1 如图,已知$AB=AE$,$∠ BAF=∠ EAF$,$AF⊥ CD$,且$F$为$CD$的中点.求证:$BC=ED$.

证明:连接AC,AD.
因为F为CD的中点,所以CF=DF.
因为AF⊥CD,所以∠AFC=∠AFD=90°.
在△ACF和△ADF中,$\begin{cases} AF=AF, \\ ∠AFC=∠AFD, \\ CF=DF, \end{cases}$
所以△ACF≌△ADF(SAS),
所以AC=AD,∠CAF=∠DAF.
因为∠BAF=∠BAC+∠CAF,∠EAF=∠EAD+∠DAF,且∠BAF=∠EAF,所以∠BAC=∠EAD.
在△BAC和△EAD中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
所以△BAC≌△EAD(SAS),所以BC=ED.

【分析】
要证明BC=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形，BC在△BAC中，ED在△EAD中，已知AB=AE，还需证明AC=AD、∠BAC=∠EAD，即可用SAS判定两三角形全等。题中给出AF⊥CD且F是CD中点，因此可先连接AC、AD，先证明△ACF≌△ADF，得到AC=AD以及对应角相等，再结合已知∠BAF=∠EAF推导得出∠BAC=∠EAD，最终完成证明。
【解析】
证明：连接AC,AD。
因为F为CD的中点，所以CF=DF。
因为AF⊥CD，所以∠AFC=∠AFD=90°。
在△ACF和△ADF中，
$\begin{cases} AF=AF, \\ ∠AFC=∠AFD, \\ CF=DF, \end{cases}$
所以△ACF≌△ADF(SAS)，
所以AC=AD，∠CAF=∠DAF。
因为∠BAF=∠BAC+∠CAF，∠EAF=∠EAD+∠DAF，且∠BAF=∠EAF，所以∠BAC=∠EAD。
在△BAC和△EAD中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
所以△BAC≌△EAD(SAS)，所以BC=ED。
【答案】
BC=ED
【知识点】
全等三角形的判定（SAS），全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段相等的典型题型，解题关键是合理添加辅助线AC、AD，先利用垂直、中点条件证明第一组三角形全等，为第二组三角形全等创造条件，能有效考查对全等三角形相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

2 如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE=AB$，$∠ BAC=∠ BCA$. 求证：$AE=2AD$.

证明:延长AD至点M,使DM=AD,连接MC.
因为AD是△ABC的中线,所以DB=DC.
在△ABD和△MCD中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ AD=MD, \end{cases}$
所以△ABD≌△MCD(SAS),
所以AB=MC,∠B=∠MCD.
因为AB=CE,所以CM=CE.
因为∠BAC=∠BCA,
所以∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA,
即∠ACE=∠ACM.
在△ACE和△ACM中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACE=∠ACM, \\ CE=CM, \end{cases}$
所以△ACE≌△ACM(SAS),所以AE=AM.
因为AM=2AD,所以AE=2AD.

【分析】
要证明AE=2AD，属于线段倍分关系的证明，已知AD是△ABC的中线，可优先采用倍长中线法构造全等三角形，整合分散的边、角条件。具体思路：①延长AD到M，使DM=AD，连接MC，利用中线性质、对顶角相等证明△ABD≌△MCD，得到AB=MC以及角的等量关系；②结合已知CE=AB推出CM=CE，再利用角的和差关系证明∠ACE=∠ACM；③证明△ACE≌△ACM，得到AE=AM，再结合AM=2AD即可完成证明。
【解析】
证明：延长AD至点M，使DM=AD，连接MC。
因为AD是△ABC的中线，所以DB=DC。
在△ABD和△MCD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ AD=MD, \end{cases}$
所以△ABD≌△MCD（SAS），
所以AB=MC，∠B=∠MCD。
因为AB=CE，所以CM=CE。
因为∠BAC=∠BCA，
所以∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA，
即∠ACE=∠ACM。
在△ACE和△ACM中，
$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACE=∠ACM, \\ CE=CM, \end{cases}$
所以△ACE≌△ACM（SAS），所以AE=AM。
因为AM=2AD，所以AE=2AD。
【答案】
AE=2AD
【知识点】
1. 倍长中线构造全等
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段倍分问题的典型题，解题关键是根据中线条件选择倍长中线的辅助线做法，将零散的已知条件集中到全等三角形中，再通过两次全等证明得到线段的等量关系，熟练掌握辅助线构造方法能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.6

3 如图,在$△ AOB$中,$OA=OB$,$∠ AOB=90°$,$BD$平分$∠ ABO$交$OA$于点$D$,$AE⊥ BD$于点$E$.求证:$BD=2AE$.

证明:延长BO,与AE的延长线交于点F.
因为BD平分∠ABO,AE⊥BD,
所以∠1=∠2,∠AEB=∠FEB=90°.
在△ABE和△FBE中,$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(ASA),所以AE=FE.
因为∠AOB=90°,∠AED=90°,∠ADE=∠BDO,
所以∠2=∠OAF.
因为∠AOB=90°,所以∠DOB=∠FOA=90°.
在△OBD和△OAF中,$\begin{cases} ∠2=∠OAF, \\ BO=AO, \\ ∠BOD=∠AOF, \end{cases}$
所以△OBD≌△OAF(ASA),所以BD=AF.
因为AE=EF,所以BD=2AE.

【分析】
要证明BD=2AE，属于线段倍分关系的证明。首先结合已知条件，BD是∠ABO的角平分线且AE⊥BD，我们可以先延长AE交BO的延长线于点F，利用角平分线和垂直的条件证明△ABE≌△FBE，得到AE=FE，即AF=2AE，接下来只需证明BD与AF相等即可，通过证明△OBD和△OAF全等得到BD=AF，即可推出BD=2AE。
【解析】
证明：延长BO，与AE的延长线交于点F。
因为BD平分∠ABO，AE⊥BD，
所以∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°。
在△ABE和△FBE中，
$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(ASA)，所以AE=FE。
因为∠AOB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO，
所以∠2=∠OAF。
因为∠AOB=90°，所以∠DOB=∠FOA=90°。
在△OBD和△OAF中，
$\begin{cases} ∠2=∠OAF, \\ BO=AO, \\ ∠BOD=∠AOF, \end{cases}$
所以△OBD≌△OAF(ASA)，所以BD=AF。
因为AE=EF，即AF=2AE，所以BD=2AE。
【答案】
BD=2AE，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段倍分关系的典型题，解题的关键是掌握“遇角平分线加垂线，延长垂线构造等腰三角形”的辅助线做法，通过两次全等转化线段关系即可得出结论，这类辅助线技巧在几何证明中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6