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1 九年级体育素质测试，某小组5名同学的成绩数据如下表(有两个数据被遮盖)：
被遮盖的两个数据依次是 （
A.35，2
B.36，4
C.35，3
D.36，3
被遮盖的两个数据依次是 （
B
）A.35，2
B.36，4
C.35，3
D.36，3
答案
1. B
解析
【分析】
解题时分两步进行：第一步先利用平均数的定义求出被遮盖的成绩数据，已知5个数据的平均数，先算出5个数据的总和，再减去其余4个已知数据就能得到第三个数据；第二步根据方差的计算公式，代入所有数据求出方差，即可确定两个被遮盖的数据，对应选出正确选项。
【解析】
首先计算被遮盖的第三个数据：
已知5个数据的平均数是37，因此5个数据的总和为 $37×5=185$
已知其余4个数据为38、34、37、40，因此第三个数据为：
$185 - 38 - 34 - 37 - 40 = 36$
接下来计算方差：
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(38-37)^2+(34-37)^2+(36-37)^2+(37-37)^2+(40-37)^2]$
$=\frac{1}{5}(1 + 9 + 1 + 0 + 9)$
$=\frac{1}{5}×20=4$
因此被遮盖的两个数据依次是36、4。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题侧重考查统计中平均数和方差的基础公式应用，牢记公式并细心计算即可得分，是统计类的基础常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时分两步进行：第一步先利用平均数的定义求出被遮盖的成绩数据，已知5个数据的平均数，先算出5个数据的总和，再减去其余4个已知数据就能得到第三个数据；第二步根据方差的计算公式，代入所有数据求出方差，即可确定两个被遮盖的数据，对应选出正确选项。
【解析】
首先计算被遮盖的第三个数据：
已知5个数据的平均数是37，因此5个数据的总和为 $37×5=185$
已知其余4个数据为38、34、37、40，因此第三个数据为：
$185 - 38 - 34 - 37 - 40 = 36$
接下来计算方差：
根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(38-37)^2+(34-37)^2+(36-37)^2+(37-37)^2+(40-37)^2]$
$=\frac{1}{5}(1 + 9 + 1 + 0 + 9)$
$=\frac{1}{5}×20=4$
因此被遮盖的两个数据依次是36、4。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题侧重考查统计中平均数和方差的基础公式应用，牢记公式并细心计算即可得分，是统计类的基础常见题型。
【难度系数】
0.8
2 新情境生活实际 某学校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中2人每人采集到6件，4人每人采集到3件，5人每人采集到4件，则该兴趣小组采集标本件数的方差为
1.09
（结果精确到0.01）。答案
2. 1.09
解析
【分析】
要计算该兴趣小组采集标本件数的方差，首先需要先算出采集标本件数的加权平均数，再根据方差的定义公式代入数据计算即可。解题时注意不同采集数量对应的人数不同，计算平均数和方差都要采用加权计算的方式，避免直接对采集数量求平均出现错误。
【解析】
第一步：计算11人采集标本件数的加权平均数$\bar{x}$
总采集件数为：$2×6 + 4×3 + 5×4 = 12 + 12 + 20 = 44$（件）
加权平均数$\bar{x}=\frac{44}{11}=4$（件）
第二步：根据方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[w_1(x_1-\bar{x})^2 + w_2(x_2-\bar{x})^2 + \dots + w_k(x_k-\bar{x})^2]$，其中$w_i$为对应数据的权重（即人数），$n$为总人数。
代入数据得：
$s^2=\frac{1}{11}[2×(6-4)^2 + 4×(3-4)^2 + 5×(4-4)^2]$
$=\frac{1}{11}[2×4 + 4×1 + 5×0]$
$=\frac{1}{11}×(8+4+0)$
$=\frac{12}{11}\approx1.09$
【答案】
1.09
【知识点】
加权平均数计算；方差计算
【点评】
本题结合生活实际情境考查统计量的计算，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握加权平均数和方差的计算公式，计算时注意权重的应用，保证数值计算的准确性。
【难度系数】
0.75
要计算该兴趣小组采集标本件数的方差，首先需要先算出采集标本件数的加权平均数，再根据方差的定义公式代入数据计算即可。解题时注意不同采集数量对应的人数不同，计算平均数和方差都要采用加权计算的方式，避免直接对采集数量求平均出现错误。
【解析】
第一步：计算11人采集标本件数的加权平均数$\bar{x}$
总采集件数为：$2×6 + 4×3 + 5×4 = 12 + 12 + 20 = 44$（件）
加权平均数$\bar{x}=\frac{44}{11}=4$（件）
第二步：根据方差公式计算方差$s^2$
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[w_1(x_1-\bar{x})^2 + w_2(x_2-\bar{x})^2 + \dots + w_k(x_k-\bar{x})^2]$，其中$w_i$为对应数据的权重（即人数），$n$为总人数。
代入数据得：
$s^2=\frac{1}{11}[2×(6-4)^2 + 4×(3-4)^2 + 5×(4-4)^2]$
$=\frac{1}{11}[2×4 + 4×1 + 5×0]$
$=\frac{1}{11}×(8+4+0)$
$=\frac{12}{11}\approx1.09$
【答案】
1.09
【知识点】
加权平均数计算；方差计算
【点评】
本题结合生活实际情境考查统计量的计算，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握加权平均数和方差的计算公式，计算时注意权重的应用，保证数值计算的准确性。
【难度系数】
0.75
3 [2025青岛]为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为100 g. 甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量(单位：g)如下：
甲:103,99,100,101,97;乙:99,103,105,95,98.
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲:103,99,100,101,97;乙:99,103,105,95,98.
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲
(填“甲”或“乙”).答案
3. 甲
解析
【分析】
要判断哪名同学包的粽子质量更稳定，本质是比较两组数据的波动大小，数据的波动程度可通过方差衡量：方差越小，数据波动越小，稳定性越强。解题时先分别计算甲、乙两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差大小即可得到结论。
【解析】
首先计算两组数据的平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{103+99+100+101+97}{5}=\frac{500}{5}=100$；
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{99+103+105+95+98}{5}=\frac{500}{5}=100$。
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]=\frac{1}{5}×(9+1+0+1+9)=\frac{20}{5}=4$；
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]=\frac{1}{5}×(1+9+25+25+4)=\frac{64}{5}=12.8$。
因为$4＜12.8$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲包的粽子质量波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查数据稳定性的判断方法，需要熟练掌握平均数、方差的计算规则，理解方差反映数据波动程度的性质，计算时注意细心即可得分。
【难度系数】
0.8
要判断哪名同学包的粽子质量更稳定，本质是比较两组数据的波动大小，数据的波动程度可通过方差衡量：方差越小，数据波动越小，稳定性越强。解题时先分别计算甲、乙两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差大小即可得到结论。
【解析】
首先计算两组数据的平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{103+99+100+101+97}{5}=\frac{500}{5}=100$；
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{99+103+105+95+98}{5}=\frac{500}{5}=100$。
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]=\frac{1}{5}×(9+1+0+1+9)=\frac{20}{5}=4$；
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]=\frac{1}{5}×(1+9+25+25+4)=\frac{64}{5}=12.8$。
因为$4＜12.8$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，说明甲包的粽子质量波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查数据稳定性的判断方法，需要熟练掌握平均数、方差的计算规则，理解方差反映数据波动程度的性质，计算时注意细心即可得分。
【难度系数】
0.8
4 利用计算器计算下面各组数据的方差：
(1) 100,200,300,400,500；
(2) 15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.
(1) 100,200,300,400,500；
(2) 15.3%,12.7%,15.3%,14.5%,17.1%.
答案
4. (1) 20 000 (2) 2.025 6×10^-4
解析
【分析】
解题时可通过两种方法计算方差：一是根据方差定义手动计算，先求出这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数即为方差；二是使用计算器的统计功能计算，操作时先进入统计模式，清除原有数据后依次输入所有数据，调用方差计算功能即可直接得到结果。计算第二组含百分数的数据时，可先将百分数转化为小数，降低计算出错概率。
【解析】
(1) 方法1（手动计算）：
先求平均数：$\bar{x}=\frac{100+200+300+400+500}{5}=300$
再计算方差：
$s^2=\frac{1}{5}×[(100-300)^2+(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2+(500-300)^2]$
$=\frac{1}{5}×(40000+10000+0+10000+40000)$
$=\frac{1}{5}×100000=20000$
方法2（计算器计算）：进入计算器统计模式，依次输入100、200、300、400、500，调用方差功能直接得到结果为20000。
(2) 方法1（手动计算）：
先将百分数转化为小数：0.153、0.127、0.153、0.145、0.171
求平均数：$\bar{x}=\frac{0.153+0.127+0.153+0.145+0.171}{5}=0.1498$
再计算方差：
$s^2=\frac{1}{5}×[(0.153-0.1498)^2+(0.127-0.1498)^2+(0.153-0.1498)^2+(0.145-0.1498)^2+(0.171-0.1498)^2]$
$=2.0256×10^{-4}$
方法2（计算器计算）：进入计算器统计模式，依次输入转化后的小数或直接带百分号输入数据，调用方差功能直接得到结果为$2.0256×10^{-4}$。
【答案】
(1) $\boxed{20000}$；(2) $\boxed{2.0256×10^{-4}}$
【知识点】
方差的计算，计算器统计功能使用
【点评】
本题属于基础计算类题目，重点考查方差的计算规则以及计算器统计功能的操作能力，计算时要注意数据输入的准确性，遇到特殊形式的数据（如百分数）可先统一形式再计算，减少计算误差。
【难度系数】
0.8
解题时可通过两种方法计算方差：一是根据方差定义手动计算，先求出这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数即为方差；二是使用计算器的统计功能计算，操作时先进入统计模式，清除原有数据后依次输入所有数据，调用方差计算功能即可直接得到结果。计算第二组含百分数的数据时，可先将百分数转化为小数，降低计算出错概率。
【解析】
(1) 方法1（手动计算）：
先求平均数：$\bar{x}=\frac{100+200+300+400+500}{5}=300$
再计算方差：
$s^2=\frac{1}{5}×[(100-300)^2+(200-300)^2+(300-300)^2+(400-300)^2+(500-300)^2]$
$=\frac{1}{5}×(40000+10000+0+10000+40000)$
$=\frac{1}{5}×100000=20000$
方法2（计算器计算）：进入计算器统计模式，依次输入100、200、300、400、500，调用方差功能直接得到结果为20000。
(2) 方法1（手动计算）：
先将百分数转化为小数：0.153、0.127、0.153、0.145、0.171
求平均数：$\bar{x}=\frac{0.153+0.127+0.153+0.145+0.171}{5}=0.1498$
再计算方差：
$s^2=\frac{1}{5}×[(0.153-0.1498)^2+(0.127-0.1498)^2+(0.153-0.1498)^2+(0.145-0.1498)^2+(0.171-0.1498)^2]$
$=2.0256×10^{-4}$
方法2（计算器计算）：进入计算器统计模式，依次输入转化后的小数或直接带百分号输入数据，调用方差功能直接得到结果为$2.0256×10^{-4}$。
【答案】
(1) $\boxed{20000}$；(2) $\boxed{2.0256×10^{-4}}$
【知识点】
方差的计算，计算器统计功能使用
【点评】
本题属于基础计算类题目，重点考查方差的计算规则以及计算器统计功能的操作能力，计算时要注意数据输入的准确性，遇到特殊形式的数据（如百分数）可先统一形式再计算，减少计算误差。
【难度系数】
0.8
5 某学校九年级(1)班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩(单位:分)如下表：
（1）利用计算器分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数.
（2）利用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
（3）根据(1)(2)中的数据,你认为选谁参加全国数学竞赛较合适?请说明理由.
（1）利用计算器分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数.
（2）利用计算器分别计算慧慧和聪聪成绩的方差.
（3）根据(1)(2)中的数据,你认为选谁参加全国数学竞赛较合适?请说明理由.
答案
5. (1) 慧慧成绩的平均数为124分,聪聪成绩的平均数为122分
(2) 慧慧成绩的方差为13.2,聪聪成绩的方差为17.2 (3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适 理由:根据(1)可知慧慧的平均成绩大于聪聪的平均成绩,根据(2)可知慧慧成绩的方差小于聪聪成绩的方差.
∵ 方差越小越稳定,
∴ 慧慧的成绩比聪聪的好且稳定,
∴ 选慧慧参加全国数学竞赛较合适.
(2) 慧慧成绩的方差为13.2,聪聪成绩的方差为17.2 (3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适 理由:根据(1)可知慧慧的平均成绩大于聪聪的平均成绩,根据(2)可知慧慧成绩的方差小于聪聪成绩的方差.
∵ 方差越小越稳定,
∴ 慧慧的成绩比聪聪的好且稳定,
∴ 选慧慧参加全国数学竞赛较合适.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：1. 求平均数：回忆平均数计算公式，平均数=数据总和÷数据个数，分别统计两人10次成绩的总和，除以10即可得到各自的平均成绩。2. 求方差：回忆方差计算公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，先得到两人的平均成绩后，依次计算每个成绩与平均成绩差值的平方，求和后除以数据个数10就得到方差。3. 筛选参赛人员：平均数反映整体成绩水平，方差反映成绩的稳定性，方差越小成绩越稳定，对比两人的平均数和方差结果即可判断合适的参赛人选。
【解析】
（1）计算平均数：
慧慧的成绩总和：$116+124+130+126+121+127+126+122+125+123=1240$
慧慧的平均成绩：$\overline{x}_慧=\frac{1240}{10}=124$（分）
聪聪的成绩总和：$122+124+125+128+119+120+121+128+114+119=1220$
聪聪的平均成绩：$\overline{x}_聪=\frac{1220}{10}=122$（分）
（2）计算方差：
慧慧的方差：
$s^2_慧=\frac{1}{10}[(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2]$
$=\frac{1}{10}(64+0+36+4+9+9+4+4+1+1)=\frac{132}{10}=13.2$
聪聪的方差：
$s^2_聪=\frac{1}{10}[(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2]$
$=\frac{1}{10}(0+4+9+36+9+4+1+36+64+9)=\frac{172}{10}=17.2$
（3）判断参赛人选：
对比计算结果，慧慧的平均成绩124分高于聪聪的122分，说明慧慧整体成绩水平更高；慧慧的方差13.2小于聪聪的方差17.2，说明慧慧的成绩波动更小、更稳定。因此选慧慧参加竞赛更合适。
【答案】
(1) 慧慧成绩的平均数为124分，聪聪成绩的平均数为122分
(2) 慧慧成绩的方差为13.2，聪聪成绩的方差为17.2
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适。理由：慧慧的平均成绩高于聪聪，且慧慧成绩的方差小于聪聪的方差，方差越小越稳定，说明慧慧的成绩更好且更稳定，所以选慧慧参加全国数学竞赛较合适。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题主要考查平均数和方差的计算及实际应用，解题关键是熟练掌握平均数、方差的计算公式，理解方差越小数据波动越小、越稳定的性质，结合实际需求综合判断即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：1. 求平均数：回忆平均数计算公式，平均数=数据总和÷数据个数，分别统计两人10次成绩的总和，除以10即可得到各自的平均成绩。2. 求方差：回忆方差计算公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，先得到两人的平均成绩后，依次计算每个成绩与平均成绩差值的平方，求和后除以数据个数10就得到方差。3. 筛选参赛人员：平均数反映整体成绩水平，方差反映成绩的稳定性，方差越小成绩越稳定，对比两人的平均数和方差结果即可判断合适的参赛人选。
【解析】
（1）计算平均数：
慧慧的成绩总和：$116+124+130+126+121+127+126+122+125+123=1240$
慧慧的平均成绩：$\overline{x}_慧=\frac{1240}{10}=124$（分）
聪聪的成绩总和：$122+124+125+128+119+120+121+128+114+119=1220$
聪聪的平均成绩：$\overline{x}_聪=\frac{1220}{10}=122$（分）
（2）计算方差：
慧慧的方差：
$s^2_慧=\frac{1}{10}[(116-124)^2+(124-124)^2+(130-124)^2+(126-124)^2+(121-124)^2+(127-124)^2+(126-124)^2+(122-124)^2+(125-124)^2+(123-124)^2]$
$=\frac{1}{10}(64+0+36+4+9+9+4+4+1+1)=\frac{132}{10}=13.2$
聪聪的方差：
$s^2_聪=\frac{1}{10}[(122-122)^2+(124-122)^2+(125-122)^2+(128-122)^2+(119-122)^2+(120-122)^2+(121-122)^2+(128-122)^2+(114-122)^2+(119-122)^2]$
$=\frac{1}{10}(0+4+9+36+9+4+1+36+64+9)=\frac{172}{10}=17.2$
（3）判断参赛人选：
对比计算结果，慧慧的平均成绩124分高于聪聪的122分，说明慧慧整体成绩水平更高；慧慧的方差13.2小于聪聪的方差17.2，说明慧慧的成绩波动更小、更稳定。因此选慧慧参加竞赛更合适。
【答案】
(1) 慧慧成绩的平均数为124分，聪聪成绩的平均数为122分
(2) 慧慧成绩的方差为13.2，聪聪成绩的方差为17.2
(3) 选慧慧参加全国数学竞赛较合适。理由：慧慧的平均成绩高于聪聪，且慧慧成绩的方差小于聪聪的方差，方差越小越稳定，说明慧慧的成绩更好且更稳定，所以选慧慧参加全国数学竞赛较合适。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题主要考查平均数和方差的计算及实际应用，解题关键是熟练掌握平均数、方差的计算公式，理解方差越小数据波动越小、越稳定的性质，结合实际需求综合判断即可。
【难度系数】
0.7
