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7. 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉200只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有10只，请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 （
A.1 000 只
B.5 000 只
C.10 000 只
D.50 000 只
C
）A.1 000 只
B.5 000 只
C.10 000 只
D.50 000 只
答案
7. C
解析
【分析】
这是标记重捕法估计总量的实际问题，用到用样本估计总体的核心思想。解题时首先要明确：带标记的雀鸟放回山林后均匀分布，因此再次捕捉的样本中带标记雀鸟占样本总数的比例，近似等于山林中所有带标记雀鸟占雀鸟总数量的比例。我们可以设雀鸟总数量为未知数，根据两个比例相等列方程求解即可。
【解析】
解：设这片山林中雀鸟的数量约为$ x $只。
根据样本中标记个体占比与总体中标记个体占比近似相等，可列方程：
$\frac{200}{x} = \frac{10}{500}$
交叉相乘得：$ 10x = 200 × 500 $
计算得：$ 10x = 100000 $
解得：$ x = 10000 $
经检验，$ x=10000 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此这片山林中雀鸟的数量约为10000只，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用样本估计总体；概率的实际应用；分式方程求解
【点评】
本题是概率在实际场景中的典型应用，解题关键是理解用样本特征估计总体特征的统计思想，抓住比例相等的关系建立等式即可求解，计算难度低，掌握基础统计思想就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是标记重捕法估计总量的实际问题，用到用样本估计总体的核心思想。解题时首先要明确：带标记的雀鸟放回山林后均匀分布，因此再次捕捉的样本中带标记雀鸟占样本总数的比例，近似等于山林中所有带标记雀鸟占雀鸟总数量的比例。我们可以设雀鸟总数量为未知数，根据两个比例相等列方程求解即可。
【解析】
解：设这片山林中雀鸟的数量约为$ x $只。
根据样本中标记个体占比与总体中标记个体占比近似相等，可列方程：
$\frac{200}{x} = \frac{10}{500}$
交叉相乘得：$ 10x = 200 × 500 $
计算得：$ 10x = 100000 $
解得：$ x = 10000 $
经检验，$ x=10000 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此这片山林中雀鸟的数量约为10000只，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用样本估计总体；概率的实际应用；分式方程求解
【点评】
本题是概率在实际场景中的典型应用，解题关键是理解用样本特征估计总体特征的统计思想，抓住比例相等的关系建立等式即可求解，计算难度低，掌握基础统计思想就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
8.（辽宁中考）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为 （
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
8. C
解析
【分析】
这是一道放回型的两步随机事件概率计算题，解题时可先通过列表法或树状图法列举出两次摸球所有等可能的结果，再从中筛选出两次摸出小球颜色相同的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。解题时要注意本题是放回试验，两次摸球的可能情况互不影响、完全一致。
【解析】
用列表法列举所有等可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，黄） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） |
由表可得，总共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种，分别是（红，红）、（黄，黄）。
根据概率公式计算：$P(\mathrm{两次颜色相同})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，概率公式，放回型试验
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查两步随机试验的结果列举能力，解题时只要明确放回试验的特点，准确列出所有等可能结果就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道放回型的两步随机事件概率计算题，解题时可先通过列表法或树状图法列举出两次摸球所有等可能的结果，再从中筛选出两次摸出小球颜色相同的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。解题时要注意本题是放回试验，两次摸球的可能情况互不影响、完全一致。
【解析】
用列表法列举所有等可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 |
| ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，黄） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） |
由表可得，总共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色小球的结果有2种，分别是（红，红）、（黄，黄）。
根据概率公式计算：$P(\mathrm{两次颜色相同})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，概率公式，放回型试验
【点评】
本题属于概率基础题，核心考查两步随机试验的结果列举能力，解题时只要明确放回试验的特点，准确列出所有等可能结果就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子里，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒子里大约有白球（
A.28个
B.30个
C.36个
D.42个
A
）A.28个
B.30个
C.36个
D.42个
答案
9. A
解析
【分析】
要估计白球个数，可利用大量重复试验中事件发生的频率近似等于其发生的概率这一原理解题。先设白球个数为x，得出总球数为x+8，根据黑球的概率等于黑球数量除以总球数，且黑球的概率近似等于摸球试验中摸到黑球的频率，据此列方程求解即可得到白球的估计值。
【解析】
解：设盒子中大约有白球$x$个，则盒子中球的总个数为$(x+8)$个。
大量重复试验中，事件发生的频率近似等于该事件发生的概率，因此摸到黑球的概率≈摸到黑球的频率，可得：
$\frac{8}{x+8}=\frac{88}{400}$
交叉相乘得：$88(x+8)=8×400$
计算得：$88x + 704 = 3200$
移项得：$88x = 3200 - 704 = 2496$
解得：$x=\frac{2496}{88}\approx28$
经检验，$x\approx28$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率、概率公式、用样本估计总体
【点评】
本题考查概率在实际估算中的应用，解题的核心是明确大量重复试验下频率与概率的关系，建立等量关系列方程求解，计算时注意结果要符合实际情况取近似整数。
【难度系数】
0.7
要估计白球个数，可利用大量重复试验中事件发生的频率近似等于其发生的概率这一原理解题。先设白球个数为x，得出总球数为x+8，根据黑球的概率等于黑球数量除以总球数，且黑球的概率近似等于摸球试验中摸到黑球的频率，据此列方程求解即可得到白球的估计值。
【解析】
解：设盒子中大约有白球$x$个，则盒子中球的总个数为$(x+8)$个。
大量重复试验中，事件发生的频率近似等于该事件发生的概率，因此摸到黑球的概率≈摸到黑球的频率，可得：
$\frac{8}{x+8}=\frac{88}{400}$
交叉相乘得：$88(x+8)=8×400$
计算得：$88x + 704 = 3200$
移项得：$88x = 3200 - 704 = 2496$
解得：$x=\frac{2496}{88}\approx28$
经检验，$x\approx28$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率、概率公式、用样本估计总体
【点评】
本题考查概率在实际估算中的应用，解题的核心是明确大量重复试验下频率与概率的关系，建立等量关系列方程求解，计算时注意结果要符合实际情况取近似整数。
【难度系数】
0.7
10. 一个不透明的袋子里装有白球、黄球共32个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中白球的个数最有可能是
24
个。答案
10. 24
解析
【分析】
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应事件的概率附近，因此摸出黄球的频率稳定在0.25，就可以估计摸出黄球的概率为0.25。接下来先根据概率公式计算黄球的大致数量，再用总球数减去黄球数量就能得到白球的数量。
【解析】
解：
∵多次摸球试验后，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，
∴可以估计摸出黄球的概率为0.25，
∴袋子中黄球的数量约为：$32×0.25=8$（个），
∴袋子中白球的数量约为：$32-8=24$（个）。
【答案】
24
【知识点】
频率估计概率、概率的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查频率与概率的关系，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为对应事件的概率，结合简单的乘法、减法计算就能得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应事件的概率附近，因此摸出黄球的频率稳定在0.25，就可以估计摸出黄球的概率为0.25。接下来先根据概率公式计算黄球的大致数量，再用总球数减去黄球数量就能得到白球的数量。
【解析】
解：
∵多次摸球试验后，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，
∴可以估计摸出黄球的概率为0.25，
∴袋子中黄球的数量约为：$32×0.25=8$（个），
∴袋子中白球的数量约为：$32-8=24$（个）。
【答案】
24
【知识点】
频率估计概率、概率的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查频率与概率的关系，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为对应事件的概率，结合简单的乘法、减法计算就能得出结果。
【难度系数】
0.8
11. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级(1)班分两批次确定项目组成员参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生。现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为$\dfrac{3}{5}$，则第一批次确定的人员中，男生为
5
人。答案
11. 5
解析
【分析】
解题时首先明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数。我们可以先计算出项目组的总人数，再设第一批次男生人数为未知数，用含未知数的式子表示出项目组男生的总人数，最后根据抽中男生的概率列方程求解即可。
【解析】
设第一批次确定的人员中男生有$x$人。
1. 计算项目组总人数：$7 + 1 + 2 = 10$（人）
2. 表示项目组男生总人数：第一批次男生人数加第二批次男生人数，即$(x + 1)$人
3. 根据抽中男生的概率为$\dfrac{3}{5}$，结合概率公式列方程：
$\dfrac{x + 1}{10} = \dfrac{3}{5}$
4. 解方程：
两边同时乘10得：$x + 1 = 6$
解得：$x = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 概率公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于概率的基础应用类题目，解题的核心是准确找到总情况数和符合条件的情况数，结合概率公式建立方程求解，掌握基础概率公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数。我们可以先计算出项目组的总人数，再设第一批次男生人数为未知数，用含未知数的式子表示出项目组男生的总人数，最后根据抽中男生的概率列方程求解即可。
【解析】
设第一批次确定的人员中男生有$x$人。
1. 计算项目组总人数：$7 + 1 + 2 = 10$（人）
2. 表示项目组男生总人数：第一批次男生人数加第二批次男生人数，即$(x + 1)$人
3. 根据抽中男生的概率为$\dfrac{3}{5}$，结合概率公式列方程：
$\dfrac{x + 1}{10} = \dfrac{3}{5}$
4. 解方程：
两边同时乘10得：$x + 1 = 6$
解得：$x = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 概率公式
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于概率的基础应用类题目，解题的核心是准确找到总情况数和符合条件的情况数，结合概率公式建立方程求解，掌握基础概率公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
12. 如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
（1）当投掷的次数很大时，则 $ m:n $ 的值越来越接近
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即 $ m+n $），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米（结果保留π）？
（1）当投掷的次数很大时，则 $ m:n $ 的值越来越接近
0.7
（结果精确到0.1）；（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即 $ m+n $），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在
0.4
附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米（结果保留π）？
答案
12. (1) 0.7
(2) 0.4
(3) $10π$
(2) 0.4
(3) $10π$
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：1. 当投掷次数足够大时，事件发生的频率会趋近于对应的概率，几何概率等于对应区域的面积之比，因此$m:n$的比值接近圆内面积与封闭图形内圆外部分的面积之比；2. 大量重复试验下，小石子落在圆内的频率会稳定在圆面积与封闭图形总面积的比值附近；3. 利用频率等于面积比的关系，代入圆的面积即可求出封闭图形的总面积。
【解析】
（1）当投掷次数很大时，频率趋近于概率，小石子落在圆内和封闭图形内圆外区域的次数比等于两区域的面积比。已知落在圆内的频率稳定在0.4，落在封闭图形内圆外区域的频率为$1-0.4=0.6$，因此$m:n=0.4:0.6\approx0.7$。
（2）大量重复试验时，频率会稳定在对应概率附近，因此小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4附近。
（3）先计算半径为2米的圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×2^2=4π$（平方米）
设封闭图形ABCD的面积为$S$，根据频率估计概率可得：
$\frac{S_{\mathrm{圆}}}{S}=0.4$
将$S_{\mathrm{圆}}=4π$代入得：
$\frac{4π}{S}=0.4$
解得$S=\frac{4π}{0.4}=10π$（平方米）
【答案】
（1）$\boldsymbol{0.7}$；（2）$\boldsymbol{0.4}$；（3）$\boldsymbol{10π}$平方米
【知识点】
频率估计概率，几何概率，面积估算
【点评】
本题结合实际操作考查概率的应用，需要掌握大量重复试验下频率与概率的关系，以及几何概率和区域面积的对应关系，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这道题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：1. 当投掷次数足够大时，事件发生的频率会趋近于对应的概率，几何概率等于对应区域的面积之比，因此$m:n$的比值接近圆内面积与封闭图形内圆外部分的面积之比；2. 大量重复试验下，小石子落在圆内的频率会稳定在圆面积与封闭图形总面积的比值附近；3. 利用频率等于面积比的关系，代入圆的面积即可求出封闭图形的总面积。
【解析】
（1）当投掷次数很大时，频率趋近于概率，小石子落在圆内和封闭图形内圆外区域的次数比等于两区域的面积比。已知落在圆内的频率稳定在0.4，落在封闭图形内圆外区域的频率为$1-0.4=0.6$，因此$m:n=0.4:0.6\approx0.7$。
（2）大量重复试验时，频率会稳定在对应概率附近，因此小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4附近。
（3）先计算半径为2米的圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×2^2=4π$（平方米）
设封闭图形ABCD的面积为$S$，根据频率估计概率可得：
$\frac{S_{\mathrm{圆}}}{S}=0.4$
将$S_{\mathrm{圆}}=4π$代入得：
$\frac{4π}{S}=0.4$
解得$S=\frac{4π}{0.4}=10π$（平方米）
【答案】
（1）$\boldsymbol{0.7}$；（2）$\boldsymbol{0.4}$；（3）$\boldsymbol{10π}$平方米
【知识点】
频率估计概率，几何概率，面积估算
【点评】
本题结合实际操作考查概率的应用，需要掌握大量重复试验下频率与概率的关系，以及几何概率和区域面积的对应关系，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
