向 阅读理解题 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点$(a,b)$，规定下列三种变换：
① $△(a,b)=(-a,b)$；② $◯(a,b)=(-a,-b)$；③ $\Omega(a,b)=(a,-b)$。例如，$△[◯(1,2)]=(1,-2)$，则 $◯[\Omega(3,4)]=$。
$A(-3,3)$
$y\uparrow$

15. $(-3,4)$
【解析】$\because \Omega(a,b)=(a,-b)$,$\therefore \Omega(3,4)=(3,-4)$.$\because ◯(a,b)=(-a,-b)$,$\therefore ◯(3,-4)=(-3,4)$,$\therefore ◯[\Omega(3,4)]=(-3,4)$.

【分析】
这是一道新定义坐标变换的题目，解题时需遵循从内到外的运算顺序：第一步先根据Ω变换的规则计算内层Ω(3,4)的结果，第二步将第一步得到的坐标作为外层○变换的输入，再按照○变换的规则计算最终结果，每一步要注意对应横、纵坐标的符号变化，严格套用题目给出的变换规则即可。
【解析】
根据题意，先计算内层的Ω变换：
∵ $\Omega(a,b)=(a,-b)$，
∴ $\Omega(3,4)=(3,-4)$。
再将得到的(3,-4)代入外层的○变换计算：
∵ $◯(a,b)=(-a,-b)$，
∴ $◯(3,-4)=(-3,-(-4))=(-3,4)$。
因此 $◯[\Omega(3,4)]=(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
新定义运算，坐标变换
【点评】
本题属于新定义类基础题，主要考查对新规则的理解和分步运算能力，解题关键是明确运算顺序，准确套用变换规则，注意坐标符号变化不要出错。
【难度系数】
0.9

16 [2025广元]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3,3)，B是x轴负半轴上的动点，C是y轴负半轴上的动点。若∠BAC=90°，则OB－OC的值为。

16. $6$
【解析】如图,过点 A 分别作$x$轴和$y$轴的垂线,垂足分别为 D,E. $\because AD ⊥ x$ 轴,$AE ⊥ y$ 轴,$\therefore ∠ ADB=∠ ADO=∠ AEC=90°$. $\because ∠ DAE=360°-∠ ADO-∠ DOE-∠ AEC=90°=∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ DAC+∠ CAE$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$. $\because A(-3,3)$,$\therefore AD=AE=3$. 在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} ∠ ADB=∠ AEC,\\ AD=AE,\\ ∠ BAD=∠ CAE, \end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{ASA})$,$\therefore BD=CE$,即$BD=OE+OC=3+OC$,$\therefore OB=BD+OD=3+OC+3=6+OC$,$\therefore OB-OC=6$

【分析】
本题是平面直角坐标系与几何结合的求值题，解题的突破口是构造全等三角形转化线段。首先过已知点A作x轴、y轴的垂线，借助点A的坐标可得到两条长度相等的垂线段；再结合已知的∠BAC=90°，通过角度的和差关系推导得到一组相等的角，即可证明两个直角三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，将OB、OC对应的线段拆分后作差，消去未知量即可得到结果。
【解析】
过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为D、E。
$\because AD⊥ x$轴，$AE⊥ y$轴，$\therefore ∠ ADB=∠ ADO=∠ AEC=90°$。
$\because$ 四边形$ADOE$内角和为$360°$，且$∠ DOE=90°$，
$\therefore ∠ DAE=360°-∠ ADO-∠ DOE-∠ AEC=90°=∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ DAC+∠ CAE$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
$\because A(-3,3)$，$\therefore AD=AE=3$，$OD=OE=3$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ AEC \\AD=AE \\∠ BAD=∠ CAE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{ASA})$，$\therefore BD=CE$。
$\because CE=OE+OC=3+OC$，$OB=BD+OD$，
$\therefore OB=3+OC+3=6+OC$，
$\therefore OB-OC=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；直角的性质
【点评】
本题属于中等难度的综合题，通过构造全等三角形将未知线段转化为已知长度的线段，是坐标系中几何计算的常用方法，考查了学生的数形结合能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

17 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的各顶点分别为A(-2,-2),B(-4,-1),C(-4,-4).
（1）作出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁；
（2）在（1）的条件下,作出点A关于x轴的对称点A',若把点A'向右平移a个单位长度后落在△A₁B₁C₁的内部(不包括顶点和边界),则a的取值范围是.

17. (1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
【解析】描出$A_1(2,2),B_1(4,1),C_1(4,4)$三点,再依次连接即可.
(2) 如图,点$A'$即为所求 $4＜a＜6$

【分析】
（1）要作△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数，因此先求出A、B、C三点关于原点对称的点的坐标，再描点、顺次连接即可得到所求图形。
（2）先根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）求出点A'的坐标；再根据平移规律得到点A'向右平移a个单位后的坐标，结合△A₁B₁C₁的范围，确定平移后点的横坐标的取值范围，进而求出a的取值范围。
【解析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征：若点$(x,y)$关于原点对称，则对称点坐标为$(-x,-y)$。
已知$A(-2,-2)$，$B(-4,-1)$，$C(-4,-4)$，可得对应对称点坐标：
$A_1(2,2)$，$B_1(4,1)$，$C_1(4,4)$。
在平面直角坐标系中依次描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，再顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：若点$(x,y)$关于x轴对称，则对称点坐标为$(x,-y)$。
点$A(-2,-2)$关于x轴的对称点$A'$的坐标为$(-2,2)$。
将点$A'$向右平移$a$个单位长度，根据平移“右加左减”的规律，平移后点的坐标为$(-2+a,2)$。
观察$△ A_1B_1C_1$的范围：当纵坐标为2时，三角形内部（不含顶点和边界）的横坐标满足$2 ＜ x ＜ 4$，因此列不等式：
$2 ＜ -2+a ＜ 4$
不等式各部分同时加2，解得$4 ＜ a ＜ 6$。
【答案】
(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求
(2) $4＜a＜6$

【知识点】
关于原点对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标，坐标与图形平移
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的对称与平移变换，侧重对坐标变化规律的应用，解题时结合图形直观分析可以快速确定参数的取值范围，是坐标系变换类的典型基础题。
【难度系数】
0.7

18 如图,在平面直角坐标系中,点$A(1,m+1)$,$B(a,m+1)$,$C(3,m+3)$,$D(1,m+a)$,$m＞0$,$1＜a＜3$,$P(n-m,n)$是四边形$ABCD$内的一点,且$△ PAD$与$△ PBC$的面积相等,求$n-m$的值.

18. 设$n-m=t$. $\because A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3$,$\therefore AB=a-1$,$AB // x$轴. $\because A(1,m+1),D(1,m+a)$,$\therefore AD=(m+a)-(m+1)=a-1$,$AD // y$轴. 如图,分别过点 P,C 作$PE ⊥ AB$,$CF ⊥ AB$,分别交 AB,AB 的延长线于点 E,F. $\because P(n-m,n),C(3,m+3)$,$\therefore$ 点 P 到 AD 的距离为$n-m-1=t-1$,$PE=n-(m+1)=t-1$,$CF=(m+3)-(m+1)=2$,$BE=a-(n-m)=a-t$,$BF=3-a$,$EF=3-(n-m)=3-t$,$\therefore S_{△ PAD}=\frac{1}{2}(a-1)(t-1)$,$S_{△ PBC}=S_{\mathrm{梯形}PEFC}-S_{△ PBE}-S_{△ BFC}=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a) × 2$. $\because S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$,$\therefore \frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a) × 2$. 化简,得$at-2a-t+2=0$. 将左边分解因式,得$(a-1)(t-2)=0$. $\because 1＜a＜3$,$\therefore a-1 ≠ 0$,$\therefore t-2=0$,即$t=2$,$\therefore n-m=2$

【分析】
首先观察各点坐标特征，可先判断出AB平行于x轴、AD平行于y轴，且AB=AD=a-1。要求n-m的值，可设t=n-m简化运算变量。接下来分别计算两个三角形的面积：△PAD的面积可直接用底乘高求解；△PBC属于不规则三角形，采用割补法，通过作AB的垂线，将其面积转化为梯形面积减去两个小直角三角形的面积。再根据两个三角形面积相等列方程，化简后因式分解，结合a的取值范围即可求出t的值，也就是n-m的值。
【解析】
设$n-m=t$.
$\because A(1,m+1),B(a,m+1),1＜a＜3$，
$\therefore AB=a-1$，$AB // x$轴.
$\because A(1,m+1),D(1,m+a)$，
$\therefore AD=(m+a)-(m+1)=a-1$，$AD // y$轴.
如图，分别过点$P,C$作$PE ⊥ AB$，$CF ⊥ AB$，分别交$AB$、$AB$的延长线于点$E,F$.
$\because P(n-m,n),C(3,m+3)$，
$\therefore$ 点$P$到$AD$的距离为$n-m-1=t-1$，
$PE=n-(m+1)=t-1$，
$CF=(m+3)-(m+1)=2$，
$BE=a-(n-m)=a-t$，
$BF=3-a$，
$EF=3-(n-m)=3-t$，
$\therefore S_{△ PAD}=\frac{1}{2}(a-1)(t-1)$，
$S_{△ PBC}=S_{\mathrm{梯形}PEFC}-S_{△ PBE}-S_{△ BFC}=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a) × 2$.
$\because S_{△ PAD}=S_{△ PBC}$，
$\therefore \frac{1}{2}(a-1)(t-1)=\frac{1}{2}(t-1+2)(3-t)-\frac{1}{2}(a-t)(t-1)-\frac{1}{2}(3-a) × 2$.
化简，得$at-2a-t+2=0$.
将左边分解因式，得$(a-1)(t-2)=0$.
$\because 1＜a＜3$，$\therefore a-1 ≠ 0$，
$\therefore t-2=0$，即$t=2$，
$\therefore n-m=2$.

【答案】
$n-m=2$

【知识点】
坐标与图形性质，割补法求面积，因式分解应用
【点评】
本题将平面直角坐标系与几何面积计算相结合，解题时需先通过坐标特征判断线段的位置和长度，合理设元简化运算，对于不规则三角形的面积要熟练运用割补法转化为规则图形的面积差求解，最后结合参数的取值范围排除无效解，考查了综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6