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1 [2025广西]生态学家高斯通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量$y$(个)随时间$t$(天)的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线。下列说法正确的是 (
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
B
)A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确函数图像的横、纵坐标的含义：横轴代表培养时间t（单位：天），纵轴代表大草履虫的种群数量y（单位：个），再结合图像的变化趋势，逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
结合图像信息逐个分析选项：
A. 观察图像可知，第5天时种群数量接近400个，并非300个，该选项错误；
B. t在0~3天的范围内时，曲线始终呈上升趋势，说明种群数量随时间增加而增大，即前3天种群数量持续增长，该选项正确；
C. 第3天之后，t为4天、5天时种群数量仍在上升，直到第5天左右才达到最大值，因此第3天种群数量未达到最大，该选项错误；
D. 该“S”形曲线的倾斜程度不断变化：前期增长慢，中期增长快，后期增长变慢，说明每天增加的种群数量不相同，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
函数图像的识别；函数的增减性
【点评】
本题结合实际实验情境考查函数图像的读取与分析，解题的核心是读懂横纵坐标的意义，结合曲线的变化趋势判断函数的增减规律即可作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确函数图像的横、纵坐标的含义：横轴代表培养时间t（单位：天），纵轴代表大草履虫的种群数量y（单位：个），再结合图像的变化趋势，逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
结合图像信息逐个分析选项：
A. 观察图像可知，第5天时种群数量接近400个，并非300个，该选项错误；
B. t在0~3天的范围内时，曲线始终呈上升趋势，说明种群数量随时间增加而增大，即前3天种群数量持续增长，该选项正确；
C. 第3天之后，t为4天、5天时种群数量仍在上升，直到第5天左右才达到最大值，因此第3天种群数量未达到最大，该选项错误；
D. 该“S”形曲线的倾斜程度不断变化：前期增长慢，中期增长快，后期增长变慢，说明每天增加的种群数量不相同，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
函数图像的识别；函数的增减性
【点评】
本题结合实际实验情境考查函数图像的读取与分析，解题的核心是读懂横纵坐标的意义，结合曲线的变化趋势判断函数的增减规律即可作答。
【难度系数】
0.8
2 [2025苏州段考]在弹性限度内,某弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)的函数关系如下表所示,则y与x之间的函数表达式为 (
A.$y=-0.5x+3$
B.$y=-0.5x+3.5$
C.$y=0.5x+3$
D.$y=0.5x+3.5$
C
)A.$y=-0.5x+3$
B.$y=-0.5x+3.5$
C.$y=0.5x+3$
D.$y=0.5x+3.5$
答案
2.C
解析
【分析】
观察表格数据可知，所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y就增加0.5cm，说明y是x的一次函数，可用待定系数法求解函数表达式。首先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，先代入$x=0,y=3.0$可直接求出b的值（即弹簧原长），再任选另一组数据代入求出k的值，最后验证所得解析式是否符合所有表格数据即可。
【解析】
由表格数据可知y与x满足一次函数关系，设函数表达式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）：
1. 将$x=0,y=3.0$代入解析式，得$3.0 = 0× k + b$，解得$b=3$；
2. 将$x=1,y=3.5$和$b=3$代入解析式，得$3.5 = 1× k + 3$，解得$k=0.5$；
3. 验证：将$x=2$代入$y=0.5x+3$，得$y=0.5×2+3=4.0$，与表格数据一致；代入其余x值计算结果也均符合表格规律，因此函数表达式为$y=0.5x+3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，也可直接通过观察数据的变化规律确定函数参数，解题时注意验证结果是否符合所有给定数据，避免出错。
【难度系数】
0.8
观察表格数据可知，所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y就增加0.5cm，说明y是x的一次函数，可用待定系数法求解函数表达式。首先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，先代入$x=0,y=3.0$可直接求出b的值（即弹簧原长），再任选另一组数据代入求出k的值，最后验证所得解析式是否符合所有表格数据即可。
【解析】
由表格数据可知y与x满足一次函数关系，设函数表达式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）：
1. 将$x=0,y=3.0$代入解析式，得$3.0 = 0× k + b$，解得$b=3$；
2. 将$x=1,y=3.5$和$b=3$代入解析式，得$3.5 = 1× k + 3$，解得$k=0.5$；
3. 验证：将$x=2$代入$y=0.5x+3$，得$y=0.5×2+3=4.0$，与表格数据一致；代入其余x值计算结果也均符合表格规律，因此函数表达式为$y=0.5x+3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，也可直接通过观察数据的变化规律确定函数参数，解题时注意验证结果是否符合所有给定数据，避免出错。
【难度系数】
0.8
3 [2025湖南]甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s(米)与时间t(秒)的函数关系如图所示，则
甲
先到终点(填“甲”或“乙”)。答案
3.甲
解析
【分析】
解决这道题的核心是读懂路程随时间变化的函数图像，思考步骤如下：第一步先明确图像横、纵坐标的实际意义，本题中横坐标t代表赛跑用时，纵坐标s代表跑过的路程；第二步结合100米赛跑的场景，终点对应s=100米的位置，我们需要比较甲、乙两人到达s=100米时对应的用时t；第三步，用时越短的人越先到达终点，对比两人的用时即可得出结论。
【解析】
观察路程s与时间t的函数图像：
1. 图像横坐标为赛跑时间t（秒），纵坐标为赛跑路程s（米），100米赛跑的终点对应纵坐标s=100米的位置；
2. 分别找到甲、乙的图像对应s=100米时的横坐标，可得甲跑完全程的用时小于乙跑完全程的用时。
因此甲先到终点。
【答案】
甲
【知识点】
s-t图像分析；函数的图像表示
【点评】
本题结合生活中的赛跑场景考查函数图像的实际应用，解题的关键是明确函数图像横纵坐标的实际含义，结合题意分析即可，属于基础易得分题型。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是读懂路程随时间变化的函数图像，思考步骤如下：第一步先明确图像横、纵坐标的实际意义，本题中横坐标t代表赛跑用时，纵坐标s代表跑过的路程；第二步结合100米赛跑的场景，终点对应s=100米的位置，我们需要比较甲、乙两人到达s=100米时对应的用时t；第三步，用时越短的人越先到达终点，对比两人的用时即可得出结论。
【解析】
观察路程s与时间t的函数图像：
1. 图像横坐标为赛跑时间t（秒），纵坐标为赛跑路程s（米），100米赛跑的终点对应纵坐标s=100米的位置；
2. 分别找到甲、乙的图像对应s=100米时的横坐标，可得甲跑完全程的用时小于乙跑完全程的用时。
因此甲先到终点。
【答案】
甲
【知识点】
s-t图像分析；函数的图像表示
【点评】
本题结合生活中的赛跑场景考查函数图像的实际应用，解题的关键是明确函数图像横纵坐标的实际含义，结合题意分析即可，属于基础易得分题型。
【难度系数】
0.9
4 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶。过了一段时间，汽车到达下一个车站。乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。如图，可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是
②
（填序号）。答案
4.②
解析
【分析】
我们可以按照汽车的运动过程拆分速度变化的阶段，再对应每个阶段的速度特征匹配图像：首先汽车从车站开出时初始速度为0，先加速（速度随时间增大），之后匀速（速度不变）；进站时减速（速度随时间减小到0），停站时速度为0且保持一段时间；之后再次加速，再匀速。我们只要逐一比对四个图像是否符合这几个阶段的特征即可。
【解析】
我们分阶段分析速度变化：
1. 初始出站：汽车从静止开始加速，速度从0逐渐增大，对应速度-时间图中从原点出发上升的线段，因此①（初始速度不为0）、④（初始就匀速）不符合，排除；
2. 加速后进入匀速阶段：速度保持不变，对应图像中的水平线段，③中加速后直接减速，没有匀速阶段，不符合，排除；
3. 进站过程：速度逐渐减小到0，停站阶段速度为0且保持一段时间，之后再次加速、匀速，图②完全符合上述所有阶段的速度变化特征。
【答案】
②
【知识点】
函数图像识别；速度-时间图像分析；分段函数应用
【点评】
本题结合生活中汽车行驶的实际场景，考查对函数图像的分析判断能力，解题的核心是将实际运动过程的速度变化与图像的线段特征一一对应。
【难度系数】
0.8
我们可以按照汽车的运动过程拆分速度变化的阶段，再对应每个阶段的速度特征匹配图像：首先汽车从车站开出时初始速度为0，先加速（速度随时间增大），之后匀速（速度不变）；进站时减速（速度随时间减小到0），停站时速度为0且保持一段时间；之后再次加速，再匀速。我们只要逐一比对四个图像是否符合这几个阶段的特征即可。
【解析】
我们分阶段分析速度变化：
1. 初始出站：汽车从静止开始加速，速度从0逐渐增大，对应速度-时间图中从原点出发上升的线段，因此①（初始速度不为0）、④（初始就匀速）不符合，排除；
2. 加速后进入匀速阶段：速度保持不变，对应图像中的水平线段，③中加速后直接减速，没有匀速阶段，不符合，排除；
3. 进站过程：速度逐渐减小到0，停站阶段速度为0且保持一段时间，之后再次加速、匀速，图②完全符合上述所有阶段的速度变化特征。
【答案】
②
【知识点】
函数图像识别；速度-时间图像分析；分段函数应用
【点评】
本题结合生活中汽车行驶的实际场景，考查对函数图像的分析判断能力，解题的核心是将实际运动过程的速度变化与图像的线段特征一一对应。
【难度系数】
0.8
5 分别写出下列函数的表达式，并求出式中自变量的取值范围：
（1）长方形的周长为12，求它的面积S与一边的长x之间的函数表达式；
（2）行走的路程为100 km，求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式；
（3）某种储蓄的年利率为1.5%，存入10 000元本金，求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数表达式；
（4）[2024常州]若等腰三角形的周长是10，求底边长y与腰长x之间的函数表达式。
（1）长方形的周长为12，求它的面积S与一边的长x之间的函数表达式；
（2）行走的路程为100 km，求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式；
（3）某种储蓄的年利率为1.5%，存入10 000元本金，求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数表达式；
（4）[2024常州]若等腰三角形的周长是10，求底边长y与腰长x之间的函数表达式。
答案
5.(1) $S=x(6-x)\ \ 0＜x＜6$
(2) $v=\frac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5‰x)\ \ x$为正整数
(4) $y=10-2x(2.5＜x＜5)$
(2) $v=\frac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5‰x)\ \ x$为正整数
(4) $y=10-2x(2.5＜x＜5)$
解析
【分析】
解决这类实际问题的函数题，分两步思考：①找等量关系列等式：先根据题目描述的几何公式、行程公式、本息和公式等数量关系，列出两个变量的等式，再整理成用自变量表示函数的形式；②确定自变量取值范围：除了保证函数表达式中的代数式有意义，还要结合实际问题的限制（比如边长、时间为正，三角形三边关系等），得到符合实际的自变量范围。
具体到各小题：
（1）先用周长公式求出长方形另一边长，再用面积公式列表达式，根据边长为正求范围；
（2）用“路程=速度×时间”变形得到v与t的关系，根据时间为正求范围；
（3）用“本息和=本金+本金×利率×存期”列表达式，根据存期为正整数求范围；
（4）用等腰三角形周长公式列表达式，结合“底边长为正”“两腰之和大于底边长”的三边关系求范围。
【解析】
（1）已知长方形周长为12，一边长为x，则另一边长为$\frac{12}{2}-x=6-x$，
长方形面积$S=$长×宽$=x(6-x)$，
由边长为正可得：$\begin{cases}x＞0 \\6-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜6$；
（2）由路程公式“路程=速度×时间”，可得$100=vt$，变形得$v=\frac{100}{t}$，
时间t为正数，故$t＞0$；
（3）本息和=本金+利息，利息=本金×利率×存期，
代入数据得$y=10000 + 10000×1.5‰× x=10000(1+1.5‰x)$，
所存年数x为正整数，故x取正整数；
（4）等腰三角形周长=2×腰长+底边长，即$10=2x+y$，变形得$y=10-2x$，
由三角形三边关系可得：$\begin{cases}y=10-2x＞0 \\2x＞y=10-2x \end{cases}$，
解第一个不等式得$x＜5$，解第二个不等式得$x＞2.5$，故$2.5＜x＜5$。
【答案】
(1) $S=x(6-x)\ \ 0＜x＜6$
(2) $v=\frac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5‰x)\ \ x$为正整数
(4) $y=10-2x\ \ (2.5＜x＜5)$
【知识点】
列实际问题函数解析式，自变量取值范围确定，三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查结合生活、几何情境列函数表达式的能力，解题的易错点是忽略实际问题的限制条件，仅考虑代数式有意义，尤其是涉及三角形的问题，必须结合三边关系验证自变量的取值范围，避免出现不符合图形性质的情况。
【难度系数】
0.7
解决这类实际问题的函数题，分两步思考：①找等量关系列等式：先根据题目描述的几何公式、行程公式、本息和公式等数量关系，列出两个变量的等式，再整理成用自变量表示函数的形式；②确定自变量取值范围：除了保证函数表达式中的代数式有意义，还要结合实际问题的限制（比如边长、时间为正，三角形三边关系等），得到符合实际的自变量范围。
具体到各小题：
（1）先用周长公式求出长方形另一边长，再用面积公式列表达式，根据边长为正求范围；
（2）用“路程=速度×时间”变形得到v与t的关系，根据时间为正求范围；
（3）用“本息和=本金+本金×利率×存期”列表达式，根据存期为正整数求范围；
（4）用等腰三角形周长公式列表达式，结合“底边长为正”“两腰之和大于底边长”的三边关系求范围。
【解析】
（1）已知长方形周长为12，一边长为x，则另一边长为$\frac{12}{2}-x=6-x$，
长方形面积$S=$长×宽$=x(6-x)$，
由边长为正可得：$\begin{cases}x＞0 \\6-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜6$；
（2）由路程公式“路程=速度×时间”，可得$100=vt$，变形得$v=\frac{100}{t}$，
时间t为正数，故$t＞0$；
（3）本息和=本金+利息，利息=本金×利率×存期，
代入数据得$y=10000 + 10000×1.5‰× x=10000(1+1.5‰x)$，
所存年数x为正整数，故x取正整数；
（4）等腰三角形周长=2×腰长+底边长，即$10=2x+y$，变形得$y=10-2x$，
由三角形三边关系可得：$\begin{cases}y=10-2x＞0 \\2x＞y=10-2x \end{cases}$，
解第一个不等式得$x＜5$，解第二个不等式得$x＞2.5$，故$2.5＜x＜5$。
【答案】
(1) $S=x(6-x)\ \ 0＜x＜6$
(2) $v=\frac{100}{t}\ \ t＞0$
(3) $y=10\ 000(1+1.5‰x)\ \ x$为正整数
(4) $y=10-2x\ \ (2.5＜x＜5)$
【知识点】
列实际问题函数解析式，自变量取值范围确定，三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查结合生活、几何情境列函数表达式的能力，解题的易错点是忽略实际问题的限制条件，仅考虑代数式有意义，尤其是涉及三角形的问题，必须结合三边关系验证自变量的取值范围，避免出现不符合图形性质的情况。
【难度系数】
0.7
