登录
1 若将排序后的数据分为两组，则计算组内离差平方和时 （
A.只需计算第一组的离差平方和
B.需计算两组离差平方和的总和
C.只需计算最大值与最小值的差
D.需计算两组离差平方和的平均数
B
）A.只需计算第一组的离差平方和
B.需计算两组离差平方和的总和
C.只需计算最大值与最小值的差
D.需计算两组离差平方和的平均数
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确本题考查分组合理性中组内离差平方和的计算规则，解题思路如下：1. 回忆组内离差平方和的作用：它是用来衡量每组内部数据的离散（波动）程度的指标，数值越小说明组内数据越接近，分组越合理。2. 当数据被分为两组时，要完整反映所有组内的总波动情况，需要把两组各自的离差平方和合并计算。3. 逐一比对选项，排除不符合计算规则的选项即可得到答案。
【解析】
组内离差平方和的含义是：每组中各个数据与本组平均数的差的平方之和，用来表示该组数据的离散程度。
将数据分为两组时，总的组内离差平方和需要覆盖两组的离散情况：
选项A：仅计算第一组的离差平方和，无法体现第二组的离散程度，计算不完整，错误；
选项B：两组各自离差平方和的总和，能完整反映所有组内的总离散程度，符合计算要求，正确；
选项C：最大值与最小值的差是极差，和离差平方和是完全不同的统计量，错误；
选项D：两组离差平方和的平均数不能代表总的组内离散程度，不符合计算规则，错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和；分组合理性
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对统计中组内离差平方和概念的理解，解题的关键是区分离差平方和与极差、平均数等其他统计量的差异，记清分组后总组内离差平方和的计算规则。
【难度系数】
0.8
首先明确本题考查分组合理性中组内离差平方和的计算规则，解题思路如下：1. 回忆组内离差平方和的作用：它是用来衡量每组内部数据的离散（波动）程度的指标，数值越小说明组内数据越接近，分组越合理。2. 当数据被分为两组时，要完整反映所有组内的总波动情况，需要把两组各自的离差平方和合并计算。3. 逐一比对选项，排除不符合计算规则的选项即可得到答案。
【解析】
组内离差平方和的含义是：每组中各个数据与本组平均数的差的平方之和，用来表示该组数据的离散程度。
将数据分为两组时，总的组内离差平方和需要覆盖两组的离散情况：
选项A：仅计算第一组的离差平方和，无法体现第二组的离散程度，计算不完整，错误；
选项B：两组各自离差平方和的总和，能完整反映所有组内的总离散程度，符合计算要求，正确；
选项C：最大值与最小值的差是极差，和离差平方和是完全不同的统计量，错误；
选项D：两组离差平方和的平均数不能代表总的组内离散程度，不符合计算规则，错误。
【答案】
B
【知识点】
组内离差平方和；分组合理性
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对统计中组内离差平方和概念的理解，解题的关键是区分离差平方和与极差、平均数等其他统计量的差异，记清分组后总组内离差平方和的计算规则。
【难度系数】
0.8
2 某剧团中六名演员的年龄(单位:岁)分别为26,24,29,31,28,30.若将六名演员的年龄数据分成24,26,28和29,30,31两组,则它们的组内离差平方和为 (
A.10
B.12
C.13
D.15
A
)A.10
B.12
C.13
D.15
答案
2. A
解析
【分析】
要计算两组数据的组内离差平方和，需遵循以下思路：首先分别求出每组数据的平均数，再对每组内的每个数据，计算它与本组平均数的差的平方，将组内所有差的平方求和得到单组的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组24,26,28的离差平方和：
本组平均数：$\overline{x_1}=\frac{24+26+28}{3}=26$
本组离差平方和：$S_1=(24-26)^2+(26-26)^2+(28-26)^2=(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$
2. 计算第二组29,30,31的离差平方和：
本组平均数：$\overline{x_2}=\frac{29+30+31}{3}=30$
本组离差平方和：$S_2=(29-30)^2+(30-30)^2+(31-30)^2=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=8+2=10$
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考查组内离差平方和的计算规则，只要掌握“先求组平均数，再算差的平方和”的计算逻辑，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算两组数据的组内离差平方和，需遵循以下思路：首先分别求出每组数据的平均数，再对每组内的每个数据，计算它与本组平均数的差的平方，将组内所有差的平方求和得到单组的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算第一组24,26,28的离差平方和：
本组平均数：$\overline{x_1}=\frac{24+26+28}{3}=26$
本组离差平方和：$S_1=(24-26)^2+(26-26)^2+(28-26)^2=(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$
2. 计算第二组29,30,31的离差平方和：
本组平均数：$\overline{x_2}=\frac{29+30+31}{3}=30$
本组离差平方和：$S_2=(29-30)^2+(30-30)^2+(31-30)^2=(-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2$
3. 总组内离差平方和：$S=S_1+S_2=8+2=10$
【答案】
A
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，核心考查组内离差平方和的计算规则，只要掌握“先求组平均数，再算差的平方和”的计算逻辑，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3 科研人员选出10株植物,在同等实验条件下,测量它们光合作用速率(单位:$μ mol· m^{-2}· s^{-1}$)统计结果为35,30,23,17,20,25,32,30,33,35.若按照“组内离差平方和达到最小”法,则需先将数据由
小
到大
排序,再将这10株植物分成两组,此时共可以分成9
种情况.答案
3. 小 大 9
解析
【分析】
首先要明确“组内离差平方和最小”的核心要求：每组内的数据差异要尽可能小。要实现这个目标，需要先把数据按大小顺序排列，让数值相近的数据相邻，这样分组时仅需在有序序列的相邻数据之间划分，就能保证组内差异最小，无需打乱数据顺序分组。接下来，10个数据有序排列后，相邻数据之间共有9个空隙，要分成2组只需选1个空隙作为分组边界，即可直接得到分组的总情况数。
【解析】
1. 要满足组内离差平方和最小的要求，需保证每组内数据数值尽可能接近，因此首先要将数据按从小到大的顺序排列，让数值相近的数据相邻，避免分组时大小数据混杂增大组内差异。
2. 10个有序排列的数据，相邻数据间共有$10-1=9$个间隔。将数据分为两组时，仅需选择1个间隔作为分组边界即可，因此共有9种不同的分组情况。
【答案】
小；大；9
【知识点】
数据排序；合理分组；简单计数
【点评】
本题考查分组合理性的实际应用，关键是理解组内离差平方和最小的分组前提是先对数据排序，再结合间隔计数即可得到分组数，侧重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.7
首先要明确“组内离差平方和最小”的核心要求：每组内的数据差异要尽可能小。要实现这个目标，需要先把数据按大小顺序排列，让数值相近的数据相邻，这样分组时仅需在有序序列的相邻数据之间划分，就能保证组内差异最小，无需打乱数据顺序分组。接下来，10个数据有序排列后，相邻数据之间共有9个空隙，要分成2组只需选1个空隙作为分组边界，即可直接得到分组的总情况数。
【解析】
1. 要满足组内离差平方和最小的要求，需保证每组内数据数值尽可能接近，因此首先要将数据按从小到大的顺序排列，让数值相近的数据相邻，避免分组时大小数据混杂增大组内差异。
2. 10个有序排列的数据，相邻数据间共有$10-1=9$个间隔。将数据分为两组时，仅需选择1个间隔作为分组边界即可，因此共有9种不同的分组情况。
【答案】
小；大；9
【知识点】
数据排序；合理分组；简单计数
【点评】
本题考查分组合理性的实际应用，关键是理解组内离差平方和最小的分组前提是先对数据排序，再结合间隔计数即可得到分组数，侧重对基础概念的理解。
【难度系数】
0.7
4 某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96,老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},求组内离差平方和.
答案
4. 第一组数据的平均数为$\frac{1}{6}×(87+88+90+91+92+92)=90$,第一组数据的离差平方和为$(87-90)^2+(88-90)^2+…+(92-90)^2=22$,第二组数据的平均数为$\frac{1}{2}×(96+98)=97$,第二组数据的离差平方和为$(96-97)^2+(98-97)^2=2$,
∴ 组内离差平方和为 22+2=24
∴ 组内离差平方和为 22+2=24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，需按三步逐步推导：第一步先分别计算两组数据各自的平均数；第二步根据离差平方和的定义，即每组内每个数据与该组平均数的差的平方之和，分别计算两组的离差平方和；第三步将两组的离差平方和相加，就能得到总的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组数据的平均数与离差平方和：
第一组平均数 $\overline{x}_1=\frac{1}{6}×(87+88+90+91+92+92)=90$
第一组离差平方和 $S_1=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2=9+4+0+1+4+4=22$
2. 计算第二组数据的平均数与离差平方和：
第二组平均数 $\overline{x}_2=\frac{1}{2}×(96+98)=97$
第二组离差平方和 $S_2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$
3. 计算总组内离差平方和：
总组内离差平方和 $S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、组内离差平方和
【点评】
本题是统计模块的基础计算题，主要考查离差平方和的计算规则，只要掌握平均数的计算方法、理解离差平方和的定义，细心运算即可得分，解题时需注意平方运算和加法计算的准确性。
【难度系数】
0.8
要计算组内离差平方和，需按三步逐步推导：第一步先分别计算两组数据各自的平均数；第二步根据离差平方和的定义，即每组内每个数据与该组平均数的差的平方之和，分别计算两组的离差平方和；第三步将两组的离差平方和相加，就能得到总的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组数据的平均数与离差平方和：
第一组平均数 $\overline{x}_1=\frac{1}{6}×(87+88+90+91+92+92)=90$
第一组离差平方和 $S_1=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2=9+4+0+1+4+4=22$
2. 计算第二组数据的平均数与离差平方和：
第二组平均数 $\overline{x}_2=\frac{1}{2}×(96+98)=97$
第二组离差平方和 $S_2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$
3. 计算总组内离差平方和：
总组内离差平方和 $S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算、组内离差平方和
【点评】
本题是统计模块的基础计算题，主要考查离差平方和的计算规则，只要掌握平均数的计算方法、理解离差平方和的定义，细心运算即可得分，解题时需注意平方运算和加法计算的准确性。
【难度系数】
0.8
5 已知有8个苹果，它们的直径(单位:mm)分别为71,72,73,76,78,80,80,81.
(1) 直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和第三四分位数.
(2) 现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多. 如表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理.
(1) 直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和第三四分位数.
(2) 现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多. 如表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理.
答案
5. (1) 众数为 80 mm,中位数为 77 mm,第三四分位数为 80 mm
(2) 在第二种分法中,第一组的平均数 $\bar{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$(mm),第二组的平均数 $\bar{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$(mm). 第一组的离差平方和 $S_1^2=(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=2$,第二组的离差平方和$S_2^2=(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=16$.
∴ 第二种分法的组内离差平方和$=S_1^2+S_2^2=2+16=18$,即 $a=18$.
∵ 18.75＞18,
∴ 按照“组内离差平方和最小”原则,第二种分法更合理
(2) 在第二种分法中,第一组的平均数 $\bar{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$(mm),第二组的平均数 $\bar{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$(mm). 第一组的离差平方和 $S_1^2=(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=2$,第二组的离差平方和$S_2^2=(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=16$.
∴ 第二种分法的组内离差平方和$=S_1^2+S_2^2=2+16=18$,即 $a=18$.
∵ 18.75＞18,
∴ 按照“组内离差平方和最小”原则,第二种分法更合理
解析
【分析】
(1) 求解第一问先将8个苹果的直径从小到大排序，众数是数据中出现次数最多的数；数据总数为偶数时，中位数是排序后中间两个数据的平均数；第三四分位数即75%分位数，先计算对应位置，再取对应位置数据的平均值即可。
(2) 第二问要判断哪种分法更合理，需先计算第二种分法的组内离差平方和：先分别求出每组数据的平均数，再计算组内每个数据与本组平均数的差的平方和，将两组的离差平方和相加得到第二种分法的总离差平方和，最后和第一种分法的18.75比较，数值更小的分法更合理。
【解析】
(1) 将8个苹果的直径从小到大排列为：71,72,73,76,78,80,80,81。
① 众数：80出现的次数最多（2次），故众数为80 mm；
② 中位数：共8个数据，中位数为第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{76+78}{2}=77$ mm；
③ 第三四分位数：$8×75\%=6$，故第三四分位数为第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{80+80}{2}=80$ mm。
(2) 计算第二种分法的组内离差平方和：
第一组数据为71,72,73，平均数$\bar{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$ mm，
第一组离差平方和$S_1^2=(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=1+0+1=2$；
第二组数据为76,78,80,80,81，平均数$\bar{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$ mm，
第二组离差平方和$S_2^2=(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=9+1+1+1+4=16$；
第二种分法总组内离差平方和$a=S_1^2+S_2^2=2+16=18$。
因为$18＜18.75$，结合“组内离差平方和最小”的原则，可知第二种分法更合理。
【答案】
(1) 众数为 80 mm，中位数为 77 mm，第三四分位数为 80 mm；
(2) 第二种分法更合理。
【知识点】
统计特征量计算，离差平方和计算，分组合理性判断
【点评】
本题结合生活分组场景考查统计相关知识，既需要熟练掌握众数、中位数、四分位数等基础统计量的计算方法，也需要理解离差平方和的含义并正确计算，整体考查内容偏向基础，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问先将8个苹果的直径从小到大排序，众数是数据中出现次数最多的数；数据总数为偶数时，中位数是排序后中间两个数据的平均数；第三四分位数即75%分位数，先计算对应位置，再取对应位置数据的平均值即可。
(2) 第二问要判断哪种分法更合理，需先计算第二种分法的组内离差平方和：先分别求出每组数据的平均数，再计算组内每个数据与本组平均数的差的平方和，将两组的离差平方和相加得到第二种分法的总离差平方和，最后和第一种分法的18.75比较，数值更小的分法更合理。
【解析】
(1) 将8个苹果的直径从小到大排列为：71,72,73,76,78,80,80,81。
① 众数：80出现的次数最多（2次），故众数为80 mm；
② 中位数：共8个数据，中位数为第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{76+78}{2}=77$ mm；
③ 第三四分位数：$8×75\%=6$，故第三四分位数为第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{80+80}{2}=80$ mm。
(2) 计算第二种分法的组内离差平方和：
第一组数据为71,72,73，平均数$\bar{x}_1=\frac{71+72+73}{3}=72$ mm，
第一组离差平方和$S_1^2=(71-72)^2+(72-72)^2+(73-72)^2=1+0+1=2$；
第二组数据为76,78,80,80,81，平均数$\bar{x}_2=\frac{76+78+80+80+81}{5}=79$ mm，
第二组离差平方和$S_2^2=(76-79)^2+(78-79)^2+(80-79)^2+(80-79)^2+(81-79)^2=9+1+1+1+4=16$；
第二种分法总组内离差平方和$a=S_1^2+S_2^2=2+16=18$。
因为$18＜18.75$，结合“组内离差平方和最小”的原则，可知第二种分法更合理。
【答案】
(1) 众数为 80 mm，中位数为 77 mm，第三四分位数为 80 mm；
(2) 第二种分法更合理。
【知识点】
统计特征量计算，离差平方和计算，分组合理性判断
【点评】
本题结合生活分组场景考查统计相关知识，既需要熟练掌握众数、中位数、四分位数等基础统计量的计算方法，也需要理解离差平方和的含义并正确计算，整体考查内容偏向基础，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
