4 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB的延长线于点E，且BD=CD.
（1）求证：$∠ ABD + ∠ C = 180°$；
（2）若$AB=8$，$AC=10$，求$AE$的长.

(1) 证明:过点D作DF⊥AC于点F,
则∠AFD=∠CFD=90°.
因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,所以∠EAD=∠FAD.
在△ADE和△ADF中,$\begin{cases} ∠E=∠AFD, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
所以△ADE≌△ADF(AAS),
所以DE=DF,∠E=90°.
在Rt△DBE和Rt△DCF中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),所以∠DBE=∠C.
因为∠ABD+∠DBE=180°,所以∠ABD+∠C=180°.
(2) 解:由(1)知Rt△ADE≌Rt△ADF,BE=CF,
所以AE=AF,所以AB+BE=AC-CF.
因为AB=8,AC=10,
所以8+BE=10-BE,解得BE=1,
所以AE=AB+BE=8+1=9,
故线段AE的长为9.

【分析】
（1）要证明∠ABD + ∠C = 180°，已知∠ABD与它的邻补角∠DBE的和为180°，因此只需证∠C=∠DBE即可。结合AD是∠BAC的角平分线、DE⊥AB的条件，根据角平分线的性质，过D作DF⊥AC于F，可得到DE=DF，再结合BD=CD的条件，证明Rt△DBE和Rt△DCF全等，即可得到∠DBE=∠C，完成证明。
（2）求AE的长度时，利用（1）中的全等结论可得AE=AF、BE=CF，将AF转化为AC-CF，AE转化为AB+BE，代入已知的AB、AC长度列方程，即可求出BE的长度，进而得到AE的长。
【解析】
（1）证明：过点D作DF⊥AC于点F，
则∠AFD=∠CFD=90°。
因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，所以∠EAD=∠FAD，∠E=90°。
在△ADE和△ADF中，
$\begin{cases} ∠E=∠AFD, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
所以△ADE≌△ADF（AAS），
所以DE=DF。
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
所以Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
所以∠DBE=∠C。
因为∠ABD+∠DBE=180°，
所以∠ABD+∠C=180°。
（2）解：由（1）可知△ADE≌△ADF，Rt△DBE≌Rt△DCF，
所以AE=AF，BE=CF，
因此AF=AC - CF = AC - BE，
又因为AE=AB + BE，
所以AB + BE = AC - BE。
将AB=8，AC=10代入得：
$8 + BE = 10 - BE$，
解得$BE=1$，
所以$AE=AB + BE = 8 + 1 = 9$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{9}$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定（HL）
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质作垂线构造全等三角形，通过全等实现角、线段的等量转化，解决角度和与线段长度求解的问题，能帮助学生掌握构造全等的常用辅助线技巧。
【难度系数】
0.7

5 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，直线$MN\bot AD$于点A，E为MN上的一点，$△ ABC$的周长记为R，$△ EBC$的周长记为S. 求证:$S＞R$.

证明:延长BA到点F,使得AF=AC,连接EF.
因为AD平分∠BAC,MN⊥AD,
所以∠FAE=∠MAB=90°-∠BAD=90°-∠CAD=∠CAE.
在△ACE和△AFE中,$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠CAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ACE≌△AFE(SAS),所以CE=FE.
在△BEF中,BE+EF＞BF,
所以BE+CE＞AB+AF,
所以BE+CE＞AB+AC,
所以BC+BE+CE＞BC+AB+AC,即S＞R.

【分析】
要证明S＞R，首先观察两个周长的构成：△ABC周长R=AB+AC+BC，△EBC周长S=BE+CE+BC，二者有公共边BC，因此只需证明BE+CE＞AB+AC即可。结合AD是角平分线、MN⊥AD的条件，可通过构造全等三角形转移线段：延长BA至F使AF=AC，连接EF，证明△ACE与△AFE全等，将CE转化为FE，AC转化为AF，再利用三角形三边关系推导线段不等式，最终得到周长的大小关系。
【解析】
1. 作辅助线：延长BA到点F，使得AF=AC，连接EF。
2. 推导角相等：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD；又MN⊥AD，所以∠MAD=90°，因此∠FAE=∠MAB=90°-∠BAD，∠CAE=90°-∠CAD，等量代换得∠FAE=∠CAE。
3. 证明全等：在△ACE和△AFE中，AC=AF，∠CAE=∠FAE，AE=AE，根据SAS判定定理可得△ACE≌△AFE，因此CE=FE。
4. 利用三边关系推导：在△BEF中，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得BE+EF＞BF。而BF=AB+AF=AB+AC，结合CE=FE，可推出BE+CE＞AB+AC。
5. 推导周长关系：不等式两边同时加公共边BC，得BC+BE+CE＞BC+AB+AC，即S＞R。
【答案】
证明:延长BA到点F,使得AF=AC,连接EF.
因为AD平分∠BAC,MN⊥AD,
所以∠FAE=∠MAB=90°-∠BAD=90°-∠CAD=∠CAE.
在△ACE和△AFE中,$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠CAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ACE≌△AFE(SAS),所以CE=FE.
在△BEF中,BE+EF＞BF,
所以BE+CE＞AB+AF,
所以BE+CE＞AB+AC,
所以BC+BE+CE＞BC+AB+AC,即S＞R.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；角平分线的定义
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段和大小比较的典型题，通过构造轴对称型全等将分散的待比较线段转移到同一个三角形中，结合三角形三边关系完成周长的大小比较，解题的关键是根据已知的角平分线、垂直条件正确添加辅助线。
【难度系数】
0.6

6 如图，已知$AC// BD$，$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，点$E$在线段$CD$上.
（1）求$∠ AEB$的度数；
（2）求证：$CE=DE$.

(1) 解:因为AC//BD,所以∠CAB+∠ABD=180°.
因为AE平分∠CAB,所以∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB,
同理可得∠EBA=$\frac{1}{2}$∠ABD,
所以∠EAB+∠EBA=90°,所以∠AEB=90°.
(2) 证明:在AB上截取AF=AC,连接EF.
在△ACE和△AFE中,$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠CAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以△ACE≌△AFE(SAS),
所以∠C=∠AFE,CE=FE.
因为∠AFE+∠EFB=180°,∠C+∠D=180°,
所以∠EFB=∠D.
在△BEF和△BED中,$\begin{cases} ∠EFB=∠D, \\ ∠EBF=∠EBD, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以△BEF≌△BED(AAS),所以EF=ED,
因为CE=EF,所以CE=DE.

【分析】
（1）求解∠AEB的度数时，先由AC//BD的性质得到一组同旁内角互补，再结合角平分线的定义，可算出∠EAB与∠EBA的和，最后利用三角形内角和定理即可得出结果；
（2）证明CE=DE时，两条线段没有直接对应的全等三角形，因此采用截长法构造全等：在AB上截取AF=AC，先证△ACE和△AFE全等，将CE转化为FE，再证△BEF和△BED全等，将DE也转化为FE，通过等量代换即可得证。
【解析】
(1) 解：因为$AC// BD$，所以$∠ CAB+∠ ABD=180°$。
因为$AE$平分$∠ CAB$，所以$∠ EAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，
同理可得$∠ EBA=\frac{1}{2}∠ ABD$，
所以$∠ EAB+∠ EBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ ABD)=90°$，
所以$∠ AEB=180°-(∠ EAB+∠ EBA)=90°$。
(2) 证明：在$AB$上截取$AF=AC$，连接$EF$。
在$△ ACE$和$△ AFE$中，$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠ CAE=∠ FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ ACE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ C=∠ AFE$，$CE=FE$。
因为$∠ AFE+∠ EFB=180°$，$AC// BD$可得$∠ C+∠ D=180°$，
所以$∠ EFB=∠ D$。
在$△ BEF$和$△ BED$中，$\begin{cases} ∠ EFB=∠ D, \\ ∠ EBF=∠ EBD, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以$△ BEF≌△ BED(\mathrm{AAS})$，所以$EF=ED$，
因为$CE=EF$，所以$CE=DE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) 证明成立，过程见解析。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问难度较低，直接结合平行线、角平分线和三角形内角和的性质即可求解；第二问考查了截长补短构造全等三角形的常用技巧，该方法是解决线段等量证明、线段和差计算类问题的核心方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6