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1. 3月14日是国际数学日.某学校在今年国际数学日策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动,如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动,则她们恰好选到同一个活动的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路清晰：首先明确两人选择活动相互独立，先通过列举法（列表或树状图）找出所有等可能的总结果数，再筛选出两人恰好选到同一个活动的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算结果即可，也可固定一人的选择，直接计算另一人与他选择一致的概率简化运算。
【解析】
将三个活动分别记为A（竞速华容道）、B（玩转幻方）、C（巧解鲁班锁），用列表法列举所有等可能的结果：
|小红\小丽|A|B|C|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|(A,A)|(A,B)|(A,C)|
|B|(B,A)|(B,B)|(B,C)|
|C|(C,A)|(C,B)|(C,C)|
由上表可得，总共有9种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个活动的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入得：$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率类基础常考题，难度较低，核心考查列举法的应用，解题时只要保证列举的结果不重不漏，结合概率公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路清晰：首先明确两人选择活动相互独立，先通过列举法（列表或树状图）找出所有等可能的总结果数，再筛选出两人恰好选到同一个活动的符合条件的结果数，最后根据概率公式计算结果即可，也可固定一人的选择，直接计算另一人与他选择一致的概率简化运算。
【解析】
将三个活动分别记为A（竞速华容道）、B（玩转幻方）、C（巧解鲁班锁），用列表法列举所有等可能的结果：
|小红\小丽|A|B|C|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|(A,A)|(A,B)|(A,C)|
|B|(B,A)|(B,B)|(B,C)|
|C|(C,A)|(C,B)|(C,C)|
由上表可得，总共有9种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个活动的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入得：$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率类基础常考题，难度较低，核心考查列举法的应用，解题时只要保证列举的结果不重不漏，结合概率公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 在一个不透明的盒子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为$\frac{2}{3}$，应在该盒子中再添加红球（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=对应事件的情况数÷所有等可能情况的总数。我们可以设添加的红球数量为未知数，分别表示出添加红球后红球的总数量、盒子中球的总数量，再结合给出的目标概率列方程求解即可。
【解析】
设应在该盒子中再添加红球$ x $个。
添加红球后，盒子中红球的总数量为$ 1+x $个，球的总数量为$ 2+1+x=3+x $个。
根据摸出红球的概率为$\frac{2}{3}$，结合概率公式列方程：
$\frac{1+x}{3+x}=\frac{2}{3}$
交叉相乘去分母得：
$3(1+x)=2(3+x)$
展开得：
$3+3x=6+2x$
移项合并同类项得：
$x=3$
检验：当$x=3$时，分母$3+x=6≠0$，因此$x=3$是原方程的解，符合题意。
故应添加3个红球，选B。
【答案】
B
【知识点】
概率计算；分式方程的应用
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题核心是准确把握添加红球后红球数量、总球数的变化关系，结合概率公式建立方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=对应事件的情况数÷所有等可能情况的总数。我们可以设添加的红球数量为未知数，分别表示出添加红球后红球的总数量、盒子中球的总数量，再结合给出的目标概率列方程求解即可。
【解析】
设应在该盒子中再添加红球$ x $个。
添加红球后，盒子中红球的总数量为$ 1+x $个，球的总数量为$ 2+1+x=3+x $个。
根据摸出红球的概率为$\frac{2}{3}$，结合概率公式列方程：
$\frac{1+x}{3+x}=\frac{2}{3}$
交叉相乘去分母得：
$3(1+x)=2(3+x)$
展开得：
$3+3x=6+2x$
移项合并同类项得：
$x=3$
检验：当$x=3$时，分母$3+x=6≠0$，因此$x=3$是原方程的解，符合题意。
故应添加3个红球，选B。
【答案】
B
【知识点】
概率计算；分式方程的应用
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题核心是准确把握添加红球后红球数量、总球数的变化关系，结合概率公式建立方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
3. 从长度分别为1 cm,3 cm,5 cm,6 cm的4条线段中随机取出3条,则能够组成三角形的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
3. A
解析
【分析】
本题是概率与三角形三边关系的综合基础题，解题思路可分三步开展：第一步，用列举法罗列出从4条线段中任取3条的所有等可能结果，注意做到不重不漏；第二步，利用三角形三边判定规则（任意两边之和大于第三边，简便判断可看较短两边之和是否大于最长边），筛选出能构成三角形的结果；第三步，代入概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数，计算出最终概率即可。
【解析】
从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm的4条线段中随机取出3条，所有等可能的组合共4种，分别为：
①1cm，3cm，5cm；②1cm，3cm，6cm；③1cm，5cm，6cm；④3cm，5cm，6cm。
根据三角形三边关系逐一判断：
①1+3=4＜5，不符合三边关系，无法构成三角形；
②1+3=4＜6，不符合三边关系，无法构成三角形；
③1+5=6，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；
④3+5=8＞6，且3+6＞5、5+6＞3，符合三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的组合有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，古典概型计算
【点评】
本题考查基础知识点的综合应用，解题时需注意完整列举所有组合，同时牢记三角形三边判定的规则，尤其注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.7
本题是概率与三角形三边关系的综合基础题，解题思路可分三步开展：第一步，用列举法罗列出从4条线段中任取3条的所有等可能结果，注意做到不重不漏；第二步，利用三角形三边判定规则（任意两边之和大于第三边，简便判断可看较短两边之和是否大于最长边），筛选出能构成三角形的结果；第三步，代入概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数，计算出最终概率即可。
【解析】
从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm的4条线段中随机取出3条，所有等可能的组合共4种，分别为：
①1cm，3cm，5cm；②1cm，3cm，6cm；③1cm，5cm，6cm；④3cm，5cm，6cm。
根据三角形三边关系逐一判断：
①1+3=4＜5，不符合三边关系，无法构成三角形；
②1+3=4＜6，不符合三边关系，无法构成三角形；
③1+5=6，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；
④3+5=8＞6，且3+6＞5、5+6＞3，符合三边关系，可以构成三角形。
综上，能构成三角形的组合有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，古典概型计算
【点评】
本题考查基础知识点的综合应用，解题时需注意完整列举所有组合，同时牢记三角形三边判定的规则，尤其注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 有正面分别写有数字1,2,3,4的四张卡片(卡片除数字不同外,其余均相同),背面朝上充分混合后,小明从中随机抽取一张,再从剩下的卡片中随机抽取另一张.若把第一张卡片上的数字作为个位数字,第二张卡片上的数字作为十位数字,组成一个两位数,则所组成的两位数是3的整数倍的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
4. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道不放回抽取的概率计算问题，解题思路清晰可分三步：第一步，先明确两次抽卡的规则，计算出所有能组成的两位数的总个数，所有结果出现的可能性均等；第二步，回忆3的整数倍的判断特征：一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，用该特征筛选出符合要求的两位数；第三步，根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：
第一次抽取卡片作为个位，有4种选择，第二次从剩余3张卡片中抽取作为十位，有3种选择，因此总共能组成的两位数有$4×3=12$种，分别为：21、31、41、12、32、42、13、23、43、14、24、34，所有结果出现的可能性相等。
2. 筛选符合条件的结果：
根据3的倍数的特征，各位数字之和为3的倍数的数符合要求，筛选后符合条件的数为：21、12、42、24，共4种结果。
3. 计算概率：
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，代入得$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式，3的倍数特征，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题时要注意是不放回抽取，避免出现重复计数的错误，只要准确列举所有情况、正确判断3的倍数就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回抽取的概率计算问题，解题思路清晰可分三步：第一步，先明确两次抽卡的规则，计算出所有能组成的两位数的总个数，所有结果出现的可能性均等；第二步，回忆3的整数倍的判断特征：一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，用该特征筛选出符合要求的两位数；第三步，根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：
第一次抽取卡片作为个位，有4种选择，第二次从剩余3张卡片中抽取作为十位，有3种选择，因此总共能组成的两位数有$4×3=12$种，分别为：21、31、41、12、32、42、13、23、43、14、24、34，所有结果出现的可能性相等。
2. 筛选符合条件的结果：
根据3的倍数的特征，各位数字之和为3的倍数的数符合要求，筛选后符合条件的数为：21、12、42、24，共4种结果。
3. 计算概率：
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，代入得$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式，3的倍数特征，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题时要注意是不放回抽取，避免出现重复计数的错误，只要准确列举所有情况、正确判断3的倍数就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
5. 盒子里有 3 张分别写有整式$x+1,x+2,3$的卡片(卡片除整式不同外,其余均相同),现从中随机抽取两张,把卡片上的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是
$\frac{2}{3}$
.答案
5. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时需先明确两个核心依据：①分式的定义：分母中含有字母的代数式是分式，即本题中分母不能为常数3；②古典概型概率计算公式：概率=符合条件的等可能结果数÷所有等可能结果数。首先先计算抽取两张卡片分别作分子、分母的总等可能结果数，再筛选出分母含字母（即能组成分式）的结果数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：从3张卡片中随机抽取2张，分别作为分子、分母，所有等可能的结果共有$3×2=6$种，分别为：
$\frac{x+1}{x+2}$、$\frac{x+1}{3}$、$\frac{x+2}{x+1}$、$\frac{x+2}{3}$、$\frac{3}{x+1}$、$\frac{3}{x+2}$。
根据分式的定义，分母含字母的为分式，其中符合条件的分式有$\frac{x+1}{x+2}$、$\frac{x+2}{x+1}$、$\frac{3}{x+1}$、$\frac{3}{x+2}$，共4种。
根据概率公式，能组成分式的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式的定义 2. 古典概型概率计算
【点评】
本题是代数概念与概率计算的结合型基础题，解题的易错点是容易忽略分子分母的有序性，或对分式的定义判断出错，计算时要注意准确枚举所有情况，再筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确两个核心依据：①分式的定义：分母中含有字母的代数式是分式，即本题中分母不能为常数3；②古典概型概率计算公式：概率=符合条件的等可能结果数÷所有等可能结果数。首先先计算抽取两张卡片分别作分子、分母的总等可能结果数，再筛选出分母含字母（即能组成分式）的结果数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：从3张卡片中随机抽取2张，分别作为分子、分母，所有等可能的结果共有$3×2=6$种，分别为：
$\frac{x+1}{x+2}$、$\frac{x+1}{3}$、$\frac{x+2}{x+1}$、$\frac{x+2}{3}$、$\frac{3}{x+1}$、$\frac{3}{x+2}$。
根据分式的定义，分母含字母的为分式，其中符合条件的分式有$\frac{x+1}{x+2}$、$\frac{x+2}{x+1}$、$\frac{3}{x+1}$、$\frac{3}{x+2}$，共4种。
根据概率公式，能组成分式的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式的定义 2. 古典概型概率计算
【点评】
本题是代数概念与概率计算的结合型基础题，解题的易错点是容易忽略分子分母的有序性，或对分式的定义判断出错，计算时要注意准确枚举所有情况，再筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
6. 某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有2男2女共4名学生报名参加演讲比赛.
（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是
（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用画树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生都是男生的概率.
（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是
$\frac{1}{2}$
；（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用画树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生都是男生的概率.
答案
6. 解:(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中都是男生的情况有2种，
∴2名学生都是男生的概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
（1）第一问属于简单概率计算问题，解题思路为运用古典概型概率公式：概率=所求情况数÷总情况数。首先明确总共有4名等可能被选中的学生，其中女生共2名，代入公式即可得到结果。
（2）第二问是不放回的两步抽取概率问题，适合用树状图/列表法列举所有等可能的结果，再从中筛选出2名都是男生的结果数，最后代入概率公式计算即可，列举时要注意避免结果重复或遗漏。
【解析】
（1）已知报名的4名学生中有2名女生，从4名学生中随机选1名，共有4种等可能的结果，其中选中女生的结果有2种，因此所选学生是女生的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）将2名男生、2名女生作为第一次抽取的所有可能结果，再依次列出第二次抽取的剩余可能结果，画树状图如下：
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生都是男生的情况有2种，因此2名学生都是男生的概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}$
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中都是男生的情况有2种，
∴2名学生都是男生的概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 树状图法求概率
3. 古典概型
【点评】
本题是概率基础题型，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问考查用列举法求解多步试验的概率，核心是要准确列举出所有等可能的结果，掌握树状图或列表的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）第一问属于简单概率计算问题，解题思路为运用古典概型概率公式：概率=所求情况数÷总情况数。首先明确总共有4名等可能被选中的学生，其中女生共2名，代入公式即可得到结果。
（2）第二问是不放回的两步抽取概率问题，适合用树状图/列表法列举所有等可能的结果，再从中筛选出2名都是男生的结果数，最后代入概率公式计算即可，列举时要注意避免结果重复或遗漏。
【解析】
（1）已知报名的4名学生中有2名女生，从4名学生中随机选1名，共有4种等可能的结果，其中选中女生的结果有2种，因此所选学生是女生的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）将2名男生、2名女生作为第一次抽取的所有可能结果，再依次列出第二次抽取的剩余可能结果，画树状图如下：
由树状图可知，总共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生都是男生的情况有2种，因此2名学生都是男生的概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{2}$
（2）画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，其中都是男生的情况有2种，
∴2名学生都是男生的概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 树状图法求概率
3. 古典概型
【点评】
本题是概率基础题型，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问考查用列举法求解多步试验的概率，核心是要准确列举出所有等可能的结果，掌握树状图或列表的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
