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7. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为$\frac{2}{3}$，那么盒子里白色乒乓球的个数为
4
。答案
7. 4
解析
【分析】
解题时先明确等可能事件的概率计算方法：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数。我们可以先设白色乒乓球的个数为未知数，再结合摸到白球的概率列出方程，解方程即可求出白球数量，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设盒子里白色乒乓球的个数为$ x $个。
由题意可知，盒子里乒乓球的总个数为$ (2+x) $个，摸到白色乒乓球的概率为$ \frac{2}{3} $，根据概率公式可得：
$ \frac{x}{2+x} = \frac{2}{3} $
交叉相乘去分母得：
$ 3x = 2(2+x) $
展开括号：
$ 3x = 4 + 2x $
移项计算得：
$ x = 4 $
检验：当$ x=4 $时，分母$ 2+x=6≠0 $，所以$ x=4 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
4
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 分式方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，核心考查等可能事件的概率计算方法，解题关键是找准概率对应的等量关系列方程求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先明确等可能事件的概率计算方法：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数。我们可以先设白色乒乓球的个数为未知数，再结合摸到白球的概率列出方程，解方程即可求出白球数量，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
设盒子里白色乒乓球的个数为$ x $个。
由题意可知，盒子里乒乓球的总个数为$ (2+x) $个，摸到白色乒乓球的概率为$ \frac{2}{3} $，根据概率公式可得：
$ \frac{x}{2+x} = \frac{2}{3} $
交叉相乘去分母得：
$ 3x = 2(2+x) $
展开括号：
$ 3x = 4 + 2x $
移项计算得：
$ x = 4 $
检验：当$ x=4 $时，分母$ 2+x=6≠0 $，所以$ x=4 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
4
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 分式方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，核心考查等可能事件的概率计算方法，解题关键是找准概率对应的等量关系列方程求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 如图，将一个棱长为9的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为3的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为
$\frac{8}{27}$
。答案
8. $\frac{8}{27}$
解析
【分析】
要计算取得的小正方体恰有三个面涂红色的概率，需先求出小正方体的总个数，再确定三个面涂红色的小正方体的数量，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可。首先根据大正方体和小正方体的棱长求出每条棱上分割出的小正方体数量，进而得到总数量；其次明确三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点位置，数出顶点个数即得符合条件的小正方体数量。
【解析】
首先计算小正方体的总个数：
大正方体棱长为9，小正方体棱长为3，因此大正方体每条棱上可分割出的小正方体个数为：$9÷3=3$（个）
小正方体总个数为：$3×3×3=27$（个）
接下来确定三面涂红色的小正方体数量：
只有位于大正方体顶点处的小正方体才会有三个面被涂色，正方体共有8个顶点，因此三面涂红色的小正方体有8个。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{恰有三个面涂红色})=\frac{\mathrm{三面涂色的小正方体个数}}{\mathrm{小正方体总个数}}=\frac{8}{27}$
【答案】
$\frac{8}{27}$
【知识点】
概率计算，正方体特征
【点评】
本题将立体图形染色问题与概率计算相结合，解题的核心是准确找到不同涂色情况的小正方体在大正方体中的位置，只要掌握正方体的顶点、棱、面的位置特点，结合基础的概率公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
要计算取得的小正方体恰有三个面涂红色的概率，需先求出小正方体的总个数，再确定三个面涂红色的小正方体的数量，最后根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可。首先根据大正方体和小正方体的棱长求出每条棱上分割出的小正方体数量，进而得到总数量；其次明确三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点位置，数出顶点个数即得符合条件的小正方体数量。
【解析】
首先计算小正方体的总个数：
大正方体棱长为9，小正方体棱长为3，因此大正方体每条棱上可分割出的小正方体个数为：$9÷3=3$（个）
小正方体总个数为：$3×3×3=27$（个）
接下来确定三面涂红色的小正方体数量：
只有位于大正方体顶点处的小正方体才会有三个面被涂色，正方体共有8个顶点，因此三面涂红色的小正方体有8个。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{恰有三个面涂红色})=\frac{\mathrm{三面涂色的小正方体个数}}{\mathrm{小正方体总个数}}=\frac{8}{27}$
【答案】
$\frac{8}{27}$
【知识点】
概率计算，正方体特征
【点评】
本题将立体图形染色问题与概率计算相结合，解题的核心是准确找到不同涂色情况的小正方体在大正方体中的位置，只要掌握正方体的顶点、棱、面的位置特点，结合基础的概率公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
9. 李老师和儿子准备到大纵湖、九龙口、荷兰花海三个景点去游玩.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同),那么他们都选择大纵湖景点为第一站的概率是
$\frac{1}{9}$
.答案
9. $\frac{1}{9}$
解析
【分析】
这是等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的结果总数，李老师和儿子各自独立从3个景点中选第一站，每人都有3种选择，因此可以用分步计数的方式算出总结果数；第二步确定符合“都选择大纵湖为第一站”的结果数，只有1种；第三步代入等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到答案，也可通过分别计算两人选大纵湖的概率，再结合独立事件概率相乘的逻辑求解。
【解析】
解：① 计算总等可能结果数：李老师选第一站有3种等可能的选择，儿子选第一站也有3种等可能的选择，两人选择互不影响，因此总共有 $ 3 × 3 = 9 $ 种等可能的结果。
② 统计符合条件的结果数：两人都选择大纵湖作为第一站的情况只有1种。
③ 根据概率公式 $ P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}} $，代入得所求概率为 $ \frac{1}{9} $。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算、分步计数原理
【点评】
本题是概率基础题，核心考察对等可能事件概率公式的理解和分步计数逻辑的应用，只要准确梳理总结果数和目标结果数即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
这是等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定所有等可能的结果总数，李老师和儿子各自独立从3个景点中选第一站，每人都有3种选择，因此可以用分步计数的方式算出总结果数；第二步确定符合“都选择大纵湖为第一站”的结果数，只有1种；第三步代入等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到答案，也可通过分别计算两人选大纵湖的概率，再结合独立事件概率相乘的逻辑求解。
【解析】
解：① 计算总等可能结果数：李老师选第一站有3种等可能的选择，儿子选第一站也有3种等可能的选择，两人选择互不影响，因此总共有 $ 3 × 3 = 9 $ 种等可能的结果。
② 统计符合条件的结果数：两人都选择大纵湖作为第一站的情况只有1种。
③ 根据概率公式 $ P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果总数}} $，代入得所求概率为 $ \frac{1}{9} $。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率计算、分步计数原理
【点评】
本题是概率基础题，核心考察对等可能事件概率公式的理解和分步计数逻辑的应用，只要准确梳理总结果数和目标结果数即可快速求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
10. 一个不透明的布袋里装有红、蓝、黄三种颜色的球共40个，它们除颜色外其余都相同，其中红色球20个，蓝色球比黄色球多8个.
（1）求布袋里蓝色球的个数；
（2）现再将2个黄色球放入布袋里，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率.
（1）求布袋里蓝色球的个数；
（2）现再将2个黄色球放入布袋里，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率.
答案
10. 解:(1) 设蓝色球有$x$个,则黄色球有$(x-8)$个.根据题意,得 $20+x+(x-8)=40$,解得 $x=14$. 答:布袋里有 14 个蓝色球；
(2) $\because$ 现在三种颜色的球共有 $40+2=42$(个),其中黄色球有 $14-8+2=8$(个),$\therefore$ 摸出 1 个球是黄色球的概率为$\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$.
(2) $\because$ 现在三种颜色的球共有 $40+2=42$(个),其中黄色球有 $14-8+2=8$(个),$\therefore$ 摸出 1 个球是黄色球的概率为$\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$.
解析
【分析】
（1）已知三种颜色球的总数量、红球数量，以及蓝球比黄球多8个的数量关系，我们可以设蓝球个数为未知数，根据“红球个数+蓝球个数+黄球个数=总球数”的等量关系列一元一次方程，即可求解蓝球的个数。
（2）求摸出黄球的概率，先根据第一问的结果算出原有黄球的个数，再计算放入2个黄球后的黄球总个数、球的总个数，最后利用等可能事件的概率公式：概率=所求事件对应的情况数÷总情况数，代入计算即可。
【解析】
(1) 设蓝色球有$x$个，则黄色球有$(x-8)$个。根据题意列方程：
$20+x+(x-8)=40$
化简得：$2x+12=40$
解得：$x=14$
(2) 放入2个黄色球后，球的总个数为：$40+2=42$（个）
原有黄色球个数为：$14-8=6$（个），现有黄色球个数为：$6+2=8$（个）
因此摸出1个球是黄色球的概率为：$\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$
【答案】
（1）布袋里蓝色球的个数为14个；（2）摸出1个球是黄色球的概率为$\frac{4}{21}$
【知识点】
一元一次方程的应用，等可能事件概率计算
【点评】
本题是基础综合题，结合了方程应用和概率计算两个考点，解题时只要理清各数量间的关系，准确计算对应数量，代入概率公式即可得到正确结果，注意计算概率时不要遗漏新增的球数。
【难度系数】
0.85
（1）已知三种颜色球的总数量、红球数量，以及蓝球比黄球多8个的数量关系，我们可以设蓝球个数为未知数，根据“红球个数+蓝球个数+黄球个数=总球数”的等量关系列一元一次方程，即可求解蓝球的个数。
（2）求摸出黄球的概率，先根据第一问的结果算出原有黄球的个数，再计算放入2个黄球后的黄球总个数、球的总个数，最后利用等可能事件的概率公式：概率=所求事件对应的情况数÷总情况数，代入计算即可。
【解析】
(1) 设蓝色球有$x$个，则黄色球有$(x-8)$个。根据题意列方程：
$20+x+(x-8)=40$
化简得：$2x+12=40$
解得：$x=14$
(2) 放入2个黄色球后，球的总个数为：$40+2=42$（个）
原有黄色球个数为：$14-8=6$（个），现有黄色球个数为：$6+2=8$（个）
因此摸出1个球是黄色球的概率为：$\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$
【答案】
（1）布袋里蓝色球的个数为14个；（2）摸出1个球是黄色球的概率为$\frac{4}{21}$
【知识点】
一元一次方程的应用，等可能事件概率计算
【点评】
本题是基础综合题，结合了方程应用和概率计算两个考点，解题时只要理清各数量间的关系，准确计算对应数量，代入概率公式即可得到正确结果，注意计算概率时不要遗漏新增的球数。
【难度系数】
0.85
11. 某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠.本次活动共有两种方式，方式一:转动转盘甲，指针指向A区域时，所购物品享受9折优惠，指针指向其他区域无优惠；方式二:同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向区域的字母相同，所购物品享受8折优惠，其他情况无优惠.在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘).
（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为
（2）若顾客选择方式二，请用画树状图或列表的方法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率.
（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为
$\frac{1}{4}$
；（2）若顾客选择方式二，请用画树状图或列表的方法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率.
答案
11. (1) $\frac{1}{4}$
(2) 转两个转盘,所有可能的结果如下表：
转两个转盘,所有可能的结果有 12 种,每种结果出现的可能性相同,其中转到的两个字母相同,可享受 8 折优惠,这种结果有2 种,$\therefore P$(享受 8 折优惠)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. 答:顾客享受 8 折优惠的概率为$\frac{1}{6}$.
(2) 转两个转盘,所有可能的结果如下表：
| 乙 甲 | A | B | E |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,E) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,E) |
转两个转盘,所有可能的结果有 12 种,每种结果出现的可能性相同,其中转到的两个字母相同,可享受 8 折优惠,这种结果有2 种,$\therefore P$(享受 8 折优惠)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. 答:顾客享受 8 折优惠的概率为$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
（1）方式一转动转盘甲，转盘甲被垂直的直径平均分成4个面积相等的区域，指针指向每个区域的可能性相同，享受9折优惠的情况为指针指向A区域，用A区域的份数除以总区域份数即可求得对应概率。
（2）方式二是同时转动两个转盘的两步概率问题，首先明确转盘甲有A、B、C、D共4种等可能结果，转盘乙有A、B、E共3种等可能结果，可通过列表法列出所有等可能结果，再找出两个转盘字母相同的结果数，代入概率公式即可算出享受8折优惠的概率。
【解析】
（1）转盘甲被平均分为4个等面积区域，指针指向每个区域的可能性相等，其中指向A区域的情况共1种，因此享受9折优惠的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）列表表示两个转盘转动的所有等可能结果如下：
| 乙\甲 | A | B | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,E) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,E) |
由表格可得，总共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针指向区域字母相同的结果有2种，分别是(A,A)、(B,B)，因此享受8折优惠的概率为：
$P(\mathrm{享受8折优惠})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{1}{6}$
【知识点】
1.等可能事件概率计算
2.列表法求概率
3.概率实际应用
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查概率计算，解题关键是先确定每个转盘的等可能结果数量，通过列表法不重不漏列举所有情况，再代入概率公式求解即可，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.75
（1）方式一转动转盘甲，转盘甲被垂直的直径平均分成4个面积相等的区域，指针指向每个区域的可能性相同，享受9折优惠的情况为指针指向A区域，用A区域的份数除以总区域份数即可求得对应概率。
（2）方式二是同时转动两个转盘的两步概率问题，首先明确转盘甲有A、B、C、D共4种等可能结果，转盘乙有A、B、E共3种等可能结果，可通过列表法列出所有等可能结果，再找出两个转盘字母相同的结果数，代入概率公式即可算出享受8折优惠的概率。
【解析】
（1）转盘甲被平均分为4个等面积区域，指针指向每个区域的可能性相等，其中指向A区域的情况共1种，因此享受9折优惠的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）列表表示两个转盘转动的所有等可能结果如下：
| 乙\甲 | A | B | E |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,E) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,E) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,E) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,E) |
由表格可得，总共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针指向区域字母相同的结果有2种，分别是(A,A)、(B,B)，因此享受8折优惠的概率为：
$P(\mathrm{享受8折优惠})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；（2）$\frac{1}{6}$
【知识点】
1.等可能事件概率计算
2.列表法求概率
3.概率实际应用
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查概率计算，解题关键是先确定每个转盘的等可能结果数量，通过列表法不重不漏列举所有情况，再代入概率公式求解即可，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.75
12. 在一个不透明的口袋中装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.已知口袋中有红球5个,白球23个,且从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是$\frac{1}{10}$,则口袋中黑球的个数为 （
A.27
B.23
C.22
D.18
C
）A.27
B.23
C.22
D.18
答案
12. C
解析
【分析】
解答本题首先要明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数。已知摸出红球的概率和红球的个数，我们可以先通过概率公式求出袋中球的总个数，再用总个数减去已知的红球、白球个数，即可得到黑球的数量。
【解析】
解：设口袋中球的总个数为$x$，
根据概率公式可得：$\frac{5}{x}=\frac{1}{10}$
解得$x=5×10=50$，经检验$x=50$是原方程的解且符合实际意义。
则黑球的个数为：$50-5-23=22$（个）
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，核心考查对概率公式的理解与应用，只要熟练掌握概率公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数。已知摸出红球的概率和红球的个数，我们可以先通过概率公式求出袋中球的总个数，再用总个数减去已知的红球、白球个数，即可得到黑球的数量。
【解析】
解：设口袋中球的总个数为$x$，
根据概率公式可得：$\frac{5}{x}=\frac{1}{10}$
解得$x=5×10=50$，经检验$x=50$是原方程的解且符合实际意义。
则黑球的个数为：$50-5-23=22$（个）
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率部分的基础常考题，核心考查对概率公式的理解与应用，只要熟练掌握概率公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
