5 如图，$△ ABC$和$△ ADE$都是等腰三角形，$BC$，$DE$分别是这两个等腰三角形的底边，且$∠ BAC=∠ DAE$。
（1）求证：$BD=CE$；
（2）连接$DC$，若$CD=CE$，求证：$AD$平分$∠ BAC$。

(1) 证明: 因为△ABC和△ADE都是等腰三角形,BC,DE分别是这两个等腰三角形的底边,
所以AB=AC,AD=AE.
因为∠BAC=∠DAE,
所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS),所以BD=CE.
(2) 证明: 因为CD=CE,BD=CE,所以BD=CD.
在△ABD和△ACD中,$\begin{cases}AD=AD,\\AB=AC,\\BD=CD,\end{cases}$
所以△ABD≌△ACD(SSS),
所以∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.

【分析】
（1）要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据等腰三角形的性质，由△ABC和△ADE为等腰三角形且BC、DE为底边，可得AB=AC，AD=AE；再结合已知∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠CAD，即可得到△ABD和△ACE的一组对应角相等，满足SAS全等判定条件，证得全等后对应边相等即可得证。
（2）要证明AD平分∠BAC，即证明∠BAD=∠CAD。结合（1）的结论BD=CE和已知CD=CE，可推出BD=CD，此时△ABD和△ACD三组对应边均相等，通过SSS判定全等后，对应角相等即可证明AD是角平分线。
【解析】
(1) 证明: 因为△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边，
所以AB=AC，AD=AE。
因为∠BAC=∠DAE，
所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE。
(2) 证明: 因为CD=CE，BD=CE，所以BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AD=AD,\\AB=AC,\\BD=CD,\end{cases}$
所以△ABD≌△ACD(SSS)，
所以∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC。
【答案】
(1) 证明成立，BD=CE；
(2) 证明成立，AD平分∠BAC。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，将等腰三角形性质和全等三角形的判定、性质结合考查，解题时可从待证结论逆向推导所需条件，再结合已知正向梳理边角等量关系，对锻炼几何逻辑推理能力有较大帮助。
【难度系数】
0.7

6 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE。求证：AB=CD。

证明:因为AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
所以∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,
所以∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,
所以∠ACB=∠CED.
在△ABC和△CDE中,$\begin{cases}∠ACB=∠CED,\\BC=DE,\\∠ABC=∠CDE,\end{cases}$
所以△ABC≌△CDE(ASA),所以AB=CD.

【分析】
要证明AB=CD，可通过证明两条线段所在的△ABC和△CDE全等来实现。首先根据题干给出的多组垂直条件可得多个直角，再利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得到一组相等的锐角，结合已知的BC=DE和两组直角相等的条件，即可通过ASA判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明:因为AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
所以∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°,
所以∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,
所以∠ACB=∠CED.
在△ABC和△CDE中,$\begin{cases}∠ACB=∠CED,\\BC=DE,\\∠ABC=∠CDE,\end{cases}$
所以△ABC≌△CDE(ASA),所以AB=CD.
【答案】
AB=CD，证明过程如上。
【知识点】
垂直的定义、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是“一线三等角”全等模型的基础应用题，解题核心是通过垂直和余角性质找到全等所需的等角条件，结合已知等边判定三角形全等，进而得到对应线段相等，是全等三角形证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

7 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE,BE,延长AE交BC的延长线于点F.
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB=BC+AD,求证：BE⊥AF.

(1) 证明: 因为AD//BC,所以∠ADE=∠FCE.
因为E是CD的中点,所以DE=EC.
在△DAE和△CFE中,$\begin{cases}∠ADE=∠FCE,\\DE=CE,\\∠AED=∠FEC,\end{cases}$
所以△DAE≌△CFE(ASA).
(2) 证明: 由(1)知△DAE≌△CFE,
所以AE=FE,AD=FC.
因为AB=BC+AD,
所以AB=BC+FC,即AB=BF.
在△ABE和△FBE中,$\begin{cases}AB=FB,\\AE=FE,\\BE=BE,\end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(SSS),且∠AEB+∠FEB=180°,
所以∠AEB=∠FEB=90°,即BE⊥AF.

【分析】
（1）要证明△DAE≌△CFE，首先由AD//BC的性质可得内错角∠ADE=∠FCE；再结合E为CD中点，可得对应边DE=CE；另外图中存在对顶角∠AED=∠FEC，三组条件满足ASA全等判定要求，即可完成证明。
（2）由（1）的全等结论可推出AD=CF、AE=FE，将已知条件AB=BC+AD中的AD替换为CF，可得到AB=BF；再通过SSS证明△ABE和△FBE全等，可得∠AEB=∠FEB，结合∠AEB+∠FEB=180°，可推出两个角均为90°，即可证明BE⊥AF。
【解析】
(1) 证明: 因为AD//BC，所以∠ADE=∠FCE。
因为E是CD的中点，所以DE=EC。
在△DAE和△CFE中，
$\begin{cases}∠ADE=∠FCE,\\DE=CE,\\∠AED=∠FEC,\end{cases}$
所以△DAE≌△CFE(ASA)。
(2) 证明: 由(1)知△DAE≌△CFE，
所以AE=FE，AD=FC。
因为AB=BC+AD，
所以AB=BC+FC，即AB=BF。
在△ABE和△FBE中，
$\begin{cases}AB=FB,\\AE=FE,\\BE=BE,\end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(SSS)，且∠AEB+∠FEB=180°，
所以∠AEB=∠FEB=90°，即BE⊥AF。
【答案】
(1) 证明成立，过程见上述解析；
(2) 证明成立，过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，涉及“中点+平行”的常见全等构造模型，解题时要注意前后设问的关联性，第一问的结论是第二问推导的重要基础，通过等量代换得到边的相等关系是第二问的解题突破口，整体侧重对全等基础定理的运用考查。
【难度系数】
0.8

8 如图1，在$△ ABC$中，$∠ A=∠ ABC$，延长$AC$到点$E$，过点$E$作$EF⊥ AB$交$AB$的延长线于点$F$，延长$CB$到点$G$，过点$G$作$GH⊥ AB$交$AB$的延长线于点$H$，且$EF=GH$。
（1）求证：$△ AEF≌△ BGH$；
（2）如图2，连接$EG$与$FH$相交于点$D$，若$AB=4$，求$DH$的长。

(1) 证明:因为∠A=∠ABC,∠ABC=∠GBH,
所以∠A=∠GBH.
因为EF⊥AB,GH⊥AB,所以∠AFE=∠BHG.
在△AEF和△BGH中,$\begin{cases}∠A=∠GBH,\\∠AFE=∠BHG,\\EF=GH,\end{cases}$
所以△AEF≌△BGH(AAS).
(2) 解:因为△AEF≌△BGH,
所以AF=BH,所以AB=FH=4.
因为EF⊥AB,GH⊥AB,所以∠EFD=∠GHD.
在△EFD和△GHD中,$\begin{cases}∠EFD=∠GHD,\\∠EDF=∠GDH,\\EF=GH,\end{cases}$
所以△EFD≌△GHD(AAS),
所以$DH=DF=\frac{1}{2}FH=\frac{1}{2}AB=2$.

【分析】
（1）要证明$△ AEF≌△ BGH$，先梳理已知条件：题中已给出$EF=GH$，且$EF$、$GH$均垂直于$AB$，可得两个直角相等；再结合$∠ A=∠ ABC$，利用对顶角相等推出$∠ A=∠ GBH$，即可凑齐AAS全等判定的三个条件。
（2）首先利用第一问全等的性质得到$AF=BH$，通过线段和差运算可推导出$FH=AB=4$；再证明$△ EFD$和$△ GHD$全等，得到$D$是$FH$的中点，即可求出$DH$的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ A=∠ ABC$，$∠ ABC=∠ GBH$（对顶角相等），
$\therefore ∠ A=∠ GBH$。
$\because EF⊥ AB$，$GH⊥ AB$，
$\therefore ∠ AFE=∠ BHG=90°$。
在$△ AEF$和$△ BGH$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ GBH,\\∠ AFE=∠ BHG,\\EF=GH,\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BGH(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：$\because △ AEF≌△ BGH$，
$\therefore AF=BH$，
$\therefore AF-BF=BH-BF$，即$AB=FH=4$。
$\because EF⊥ AB$，$GH⊥ AB$，
$\therefore ∠ EFD=∠ GHD=90°$。
在$△ EFD$和$△ GHD$中，
$\begin{cases}∠ EFD=∠ GHD,\\∠ EDF=∠ GDH（对顶角相等）,\\EF=GH,\end{cases}$
$\therefore △ EFD≌△ GHD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DH=DF=\frac{1}{2}FH=\frac{1}{2}AB=2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 全等三角形判定（AAS）
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，第一问直接考查AAS全等判定的应用，第二问需要结合前一问的全等结论推导线段等量关系，解题时要注意挖掘图形中垂直、对顶角、公共线段等隐含条件，理清线段之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7