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1. 在一个口袋里装有10个大小和外形完全相同的小球，分别标记从1到10这10个自然数，任意摸出一个球，下列事件中，属于等可能事件的是 （
A.是2的倍数，是3的倍数
B.是7的倍数，是8的倍数
C.是3的倍数，是4的倍数
D.是3的倍数，是5的倍数
B
）A.是2的倍数，是3的倍数
B.是7的倍数，是8的倍数
C.是3的倍数，是4的倍数
D.是3的倍数，是5的倍数
答案
1. B
解析
【分析】
要判断两个事件是否为等可能事件，本题中每个小球被摸到的可能性相同，因此只需统计每个选项中两个事件对应的符合条件的小球数量，若数量相等，则两个事件发生的概率相同，属于等可能事件，反之则不是。解题时先逐一梳理1~10中对应倍数的数字个数，再比对每个选项的两个事件数量即可。
【解析】
先统计1~10中各倍数对应的符合条件的数字个数：
1. 2的倍数：2、4、6、8、10，共5个；
2. 3的倍数：3、6、9，共3个；
3. 4的倍数：4、8，共2个；
4. 5的倍数：5、10，共2个；
5. 7的倍数：7，共1个；
6. 8的倍数：8，共1个。
逐一分析选项：
A. “是2的倍数”有5个，“是3的倍数”有3个，数量不等，不是等可能事件；
B. “是7的倍数”有1个，“是8的倍数”有1个，数量相等，是等可能事件；
C. “是3的倍数”有3个，“是4的倍数”有2个，数量不等，不是等可能事件；
D. “是3的倍数”有3个，“是5的倍数”有2个，数量不等，不是等可能事件。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件、倍数识别、概率初步
【点评】
本题是等可能事件判断的基础题型，解题核心是明确总样本数相同时，符合条件的样本数相等则事件发生可能性相等，只要准确统计对应倍数的数量即可正确求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
要判断两个事件是否为等可能事件，本题中每个小球被摸到的可能性相同，因此只需统计每个选项中两个事件对应的符合条件的小球数量，若数量相等，则两个事件发生的概率相同，属于等可能事件，反之则不是。解题时先逐一梳理1~10中对应倍数的数字个数，再比对每个选项的两个事件数量即可。
【解析】
先统计1~10中各倍数对应的符合条件的数字个数：
1. 2的倍数：2、4、6、8、10，共5个；
2. 3的倍数：3、6、9，共3个；
3. 4的倍数：4、8，共2个；
4. 5的倍数：5、10，共2个；
5. 7的倍数：7，共1个；
6. 8的倍数：8，共1个。
逐一分析选项：
A. “是2的倍数”有5个，“是3的倍数”有3个，数量不等，不是等可能事件；
B. “是7的倍数”有1个，“是8的倍数”有1个，数量相等，是等可能事件；
C. “是3的倍数”有3个，“是4的倍数”有2个，数量不等，不是等可能事件；
D. “是3的倍数”有3个，“是5的倍数”有2个，数量不等，不是等可能事件。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件、倍数识别、概率初步
【点评】
本题是等可能事件判断的基础题型，解题核心是明确总样本数相同时，符合条件的样本数相等则事件发生可能性相等，只要准确统计对应倍数的数量即可正确求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
2. 小明的笔记本的密码是一个两位数，他只记得第一位上是8，第二位上是一个奇数，则小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是（
A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰：第一步先确定密码第二位的取值范围，数位上的数字为0~9的整数；第二步结合“第二位是奇数”的限制条件，筛选出所有符合要求的数字，得到所有等可能的结果总数；第三步明确正确密码仅1种，代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知密码第一位固定为8，仅需考虑第二位的取值情况。
数位上的数字可取0~9的整数，其中符合“奇数”条件的数字有1、3、5、7、9，共5种等可能的结果，而正确密码只有1种。
根据等可能事件的概率公式可得，尝试一次就能正确打开的概率$P=\frac{1}{5}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，奇数判定，等可能事件
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确梳理出所有符合限制条件的等可能结果数，再代入概率公式计算，侧重对基础知识的应用考查。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能条件下的概率计算问题，解题思路清晰：第一步先确定密码第二位的取值范围，数位上的数字为0~9的整数；第二步结合“第二位是奇数”的限制条件，筛选出所有符合要求的数字，得到所有等可能的结果总数；第三步明确正确密码仅1种，代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知密码第一位固定为8，仅需考虑第二位的取值情况。
数位上的数字可取0~9的整数，其中符合“奇数”条件的数字有1、3、5、7、9，共5种等可能的结果，而正确密码只有1种。
根据等可能事件的概率公式可得，尝试一次就能正确打开的概率$P=\frac{1}{5}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，奇数判定，等可能事件
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确梳理出所有符合限制条件的等可能结果数，再代入概率公式计算，侧重对基础知识的应用考查。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$3×3$的正方形网格中,有三个小正方形已经涂成灰色,若再任意涂灰1个白色的小正方形(每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同),使新构成灰色部分的图案是轴对称图形的概率是 (
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
D
)A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，需按照概率计算的思路分步思考：第一步先确定所有等可能的涂色情况总数：3×3的网格共有9个小正方形，已知3个已涂灰，因此可涂色的白色小正方形有9-3=6个，即总共有6种等可能的涂色结果。第二步确定符合要求的涂色情况数：根据轴对称图形的定义（沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合），逐一判断每个白色小正方形涂灰后，整体灰色图案是否为轴对称图形，统计符合条件的情况数。最后用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
解：首先计算总情况数：
3×3的网格共有9个小正方形，其中3个已涂灰，因此剩余白色小正方形的数量为：$9-3=6$（个），即共有6种等可能的涂色结果。
接下来判断符合轴对称要求的涂色情况：
逐一验证6个白色小正方形涂灰后的图案，可知共有2种涂色情况可使新的灰色部分图案为轴对称图形。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别；等可能概率计算；网格图形分析
【点评】
本题结合网格图形综合考查了轴对称图形的判定和简单概率的计算，解题的关键是准确找出能使灰色图案成为轴对称图形的涂色位置，对学生的图形观察能力有一定要求，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照概率计算的思路分步思考：第一步先确定所有等可能的涂色情况总数：3×3的网格共有9个小正方形，已知3个已涂灰，因此可涂色的白色小正方形有9-3=6个，即总共有6种等可能的涂色结果。第二步确定符合要求的涂色情况数：根据轴对称图形的定义（沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合），逐一判断每个白色小正方形涂灰后，整体灰色图案是否为轴对称图形，统计符合条件的情况数。最后用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
解：首先计算总情况数：
3×3的网格共有9个小正方形，其中3个已涂灰，因此剩余白色小正方形的数量为：$9-3=6$（个），即共有6种等可能的涂色结果。
接下来判断符合轴对称要求的涂色情况：
逐一验证6个白色小正方形涂灰后的图案，可知共有2种涂色情况可使新的灰色部分图案为轴对称图形。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形识别；等可能概率计算；网格图形分析
【点评】
本题结合网格图形综合考查了轴对称图形的判定和简单概率的计算，解题的关键是准确找出能使灰色图案成为轴对称图形的涂色位置，对学生的图形观察能力有一定要求，整体难度不大。
【难度系数】
0.7
4. 如图，电路上有$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$四个断开的开关和一个正常的小灯泡$L$，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{11}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{9}{11}$
D
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{11}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{9}{11}$
答案
4. D
解析
【分析】要计算能让灯泡发光的概率，可分三步思考：①先计算“随机闭合至少两个开关”的所有等可能结果总数，通过分类计算闭合2个、3个、4个开关的情况之和即可得到；②结合电路通路要求判断有效情况：要让灯泡L发光，电路需为通路，即左侧S₁、S₂至少闭合1个，同时右侧S₃、S₄至少闭合1个，可反向计算不发光的情况数简化运算；③最后根据概率公式，用发光情况数除以总情况数得到所求概率。
【解析】首先计算所有等可能的总情况数：
随机闭合至少2个开关，包含闭合2个、3个、4个开关三类：
闭合2个开关的情况数：$\mathrm{C}_4^2=\frac{4×3}{2×1}=6$种
闭合3个开关的情况数：$\mathrm{C}_4^3=4$种
闭合4个开关的情况数：$\mathrm{C}_4^4=1$种
总情况数为$6+4+1=11$种。
再计算灯泡不发光的情况数：
灯泡不发光分两类：①左侧S₁、S₂都断开，仅能闭合S₃、S₄，共1种情况；②右侧S₃、S₄都断开，仅能闭合S₁、S₂，共1种情况。两类无重复，因此不发光的情况共$1+1=2$种。
则灯泡发光的情况数为$11-2=9$种，根据概率公式：
$P(\mathrm{灯泡发光})=\frac{\mathrm{发光情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{9}{11}$
【答案】D
【知识点】概率计算、电路通路判断、组合计数
【点评】本题结合电路知识考查概率的计算，解题的关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，通过反向计算不符合条件的情况可简化运算，需要同时掌握基础的组合计数方法和简单电路的通路判断规则。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算所有等可能的总情况数：
随机闭合至少2个开关，包含闭合2个、3个、4个开关三类：
闭合2个开关的情况数：$\mathrm{C}_4^2=\frac{4×3}{2×1}=6$种
闭合3个开关的情况数：$\mathrm{C}_4^3=4$种
闭合4个开关的情况数：$\mathrm{C}_4^4=1$种
总情况数为$6+4+1=11$种。
再计算灯泡不发光的情况数：
灯泡不发光分两类：①左侧S₁、S₂都断开，仅能闭合S₃、S₄，共1种情况；②右侧S₃、S₄都断开，仅能闭合S₁、S₂，共1种情况。两类无重复，因此不发光的情况共$1+1=2$种。
则灯泡发光的情况数为$11-2=9$种，根据概率公式：
$P(\mathrm{灯泡发光})=\frac{\mathrm{发光情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{9}{11}$
【答案】D
【知识点】概率计算、电路通路判断、组合计数
【点评】本题结合电路知识考查概率的计算，解题的关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，通过反向计算不符合条件的情况可简化运算，需要同时掌握基础的组合计数方法和简单电路的通路判断规则。
【难度系数】0.7
5. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形.同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：两个转盘的数字只有1和2，要使数字之和为4，只能是两个转盘指针都指向2（其余组合的和为2或3，不符合要求）。接下来先分别计算两个转盘指向数字2的概率，由于两个转盘转动是相互独立的事件，将两个概率相乘即可得到最终所求概率；也可以将转盘转化为等可能区域，用列表或树状图法计算概率。
【解析】
1. 计算第一个转盘指向各数字的概率
整个圆周角为$360°$，第一个转盘中标1的扇形圆心角为$120°$，因此：
指向1的概率：$P_1(1)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
指向2的概率：$P_1(2)=\frac{360°-120°}{360°}=\frac{2}{3}$
2. 计算第二个转盘指向各数字的概率
第二个转盘被直径平均分为两个面积相等的扇形，因此指向1和2的概率相等：
$P_2(1)=P_2(2)=\frac{1}{2}$
3. 计算数字和为4的概率
只有两个转盘都指向2时数字和为4，两个转盘转动相互独立，因此所求概率为：
$P=P_1(2)× P_2(2)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率；概率计算；等可能事件
【点评】
本题考查概率的相关计算，解题关键是根据圆心角的占比正确算出第一个转盘指向各数字的概率，再找出符合条件的事件组合代入概率公式求解，注意不要误将第一个转盘的1和2当做等概率事件导致出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确：两个转盘的数字只有1和2，要使数字之和为4，只能是两个转盘指针都指向2（其余组合的和为2或3，不符合要求）。接下来先分别计算两个转盘指向数字2的概率，由于两个转盘转动是相互独立的事件，将两个概率相乘即可得到最终所求概率；也可以将转盘转化为等可能区域，用列表或树状图法计算概率。
【解析】
1. 计算第一个转盘指向各数字的概率
整个圆周角为$360°$，第一个转盘中标1的扇形圆心角为$120°$，因此：
指向1的概率：$P_1(1)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
指向2的概率：$P_1(2)=\frac{360°-120°}{360°}=\frac{2}{3}$
2. 计算第二个转盘指向各数字的概率
第二个转盘被直径平均分为两个面积相等的扇形，因此指向1和2的概率相等：
$P_2(1)=P_2(2)=\frac{1}{2}$
3. 计算数字和为4的概率
只有两个转盘都指向2时数字和为4，两个转盘转动相互独立，因此所求概率为：
$P=P_1(2)× P_2(2)=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率；概率计算；等可能事件
【点评】
本题考查概率的相关计算，解题关键是根据圆心角的占比正确算出第一个转盘指向各数字的概率，再找出符合条件的事件组合代入概率公式求解，注意不要误将第一个转盘的1和2当做等概率事件导致出错。
【难度系数】
0.6
6. 现有3个不透明箱子,箱子内放有若干小球(除颜色外其余均相同).规定:每次只能摸一个小球,摸出红球奖励一杯奶茶,摸出黄球奖励一支雪糕.若小丽想得到一杯奶茶,应选择从
① 3个红球
8个黄球
② 8个红球
3个黄球
③ 3个红球
3个黄球
②
号箱子里摸球,如愿的可能性最大.① 3个红球
8个黄球
② 8个红球
3个黄球
③ 3个红球
3个黄球
答案
6. ②
解析
【分析】
要想得到奶茶，即需要摸出红球的可能性最大，解题思路为：先利用等可能事件的概率公式，分别计算三个箱子中摸出红球的概率，再比较三个概率的大小，概率最大的箱子就是符合要求的选择。其中等可能事件的概率公式为：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，本题中对应摸出红球的概率$=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{箱子内总球数}}$。
【解析】
分别计算三个箱子摸出红球的概率：
1. ①号箱子：总球数为$3+8=11$个，红球共3个，因此$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{3}{11}$；
2. ②号箱子：总球数为$8+3=11$个，红球共8个，因此$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{8}{11}$；
3. ③号箱子：总球数为$3+3=6$个，红球共3个，因此$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
比较三个概率的大小：$\frac{8}{11}＞\frac{1}{2}＞\frac{3}{11}$，因此②号箱子摸出红球的可能性最大。
【答案】
②
【知识点】
等可能概率计算、可能性大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查概率的基础应用，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，通过计算并比较目标事件的概率大小即可得出结论，贴近生活实际，容易理解。
【难度系数】
0.9
要想得到奶茶，即需要摸出红球的可能性最大，解题思路为：先利用等可能事件的概率公式，分别计算三个箱子中摸出红球的概率，再比较三个概率的大小，概率最大的箱子就是符合要求的选择。其中等可能事件的概率公式为：$P(\mathrm{事件})=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，本题中对应摸出红球的概率$=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{箱子内总球数}}$。
【解析】
分别计算三个箱子摸出红球的概率：
1. ①号箱子：总球数为$3+8=11$个，红球共3个，因此$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{3}{11}$；
2. ②号箱子：总球数为$8+3=11$个，红球共8个，因此$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{8}{11}$；
3. ③号箱子：总球数为$3+3=6$个，红球共3个，因此$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
比较三个概率的大小：$\frac{8}{11}＞\frac{1}{2}＞\frac{3}{11}$，因此②号箱子摸出红球的可能性最大。
【答案】
②
【知识点】
等可能概率计算、可能性大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查概率的基础应用，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，通过计算并比较目标事件的概率大小即可得出结论，贴近生活实际，容易理解。
【难度系数】
0.9
